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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Analysis III - Funktionentheorie\\
für Physiker und Mathematiker}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 21.07.2006 - Version: 1.0.1\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Analysis III -
Funktionentheorie'' von Prof. Dr. Linus Kramer an der Technischen
Universität Darmstadt im Wintersemester 2005/06.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Holomorphe Funktionen}


\subsection{Der Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen}


\subsubsection{Definition von $\mathbb{C}$}

Für die Definition von $\mathbb{C}$ und den Operationen darauf siehe
mein {}``Formelsammlung für Analysis I / II''. 


\subsubsection{Topologie auf $\mathbb{C}$ }

Definition von Konvergenz, Cauchy-Folge, abgeschlossenheit und steigkeit
äquivalent zu Analysis I / II.


\subsubsection{Komplexe Funktionen}

\begin{itemize}
\item $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ für $\varphi\in\mathbb{R}$ 
\item $e^{x+iy}=e^{x}\left(\cos x+i\sin y\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Cayleyabbildung}

Wir betrachten die \emph{obere Halbebene\index{Halbebene}} $\mathbb{H}=\left[z\in\mathbb{C}|\Im\left(z\right)>0\right]$

Die \emph{Caylayabbildung\index{Caylayabbildung}} $z\mapsto\frac{z-i}{z+i}$
bildet die obere Halbebene $\mathbb{H}$ auf die offene \emph{Einheitskreisscheibe\index{Einheitskreisscheibe}}
$\mathbb{E}=\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z\right|<1\right\} $ ab.
Die Umkehrabbildung dazu ist $z\mapsto i\frac{1+z}{1-z}$.


\subsection{(weg-) zusammenhängend}

Eine Teilmenge $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{zusammenhängend\index{zusammenhängend}},
wenn es \emph{keine} offenen Mengen $U,V\subseteq\mathbb{R}^{n}$
gibt mit

\begin{enumerate}
\item $U\cup V\supseteq X$
\item $U\cap V\cap X=\emptyset$
\item $X\cap U\neq\emptyset\neq V\cap X$
\end{enumerate}
$\mathbb{R}^{n}\supseteq X$ heißt \emph{wegzusammenhängend\index{wegzusammenhängend}},
falls es für alle $a,b\in X$ eine stetige Abbildung (einen Weg)\[
C:\left[0,1\right]\rightarrow X\]
 gibt mit $C\left(0\right)=a$ und $C\left(1\right)=b$.

\begin{itemize}
\item Ist $X$ wegzusammenhängend, dann ist $X$ zusammenhängend
\item Ist $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen und zusammenhängend, dann ist
$U$ wegzusammenhängend
\end{itemize}

\subsection{Gebiet}

Ein \emph{Gebiet\index{Gebiet}} in $\mathbb{R}^{n}$ ist eine offene,
zusammenhängende (also wegzusammenhängende) nichtleere Teilmenge.

\begin{itemize}
\item z.B. $B_{\varepsilon}\left(z\right),\mathbb{C}$
\item z.B. obere Halbebene\\
$H=\left\{ z\in\mathbb{C}|\Im\left(z\right)>0\right\} $
\item Es gibt Mengen in $\mathbb{R}^{n}$, die zusammenhängend, aber \emph{nicht}
wegzusammenhängend sind.
\end{itemize}

\subsection{$\mathbb{C}$-differenzierbar / holomorph}

Sei $U\subseteq\mathbb{C}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ stetig,
sei $z\in U$. Wir sagen $f$ ist \emph{$\mathbb{C}$-differenzierbar\index{C-differenzierbar}
in $z$} falls es eine stetige Funktion\[
\theta:B_{\varepsilon}\left(0\right)\rightarrow\mathbb{C}\]
 gibt, so dass \[
f\left(z+h\right)-f\left(z\right)=\theta\left(h\right)\cdot h\]
 gilt für alle $h\in B_{\varepsilon}\left(0\right)$ (wähle $\varepsilon$
so, dass $B_{\varepsilon}\left(z\right)\subseteq U$).

Falls solch ein $\theta$ existiert, ist es eindeutig bestimmt. Die
\emph{Ableitung\index{Ableitung}} von $f$ ist $f'\left(z\right)=\theta\left(0\right)$.

Ist $f$ in \emph{jedem} Punkt $z\in U$ $\mathbb{C}$-differenzierbar
und ist $U$ ein Gebiet dann heißt $f$ \emph{holomorph}\index{holomorph}.

Funktionen die auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph sind, nennt man \emph{schlichte
Funktionen}\index{schlichte Funktionen}.

\begin{itemize}
\item Der Differenzierbarkeitsbegiff aus Analysis II wird im folgenen $\mathbb{R}$-differenzierbarkeit
genannt\emph{\index{R-differenzierbar}}
\end{itemize}

\subsection{Eigenschaften von holomorphen Funktionen}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet. \[
\mathcal{O}\left(\Omega\right)=\left\{ f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}|f\textrm{ ist holomorph}\right\} \]


Dann ist $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ ein $\mathbb{C}$-Vektorraum
und ein Ring, der Ring der holomorphen Funktionen auf $\Omega$. Für
alle $f,g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, alle $c\in\mathbb{C}$
gilt

\begin{enumerate}
\item $f+g=\left[z\rightarrow f\left(z\right)+g\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$\\
$\left(f+g\right)'=f'+g'$
\item $f\cdot g=\left[z\rightarrow f\left(z\right)\cdot g\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$\\
$\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
\item $c\cdot f=\left[z\rightarrow c\cdot f\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$\\
$\left(c\cdot f\right)'=c\cdot f'$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Polynome sind holomorph\\
$\left(z^{n}\right)'=n\cdot z^{n-1}$
\item gebrochen rartionale Funktionen sind holomorph
\item $f\left(x\right)=\overline{x}$ ist \emph{nicht} holomorph, genauso
wie alle funktionen die mit hilfe der Konjugation formuliert sind.
\item $f\left(x\right)=\left|x\right|$ ist \emph{nicht} holomorph
\item Ist $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$-differenzierbar in $z\in U$,
dann ist $f$ in $z$ $\mathbb{R}$-differenzierbar.
\item $f\circ g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ mit Kettenregel:\\
$\left(f\circ g\right)'\left(z\right)=g'\left(z\right)\cdot f'\left(g\left(z\right)\right)$
\end{itemize}

\subsection{Drehstreckungen}

Sei $J:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ definiert durch $J\left(z\right)=i\cdot z$,
dass ist eine lineare Abbildung auf $\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}$ mit
$J^{2}=-\textrm{id}$, also $\left(J\right)\left(-J\right)=\textrm{id}$.

Eine lineare Abbildung $T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$
ist genau dann linear über $\mathbb{C}$, wenn gilt\[
JT=TJ\]
In Matritzenschreibweise mit\[
J=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1\\
1 & 0\end{array}\right)\]
 muss $T$ die Form haben\[
T=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta\\
-\beta & \alpha\end{array}\right)\]
 für beliebige $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Solche $2\times2$-Matrizen
werden \emph{Drehstreckungen}\index{Drehstreckungen} genannt.

\begin{itemize}
\item Falls man $\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}^{2}$ auffasst entspräche
die Multiplikation mit einer komplexen Zahl genau einer solchen Drehstreckung.
\end{itemize}

\subsection{Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}

Sei $U=\mathbb{C}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ stetig und
$\mathbb{R}$-differenzierbar im Punkt $z\in U$. Dann ist $f$ $\mathbb{C}$-differenzierbar
in $z$ genau dann, wenn $f=u+iv$ die \emph{Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen\index{Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen}}
in $z$ erfüllt, nämlich

\begin{enumerate}
\item $\frac{\partial u}{\partial x}\left(z\right)=\frac{\partial v}{\partial y}\left(z\right)$
\item $\frac{\partial u}{\partial y}\left(z\right)+\frac{\partial v}{\partial x}\left(z\right)=0$
\end{enumerate}

\subsection{harmonisch}

$f:U\rightarrow\mathbb{R}$ heißt \emph{harmonisch}\index{harmonisch},
wenn sie $C^{2}$ ist und wenn gilt\[
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial f^{2}}{\partial y^{2}}=0\]
Ist $g=u+iv$ holomorph \emph{und} $C^{2}$, dann sind $u$ und $v$
\emph{harmonisch}.


\subsection{Funktionenfolge / Konvergenzradius}

Sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge in $\mathbb{C}$,
$f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Setze $L=\lim\textrm{sup}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$,
$R=\frac{1}{L}$ (wobei $\frac{1}{\infty}=0$ und $\frac{1}{0}=\infty$).
Für $r<R$ und $\left|z\right|\le r$ konvergiert die Reihe $f\left(z\right)$.
Auf der Kreisscheibe $B_{r}\left(0\right)$ konvergiert diese \emph{Funktionenfolge\index{Funktionenfolge}}
gleichmäßig gegen eine stetige Funktion. Wir nennen $R$ den \emph{Konvergenzradius\index{Konvergenzradius}}
der Reihe.

\begin{itemize}
\item Die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}\left(n+1\right)z^{n}$ hat den
gleichen Konvergenzradius wie $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$.
\end{itemize}

\subsection{Ableitung einer Funktionenfolge}

Sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ Folge in $\mathbb{C}$,
$R$ der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$.
Sei $r<R$. Dann ist die Funktion $f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$
holomorph auf der offenen Kreisscheibe $B_{r}\left(0\right)$, mit
der Ableitung $f'\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)a_{n+1}z^{n}$.

\begin{itemize}
\item $f\left(z\right)=\frac{1}{1-z}$ ist für

\begin{itemize}
\item $\left|z\right|<1$ $\Rightarrow$ $f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$
\item $\left|z\right|>1$ $\Rightarrow$ $f\left(z\right)=-\sum_{n=-1}^{-\infty}z^{n}$
\end{itemize}
\item $\exp\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}$, $R=\infty$
\item $\sin\left(z\right)=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n+1\right)!}z^{2n+1}$,
$R=\infty$
\item $\cos\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}z^{2n}$,
$R=\infty$
\item $\exp'=\exp$, $\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$
\end{itemize}

\subsection{Wirtinger Kalkül\index{Wirtinger Kalkül}}

Man definiert für reell differenzierbare komplexe Funktionen die sogenannten
\emph{Wirtinger Ableitungen\index{Wirtinger Ableitungen}} durch \begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial z} & = & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}\right)\\
\frac{\partial}{\partial\overline{z}} & = & \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}\right)\end{eqnarray*}


Seien nun $A,B\subset\mathbb{C}$ offen und $f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow\mathbb{C}$
reell differenzierbar. Sei weiter $a\in A$ und $b:=f\left(a\right)\in B$.
Definiere $\overline{f}:A\rightarrow\mathbb{C}$ durch $\overline{f}\left(z\right):=\overline{f\left(z\right)}$.

Es gilt\begin{eqnarray*}
\overline{\left(\frac{\partial f}{\partial z}\left(a\right)\right)} & = & \frac{\partial\overline{f}}{\partial\overline{z}}\left(a\right)\\
\overline{\left(\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}\left(a\right)\right)} & = & \frac{\partial\overline{f}}{\partial z}\left(a\right)\\
\frac{\partial\left(g\circ f\right)}{\partial z}\left(a\right) & = & \frac{\partial g}{\partial\omega}\left(b\right)\frac{\partial f}{\partial z}\left(a\right)+\frac{\partial g}{\partial\overline{\omega}}\left(b\right)\frac{\partial\overline{f}}{\partial z}\left(a\right)\\
\frac{\partial\left(g\circ f\right)}{\partial\overline{z}}\left(a\right) & = & \frac{\partial g}{\partial\omega}\left(b\right)\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}\left(a\right)+\frac{\partial g}{\partial\overline{\omega}}\left(b\right)\frac{\partial\overline{f}}{\partial\overline{z}}\left(a\right)\\
\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial z\partial\overline{z}} & = & \frac{1}{4}\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right)\end{eqnarray*}
wobei $\Delta$ der \emph{Laplace-Operator\index{Laplace-Operator}}
ist.


\section{Cauchys Integralsatz}


\subsection{Integral}

Sei $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$ stetig. Wir nennen
$\gamma$ \emph{stückweise\index{differenzierbar!stückweise, stetig}\index{stückweise stetig differenzierbar}
stetig differenzierbar} (\emph{ssd}\index{ssd}). Wenn es Zahlen $a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b$
gibt, sodass $\left.\gamma\right|_{\left[a_{j},a_{j+1}\right]}$ stetig
differenzierbar ist, $0\le j\le r-1$.

Für $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ stetig und $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
stückweise stetig differenzierbarer Weg (oder Kurve). Setze \[
\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=\sum_{j=0}^{r-1}\int_{a_{j}}^{a_{j+1}}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\dot{\gamma}dt\]


Das Ergebniss des \emph{Integrals\index{Integral}} ist also eine
komplexe Zahl.

Das Integrieren ist eine lineare Abbildung. Es gilt:

\begin{enumerate}
\item $\int_{\gamma}$$\left(f\left(z\right)+g\left(z\right)\right)dz=\int_{\gamma}f\left(z\right)dz+\int_{\gamma}g\left(z\right)dz$
\item $\int_{\gamma}c\cdot f\left(z\right)dz=c\cdot\int_{\gamma}f\left(z\right)dz$
\item $\left|\int_{\gamma}f\left(z\right)dz\right|\le L\cdot M$\\
$M=\sup\left\{ \left|f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right||t\in\left[a,b\right]\right\} $\\
$L=L\left(\gamma\right)=\textrm{Kurvenlänge}=\int_{a}^{b}\left|\dot{\gamma}\left(t\right)\right|dt$
\end{enumerate}

\subsection{Kreisintegral\index{Kreisintegral}}

Für $r>0$ und $c\in\mathbb{C}$ setze\[
\int_{\left|z-c\right|=r}f\left(z\right)dz=\int_{\gamma}f\left(z\right)dz\]
 mit \[
\gamma\left(t\right)=re^{it}+c\]
 und $t\in\left[0,2\pi\right]$.


\subsection{Dreieck}

Für $a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{C}$ ist das \emph{Dreieck\index{Dreieck}}
\[
{\scriptstyle \Delta\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)=\left\{ z=a_{0}\cdot r+a_{1}\cdot s+a_{2}\cdot t|r+s+t=1,r,s,t\ge0\right\} }\]
Für $\Delta=\Delta\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)\subseteq\Omega$
setze \[
\int_{\partial\Delta}f\left(z\right)dz=\int_{\gamma_{1}}f\left(z\right)dz+\int_{\gamma_{2}}f\left(z\right)dz+\int_{\gamma_{3}}f\left(z\right)dz\]


mit \begin{eqnarray*}
\gamma_{1}\left(t\right) & = & a_{0}\left(1-t\right)+a_{1}t\quad t\in\left[0,1\right]\\
\gamma_{2}\left(t\right) & = & a_{1}\left(1-t\right)+a_{2}t\quad t\in\left[0,1\right]\\
\gamma_{3}\left(t\right) & = & a_{2}\left(1-t\right)+a_{0}t\quad t\in\left[0,1\right]\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\partial\Delta$ ist der \emph{Rand\index{Rand}} der Menge $\Delta$
\end{itemize}

\subsection{Stammfunktion}

Ist $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ stetig, und $F\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
mit $F'=f$, so gilt mit $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
s.s.d. \[
\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=F\left(\gamma\left(b\right)\right)-F\left(\gamma\left(a\right)\right)\]
Man nennt $F$ \emph{Stammfunktion\index{Stammfunktion}} zu $f$.


\subsection{Integral-Lemma von Goursat}

Sei $\Delta=\Delta\left(a_{0},a_{1},a_{2}\right)\subseteq\Omega$,
$\Omega$ ein Gebiet, sei $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$. Dann
gilt \[
\int_{\partial\Delta}f\left(z\right)dz=0\]


Sei $\Omega$ Gebiet, $\omega\in\Omega$, $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
sei stetig und holomorph auf $\Omega\backslash\left\{ \omega\right\} $.
Für jedes Dreieck $\Delta$ in $\Omega$ mit $\omega$ als Ecke gilt\[
\int_{\partial\Delta}f\left(z\right)dz=0\]



\subsection{Sternförmige Mengen}

Eine Menge $X\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt \emph{sternförmig\index{sternförmig}}
bzgl. $x\in X$, falls für alle $y\in X$ und alle $t\in\left[0,1\right]$
gilt\[
tx+\left(1-t\right)y\in X\]



\subsection{homotop, einfach zusammenhängend}

Zwei Wege $\gamma_{0}:\left[0,1\right]\rightarrow X$ und $\gamma_{1}\left[0,1\right]\rightarrow X$
heißen \emph{homotop}\index{homotop}, wenn es eine stetige Abbildung
$H:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow X$ gibt mit

\begin{enumerate}
\item $H\left(t,0\right)=\gamma_{0}\left(t\right)$
\item $H\left(t,1\right)=\gamma_{1}\left(t\right)$
\item $H\left(0,s\right)=\gamma_{0}\left(0\right)=\gamma_{1}\left(0\right)$
\item $H\left(1,s\right)=\gamma_{0}\left(1\right)=\gamma_{1}\left(1\right)$
\end{enumerate}
Schreibe dann $\gamma_{0}\simeq\gamma_{1}$.

$X$ heißt \emph{einfach zusammenhängend}\index{einfach zusammenhängend}\index{zusammenhängend},
wenn $X$ wegzusammenhängend ist und für alle Wege $\gamma_{0},\gamma_{1}$
gilt: aus $\gamma_{0}\left(0\right)=\gamma_{1}\left(0\right)$ und
$\gamma_{0}\left(1\right)=\gamma_{1}\left(1\right)$ folgt stets $\gamma_{0}\simeq\gamma_{1}$.

\begin{itemize}
\item $\Omega$ sternförmig $\Rightarrow$ $\Omega$ einfach zusammenhängend
\item einfach zusammenhängend kann man sich vorstellen, das es möglich ist
ein quadrat stetig auf $X$ abzubilden, also enthält z.B. $X$ im
2dimensionalen keine {}``Löcher''
\item Das Integral über zwei Wegen die homotopieäquivalent sind ist gleich,
wenn $f$ auf diesem Gebiet holomorph
\item Fall ein geschlossener Weg homotop zum {}``Nullweg'' ist, nennt
sich dieser \emph{Null-homotop\index{Null-homotop}\index{homotop}}.\\
D.h. $\gamma$ heißt null-homotop in $\Omega$ falls $\gamma$ s.s.d.
geschlossen und falls es ein stetiges $H:\left[0,1\right]\times\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
gibt mit $H\left(1,t\right)=\gamma\left(t\right)$ und $H\left(0,t\right)=\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$
für alle $t$.
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:Cauchys-Integralsatz}Cauchys Integralsatz\index{Cauchys Integralsatz}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, das einfach zusammenhängend
ist. Dann hat \emph{jede} holomorphe Funktion $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
eine Stammfunktion auf $\Omega$.

Insbesondere gilt für jeden s.s.d. Weg $\gamma$ in $\Omega$, dass\[
\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=F\left(\gamma\left(b\right)\right)-F\left(\gamma\left(a\right)\right)\]
wobei $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ und $F'=f$. Wenn
$\gamma$ ein geschlossener Weg ist, $\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$,
so folgt also $\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=0$.


\subsection{Cauchys Integralsatz v.2}

Sei $\Omega$ sternförmiges Gebiet bzgl. $\omega\in\Omega$. Wenn
$f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ stetig ist und $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ \omega\right\} \right)$,
dann hat $f$ eine Stammfunktion $F\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$.

Ist $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ s.s.d., so gilt \[
\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=F\left(\gamma\left(b\right)\right)-F\left(\gamma\left(a\right)\right)\]


\begin{itemize}
\item auf $\omega$ ist nur die Stetigkeit verlangt, \emph{nicht} die $\mathbb{C}$-differenzierbarkeit
\end{itemize}

\subsection{Cauchys Integralformel\index{Integralformel}}

Sei $\Omega$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, sei $c\in\Omega$
und sei $r>0$ so, dass $\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|\le r\right\} \subseteq\Omega$.
Dann gilt für alle $z\in B_{r}\left(c\right)=\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|<r\right\} $\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=r}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi\]
 

\begin{itemize}
\item Die Werte von $f$ auf dem Kreisrand legen also $f$ im Inneren der
Kreisscheibe fest.
\item Vorsicht, man muss den Weg genau betrachten!
\end{itemize}

\subsection{Entwicklungslemma}

Sei $c\in\mathbb{C},r>0,K_{r}=\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|=r\right\} $.
Sei $\varphi:K_{r}\rightarrow\mathbb{C}$ stetig. Für $z\in B_{r}\left(c\right)$
setze \[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=r}\frac{\varphi\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi\]
 Dann ist $f$ holomorph auf $B_{r}\left(c\right)$, und \begin{eqnarray*}
f\left(z\right) & = & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\\
a_{k} & = & \frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=r}\frac{\varphi\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi\end{eqnarray*}



\subsection{\label{sub:Cauchy-Taylor-Entwicklungssatz}Cauchy-Taylor Entwicklungssatz\index{Entwicklungssatz}}

Sei $\Omega$ ein Gebiet, $c\in\Omega$, sei $r>0$ so, dass $\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|\le r\right\} \subseteq\Omega$.
Sei $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$. Dann gilt\[
f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
 für alle $z\in B_{r}\left(c\right)$ und \begin{eqnarray*}
a_{k} & = & \frac{f^{\left(k\right)}\left(c\right)}{k!}\\
 & = & \frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=r}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi\end{eqnarray*}
 Insbesondere ist jedes $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ beliebig
oft $\mathbb{C}$-differenzierbar.

\begin{itemize}
\item Sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion auf
einem Gebiet $\Omega\subseteq\mathbb{C}$. Ferner sei $a\in\Omega$
und $B_{R}\left(a\right)$ die größte offene Kreisscheibe um $a$,
die noch ganz in $\Omega$ enthalten ist. Ist $f$ auf $B_{R}\left(a\right)$
unbeschränkt, dann ist $R$ gleich den Konvergenzradius der Taylorreihe
von $f$ um den Entwicklungspunkt $a$.
\item Taylorreihe ist Spezialfall der \emph{Laurent-Reihe} (siehe \vref{sub:Entwicklungssatz-von-Laurent})
mit $a_{k}=0$ für $k<0$.
\end{itemize}

\subsection{Äquivalente Aussagen über Holomorphe Funktionen\index{Holomorphe Funktionen}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
stetig. Folgende Bedinugen sind äquivalent.

\begin{enumerate}
\item $f$ ist holomorph
\item $f$ ist in jedem Punkt $z\in\Omega$ beliebig oft $\mathbb{C}$-differenzierbar
\item Für jedes $c\in\Omega$ und $r>0$ mit $B_{r}\left(c\right)\subseteq\Omega$
gilt \[
f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
 wobei \begin{eqnarray*}
a_{k} & = & \frac{f^{\left(k\right)}\left(c\right)}{k!}\\
 & = & \frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=r'}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi\end{eqnarray*}
 mit $r'<r$ 
\end{enumerate}

\subsection{Satz von Morera}

Sei $\Omega$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
stetig. Wenn $\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=0$ gilt, für \emph{alle}
s.s.d. Wege $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ mit $\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$
ist, dann ist $f$ holomorph.

\begin{itemize}
\item Die Umkehrung gilt auch, nach dem Integralsatz (siehe \vref{sub:Cauchys-Integralsatz}).
\end{itemize}

\subsection{Fortsetzungssatz\index{Fortsetzungssatz}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, sei $c\in\Omega$, sei
$g\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Falls es ein $\varepsilon>0$ gibt, so dass \[
M=\left\{ \left|g\left(z\right)\right||\left|z-c\right|\le\varepsilon\right\} \]
 beschränkt ist, dann gibt es genau eine Abbildung $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
mit $g\left(z\right)=f\left(z\right)$ für alle $z\in\Omega\backslash\left\{ c\right\} $.

Man nennt $f$ \emph{holomorphe Fortsetzung}\index{holomorphe Fortsetzung}
von $g$ in $c$. Der Satz gilt insbesondere, falls $g$ holomorph
in $\Omega\backslash\left\{ c\right\} $ und stetig in $c$ ist.


\section{Eigenschaften holomorpher Funktionen}


\subsection{Identitätssatz}

Sei $\Omega$ ein Gebiet in $\mathbb{C}$, $f,g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $f=g$
\item Es gibt eine unendliche Menge $X\subseteq\Omega$, die einen Häufungspunkt
$c\in\Omega$ hat, und $\left.f\right|_{X}=\left.g\right|_{X}$
\item Es gibt $c\in\Omega$, so dass $f^{\left(n\right)}\left(c\right)=g^{\left(n\right)}\left(c\right)$
für alle $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\subsection{Folgerung}

$I=\left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$ mit $a\neq b$,
$\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet mit $I\subseteq\Omega$. Ist $f:I\rightarrow\mathbb{C}$
stetig, so gibt es höchstens ein $g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
mit $\left.g\right|_{I}=f$.

\begin{itemize}
\item Die aus Analysis I bekannten Funktionen wie $\sin,\cos,\exp,\log,\ldots$
haben also \emph{eindeutige} Fortsetzungen. Alle Rechenregeln aus
dem Reellen gelten also auf in $\mathbb{C}$
\end{itemize}

\subsection{Satz von Liouville}

Sei $f\in\mathcal{O}\left(\mathbb{C}\right)$ (d.h. $f$ ist ganze/schlichte
Funktion). Wenn $\left|f\right|$ beschränkt ist, so ist $f$ konstant.


\subsection{Verallgemeinerter Satz von Liouville}

Sei $f\in\mathcal{O}\left(\mathbb{C}\right)$. Falls es Zahlen $l,m.n\in\mathbb{N}$
gibt, so dass \[
\left|f\left(z\right)\right|\le\left|z\right|^{n}\cdot m+l\]
so ist $f$ ein Polynom vom Grad $\le n$, d.h. \[
f\left(z\right)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_{1}z+a_{0}\]



\subsection{Fundamentalsatz der Algebra\index{Fundamentalsatz der Algebra}}

Ist $p\left(z\right)=a_{n}z^{n}+\ldots+a_{1}z+a_{0}$ mit $a_{n}\neq0$
und $n\ge1$, so gibt es $\omega\in\mathbb{C}$ mit $p\left(\omega\right)=0$.


\subsection{Linearfaktorzerlegung\index{Linearfaktorzerlegung}}

Ist $p\left(z\right)=a_{n}z^{n}+\ldots+a_{0}$ Polynom vom Grad $n$,
mit $p\left(c\right)=0$, so gibt es ein Polynom $q\left(z\right)$
vom Grad $n-1$ so, dass \[
p\left(z\right)=q\left(z\right)\left(z-c\right)\]


Daraus folgt, dass es eindeutig bestimmte Zahlen $c_{1},\ldots c_{n}\in\mathbb{C}$
gibt mit\[
p\left(z\right)=a_{n}\cdot\left(z-c_{1}\right)\cdot\left(z-c_{2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(z-c_{n}\right)\]


(Zerlegung in Linearfaktoren\index{Linearfaktoren})


\subsection{Mittelwertgleichung\index{Mittelwertgleichung}}

Ist $D_{r}\left(c\right)=\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|\le r\right\} $,
$\Omega$ ein Gebiet mit $D_{r}\left(c\right)\subseteq\Omega$, so
gilt für alle $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ \[
\left|f\left(c\right)\right|\le\sup\left\{ \left|f\left(z\right)\right||\left|z-c\right|=r\right\} \]


\begin{itemize}
\item Es gibt auf dem Kreisrand also einen Punkt der größer ist (dem Betrage
nach) als in der Mitte
\end{itemize}

\subsection{Offen}

$f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ heißt \emph{offen\index{offen}},
falls für jede offene Menge $U\subseteq\Omega$ auch $f\left(U\right)$
offen in $\mathbb{C}$ ist.

Sei $\Omega$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ sei \emph{nicht\index{nicht}}
konstant. Ist $c\in\Omega$ und $B_{r}\left(c\right)\subseteq\Omega$,
dann gibt es $s>0$ mit \[
B_{s}\left(f\left(c\right)\right)\subseteq f\left(B_{r}\left(c\right)\right)\]
 

\begin{itemize}
\item Insbesondere sind alle nicht konstanten $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$,
mit $\Omega$ Gebiet, offen.
\end{itemize}

\subsection{Satz von der Gebietsinvarianz\index{Gebietsinvarianz}}

Ist $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
und nicht konstant, so ist $f\left(\Omega\right)$ wieder ein Gebiet.


\subsection{Eigenschaften Konstanter Funktionen}

Sei $\Omega$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$. Dann
sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $f$ ist konstant
\item $\left|f\right|$ ist konstant
\item $\Re\left(f\right)$ ist konstant
\item $\Im\left(f\right)$ ist konstant
\end{enumerate}

\subsection{Maximumsprinzip\index{Maximumsprinzip}}

Ist $\Omega$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ und $c\in\Omega$
sei ein lokales Maximum von $\left|f\right|.$ Dann ist $f$ konstant.

Anders gesagt: Wenn $f$ nicht konstant ist, hat $\left|f\right|$
\emph{keine} lokalen Maxima!

\begin{itemize}
\item Eine nichtkonstante holomorphe Funktion kann durchaus lokale Minima
für $\left|f\right|$ haben!
\end{itemize}

\subsection{Maxima auf beschränkten Gebiet}

Ist $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ \emph{beschränktes} Gebiet (d.h.
$\Omega\subseteq B_{R}\left(0\right)$ für ein $R\in\mathbb{R}$),
$f:\overline{\Omega}\rightarrow\mathbb{C}$ sei stetig, und holomorph
auf $\Omega$. Dann hat $\left|f\right|$ Maxima auf $\overline{\Omega}$,
aber alle Maxima von $\left|f\right|$ liegen in $\partial\Omega:=\overline{\Omega}\backslash\Omega$.

Anders gesagt: alle (lokalen) Maxima von $\left|f\right|$ liegen
im \emph{Rand\index{Rand}} $\partial\Omega$.

\begin{itemize}
\item $\overline{\Omega}$ ist der Abschluss\index{Abschluss} von $\Omega$
\end{itemize}

\subsection{Schwarzsches Lemma\index{Schwarzsches Lemma}}

Sei $E=B_{1}\left(0\right)$, sei $f\in\mathcal{O}\left(E\right)$
mit $f\left(E\right)\subseteq E$ und $f\left(0\right)=0$. Dann gilt
entweder $f\left(z\right)=a\cdot z$ mit $\left|a\right|=1$ ($a\in\mathbb{C}$)
oder $\left|f'\left(0\right)\right|<1$ sowie $\left|f\left(z\right)\right|<\left|z\right|$
für alle $z\in E\backslash\left\{ 0\right\} $. 


\subsection{Automorphismus}

Sei $E=B_{1}\left(0\right)$. Eine Abbildung $f\in\mathcal{O}\left(E\right)$
heißt \emph{Automorphismus\index{Automorphismus}} von $E$, wenn
gilt $f\left(E\right)\subseteq E$ und wenn es $g\in\mathcal{O}\left(E\right)$
gibt mit $g\left(E\right)\subseteq E$, so dass \[
f\circ g=\textrm{id}_{E}=g\circ f\]


Die Inverse $g$ zu $f$ ist durch $f$ eindeutig bestimmt. Die Menge
\[
\textrm{Aut}\left(E\right)=\left\{ f\in\mathcal{O}\left(E\right)|f\textrm{ ist Automorphismus von }E\right\} \]
bildet eine Gruppe bezüglich Komposition, $\textrm{id}_{E}$ ist Neutralelement.

\begin{itemize}
\item Sei $a,b\in\mathbb{C}$ mit $\left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}=1$,
setze \[
f_{a,b}\left(z\right)=\frac{az+b}{\overline{b}z+\overline{a}}\]
es gilt $f_{a,b}\in\textrm{Aut}\left(E\right)$
\item $f_{a,0}\left(z\right)=a^{2}z$ ist eine Drehung, jede Drehung lässt
sich so schreiben. Es gilt\[
f_{a,b}\circ f_{c,d}=f_{ac+b\overline{d},ad+b\overline{c}}\]
 
\item $f_{a,b}\circ f_{\overline{a},-b}=\textrm{id}_{E}$
\item es gilt $G=\left\{ f_{a,b}|\left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}=1\right\} =\textrm{Aut}\left(E\right)$ 
\item $z\mapsto az$, $\left|a\right|=1$ Drehung. Ist ein Automorphismus.
\item $H=\left\{ f_{a,0}|\left|a\right|^{2}=1\right\} \subseteq G=\textrm{Aut}\left(E\right)$
ist die Menge der Drehungen
\item Sei $h\in\textrm{Aut}\left(E\right)$ mit $h\left(0\right)=0$. Dann
gilt $h\in H$, d.h. $h$ ist eine Drehung
\end{itemize}

\subsection{Projektive lineare Gruppe\index{Projektive lineare Gruppe}}

$G=\left\{ f_{a,b}|\left|a\right|^{2}-\left|b\right|^{2}=1\right\} $
ist eine Gruppe (von Abbildungen), die von 3 reellen Parametern bestimmt
wird. $G$ ist eine sogenannte reelle dreidimensionale Liegruppe,
nämlich $PSL_{2}\mathbb{R}$ (projektive lineare Gruppe).

\begin{itemize}
\item $PSL_{2}\mathbb{R}$ entspricht einer $2\times2$-Matrix mit $\det=1$
\end{itemize}

\subsection{Riemannscher Abbildungssatz\index{Riemannscher Abbildungssatz}}

Ist $\Omega$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet in $\mathbb{C}$
mit $\Omega\neq\mathbb{C}$, so gibt es eine biholomorphe Abbildung\[
f:\Omega{\tilde{=}\atop \rightarrow}E\]


\begin{itemize}
\item Für jedes einfach zusammenhängende Gebiet $\Omega\subseteq\mathbb{C}$
gilt $\textrm{Aut}\left(\Omega\right)\tilde{=}\textrm{Aut}\left(E\right)=G=PSL_{2}\mathbb{R}$
\item Abbildung von oberer Halbebene $H=\left\{ z\in\mathbb{C}|\Im\left(z\right)>0\right\} $
auf die Einheitskreisscheibe mit $z\mapsto\frac{z-i}{z+i}$ und der
Umkehrfunktion $z\mapsto i\frac{1+z}{z-1}$
\end{itemize}

\subsection{Kreiskettenverfahren\index{Kreiskettenverfahren}}

Ist $\Omega$ ein Gebiet, $c\in\Omega$, $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
holomorph. Es gilt\[
f\left(z\right)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
Es kann passieren, dass diese Reihe konvergiert auf einer Kreisscheibe
$B_{R}\left(c\right)$, die nicht mehr ganz in $\Omega$ enthalten
ist. Dann kann man $f$ auf einem größeren Definitionsbereich fortsetzen
(\emph{analytische Fortsetzung}\index{analytische Fortsetzung}).

\begin{itemize}
\item {}``Monodrome\index{Monodrome}?'' $\rightarrow$ Ist man nach einem
geschlossenem Umlauf wieder bei $f$?
\end{itemize}

\subsection{Fehlen von Geraden im Definitionsbereich}

Sei $\Omega=B_{r}\left(c\right)$, $\Im\left(c\right)<0$, sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$
stetig und holomorph auf $\Omega\backslash\mathbb{R}$. Dann ist $f$
holomorph auf $\Omega$.

\begin{itemize}
\item Man kann also auf die Holomorphie auf der Geraden die das Gebiet schneidet,
schließen.
\item Gleiches gilt auch für beliebige stetige Schnitte.
\end{itemize}

\subsection{Spiegelungssatz\index{Spiegelungssatz}}

Ist $\Omega$ ein Gebiet in $\mathbb{C}$ mit: $z\in\Omega\Leftrightarrow\overline{z}\in\Omega$
($\Omega$ symmetrisch bzgl. $\mathbb{R}$-Achse), und ist $f:\left\{ z\in\Omega|\Im\left(z\right)\ge0\right\} \rightarrow\mathbb{C}$
stetig und holomorph auf $\left\{ z\in\Omega|\Im\left(c\right)>0\right\} $
und gilt $f\left(z\right)\in\mathbb{R}$ für alle $z\in\mathbb{R}$,
so hat $f$ analytische Fortsetzung auf ganz $\Omega,$ durch\[
g\left(z\right)=\begin{cases}
f\left(z\right) & \textrm{falls }\Im\left(z\right)\ge0\\
\overline{f\left(\overline{z}\right)} & \textrm{falls }\Im\left(z\right)<0\end{cases}\]



\subsection{biholomorph}

Seien $\Omega_{1},\Omega_{2}$ Gebiete in $\mathbb{C}$, $f:\Omega_{1}\rightarrow\Omega_{2}$
sei holomorph. Falls es ein holomorphes $g:\Omega_{2}\rightarrow\Omega_{1}$
gibt mit \begin{eqnarray*}
g\circ f & = & \textrm{id}_{\Omega_{1}}\\
f\circ g & = & \textrm{id}_{\Omega_{2}}\end{eqnarray*}
heißt $f$ \emph{biholomorph}\index{biholomorph} und $\Omega_{1},\Omega_{2}$
heißen \emph{biholomorph äquivalent\index{biholomorph äquivalent}}.


\subsection{injektiv und biholomorph}

Ist $\Omega_{1}$ ein Gebiet in $\mathbb{C}$, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega_{1}\right)$
nicht konstant, so wissen wir schon, dass $\Omega_{2}=f\left(\Omega_{1}\right)$
ein Gebiet ist.

Falls $f$ injektiv\index{injektiv} ist, ist $f:\Omega_{1}\rightarrow\Omega_{2}$
biholomorph.

\begin{itemize}
\item Für eine biholomorphe Funktion $f$ gilt für alle $z\in\Omega_{1}$
dass $f'\left(z\right)\neq0$ ist.
\end{itemize}

\subsection{Konform / Winkeltreu}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet. Eine $\mathbb{R}$-differenzierbare
Abbildung $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ heißt \emph{konform\index{konform}},
wenn sie \emph{winkeltreu\index{winkeltreu}} ist, d.h. wenn für alle
$z\in\Omega$ $a,b\in\mathbb{C}$ gilt:

\[
\measuredangle\left(a,b\right)=\measuredangle\left(Df\left(z\right)\left(a\right),Df\left(z\right)\left(b\right)\right)\]


Ist $f$ holomorph, $f'\left(z\right)\neq0$, so ist $Df\left(z\right)=f'\left(z\right)$
\emph{Drehstreckung}, verändert also Winkel \emph{nicht}.

\begin{itemize}
\item biholomorphe Abbildungen sind konform
\end{itemize}

\section{Isolierte Singularitäten}


\subsection{Kreisring}

Für $c\in\mathbb{C}$ und $0\le r<s\le\infty$ ist \[
K_{r,s}\left(c\right)=\left\{ z\in\mathbb{C}|r<\left|z-c\right|<s\right\} \]
$K_{r,s}\left(c\right)$ heißt \emph{Kreisring\index{Kreisring}}.

\begin{itemize}
\item $K_{r,s}^{+}\left(c\right)=B_{s}\left(c\right)$
\item $K_{r,s}^{-}\left(c\right)=\left\{ z\in\mathbb{C}|\left|z-c\right|>r\right\} $
\item $K_{r,s}^{+}\left(c\right)\cup K_{r,s}^{-}\left(c\right)=\mathbb{C}$
\item $K_{r,s}^{+}\left(c\right)\cap K_{r,s}^{-}\left(c\right)=K_{r,s}\left(c\right)$
\item $g\left(\omega\right)=c+\frac{1}{\omega}$ ist biholomorphe Abbildung
mit\[
B_{\frac{1}{r}}\left(0\right){g\atop \rightarrow}K_{r,s}^{-}\left(c\right)\]

\end{itemize}

\subsection{Integralsatz für Kreisringe}

Sei $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$, sei \[
0\le r<r'<s'<s\le\infty\]
 dann gilt\[
\int_{\left|z-c\right|=r'}f\left(c\right)dz=\int_{\left|z-c\right|=s'}f\left(c\right)dz\]



\subsection{Integralformel für Kreisringe}

Sei $c\in\mathbb{C}$, $r<r'<s'<s$ $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$.
Für $z\in\mathbb{C}$ mit $r'<\left|z-c\right|<s'$ gilt stets\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\left(\int_{\left|\xi-c\right|=s'}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi-\int_{\left|\xi-c\right|=r'}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi\right)\]



\subsection{\label{sub:Haupt--und-Nebenteil}Haupt- und Nebenteil}

Sei $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$. Dann gibt
es $f_{+}\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}^{+}\left(c\right)\right)$ und
$f_{-}\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}^{-}\left(c\right)\right)$ mit $f_{+}\left(z\right)+f_{-}\left(z\right)=f\left(z\right)$
für alle $z\in K_{r,s}\left(c\right)$.

Dabei kann $f_{-}$ so gewählt werden, das $\lim_{z\rightarrow\infty}f_{-}\left(z\right)=0$.
Mit dieser Zusatzbedingung ist $f_{+}$ und $f_{-}$ eindeutig bestimmt.

Die Funktionen $f_{-}$ und $f_{+}$ heißen \emph{Haupt}-\index{Hauptteil}
und \emph{Nebenteil\index{Nebenteil}} von $f$.

\begin{itemize}
\item $f_{+}\left(z\right)=\lim_{t\rightarrow s}\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi$
\item $f_{-}\left(z\right)=\lim_{t\rightarrow r}-\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi$ 
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:Entwicklungssatz-von-Laurent}Entwicklungssatz von Laurent\index{Entwicklungssatz von Laurent}\index{Laurent}}

Sei $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$, $f_{-}$
und $f_{+}$ wie in \vref{sub:Haupt--und-Nebenteil} mit $\lim_{z\rightarrow\infty}f_{-}\left(z\right)=0$.
Dann gilt \[
f_{+}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
 auf $K_{r,s}^{+}\left(c\right)$ und\[
f_{-}\left(z\right)=\sum_{k=-1}^{-\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
auf $K_{r,s}^{-}\left(c\right)$ oder kurz\[
f\left(z\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]
\emph{Laurent-Reihe\index{Laurent-Reihe}} für $f$ mit Entwicklungspunkt
$c$.

Beide Reihen konvergieren gleichmäßig auf jeder kompakten Menge $K$,
und \[
a_{k}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi\]
 für alle $k\in\mathbb{Z}$.

\begin{itemize}
\item Verallgemeinerung von Taylorreihe (siehe \vref{sub:Cauchy-Taylor-Entwicklungssatz})
\end{itemize}

\subsection{Partialbruchzerlegung\index{Partialbruchzerlegung}}

\begin{enumerate}
\item Polynomdivision, und die Funktion in der Form $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}$
schreiben.

\begin{itemize}
\item grad von $r$ ist kleiner als grad von $n$
\end{itemize}
\item Den Rest $r\left(x\right)$ durch Partialbruchzerlegung vereinfachen,
dazu $n\left(x\right)$ in Linearfaktoren zerlegen. Dazu die Nullstellen
$p_{1},\ldots,p_{k}$ mit den Vielfachheiten $h_{1},\ldots,h_{k}$\[
n\left(x\right)=a\cdot\left(x-p_{1}\right)^{h_{1}}\cdot\ldots\cdot\left(x-p_{k}\right)^{h_{k}}\]

\item Nun die Gleichung Ansatz für Partialbruchzerlegung aufstellen \[
{\scriptstyle \frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}=\frac{A_{1,1}}{\left(x-p_{1}\right)^{1}}\ldots+\frac{A_{i,1}}{\left(x-p_{i}\right)^{1}}+\ldots+\frac{A_{k,h_{i}}}{\left(x-p_{i}\right)^{h_{i}}}+\ldots+\frac{A_{k,h_{k}}}{\left(x-p_{k}\right)^{h_{k}}}}\]


\begin{itemize}
\item Falls ein Nullstelle des Nennerpolynoms $h_{i}>1$ mal vorkommt, muss
man sie mehrfach als Nenner verwenden, in den Potenzen $1$ bis $h_{i}$.
\end{itemize}
\item Hauptnenner des Partialbruchs bilden und auf einen Nenner (dies ist
dann ja genau $n\left(x\right)$) bringen.
\item Für $x$ der Reihe nach $p_{1}$ bis $p_{k}$ einsetzen. So erhält
man $k$ Bestimmungsgleichunen für die $n$ Unbekannten $A_{i,j}$ 
\item Fertig!!
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Mit Partialbruchzerlegung lassen sich alle Gleichungen zur Summe über
geometrischen Reihen oder ähnlichem Umformen
\end{itemize}

\subsection{Singularität}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $c\in\Omega$ und $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Wir sagen dann hat $f$ eine \emph{isolierte Singularität\index{isolierte Singularität}\index{Singularität}}
in $c$.

Ist $K_{0,s}\left(c\right)=B_{s}\left(c\right)\backslash\left\{ 0\right\} \subseteq\Omega$
so haben wir auf diesem Kreisring eine Laurent-Entwicklung\[
f\left(z\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}\]


\begin{enumerate}
\item $c$ heißt \emph{hebbare Singularität\index{hebbare Singularität}}
wenn $a_{k}=0$ für alle $k<0$ 

\begin{itemize}
\item mit $f\left(c\right)=a_{0}$
\item $f$ ist in $c$ analytisch fortsetzbar
\end{itemize}
\item $c$ heißt \emph{Pol\index{Pol} (-stelle\index{Polstelle})} falls
es ein $k<0$ gibt mit $a_{k}\neq0$ und $a_{k}=0$ für fast alle
$k<0$.

\begin{itemize}
\item Wenn $c$ ein Pol, dann heißt $p_{c}\left(f\right)=\max\left\{ k>0|a_{-k}\neq0\right\} $
\emph{Polstellenordnung\index{Polstellenordnung}} von $c$.
\end{itemize}
\item $c$ heißt \emph{wesentliche Singularität}\index{wesentliche Singularität}
wenn $c$ weder Pol noch hebbar, d.h. es existieren unendlich viele
$a_{k}\neq0$ mit $k<0$.
\end{enumerate}

\subsection{hebbare Singularität und Beschränktheit}

Sei $c\in\Omega$ Singularität von $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Dann gilt: $c$ ist hebbare Singularität genau dann, wenn es $t>0$
gibt, so dass $f$ auf $K_{0,t}\left(c\right)$ beschränkt ist.

\begin{itemize}
\item Dann hat $f$ holomorphe Fortsetzung in Punkt $c$
\end{itemize}

\subsection{Grenzwert und Pol}

Sei $c\in\Omega$ Singularität von $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Dann ist $c$ Pol von $f$ genau dann, wenn gilt \[
\lim_{z\rightarrow c}\left|f\left(z\right)\right|=\infty\]



\subsection{Satz von Casorati-Weierstrass\index{Casorati-Weierstrass}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$, $c\in\Omega$, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Dann hat $f$ eine wesentliche Singularität in $c$ genau dann, wenn
es zu jedem $\omega\in\mathbb{C}$ eine Folge $\left(z_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
in $\Omega$ gibt mit $\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(z_{n}\right)=\omega$
und $\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=c$. Man sagt auch, die Werte
von $f$ nach $c$ liegen dicht in $\mathbb{C}$.


\subsection{Singularität in $\infty$}

Ist $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,\infty}\left(0\right)\right)$ so sagt
man, $\infty$ ist isolierte Singularität von $f$.

\begin{enumerate}
\item $\infty$ ist hebbare Singularität von $f$ $\Leftrightarrow$ $0$
hebbare Singularität von $z\mapsto f\left(\frac{1}{z}\right)$
\item $\infty$ ist Pol von $f$ $\Leftrightarrow$ $0$ Pol von $z\mapsto f\left(\frac{1}{z}\right)$
\item $\infty$ ist wesentliche Singularität von $f$ $\Leftrightarrow$
$0$ wesentliche Singularität von $z\mapsto f\left(\frac{1}{z}\right)$ 
\end{enumerate}

\subsection{diskret}

Eine Teilmenge $D\subseteq\mathbb{C}$ heißt \emph{diskret}\index{diskret},
wenn es zu jedem $d\in D$ eine $\varepsilon>0$ gibt, sodass $B_{\varepsilon}\left(d\right)\cap D=\left\{ d\right\} $.

\begin{itemize}
\item Die Vereinigung abgeschlossener diskreter Mengen ist wieder diskret
\item $D$ hat keine Häufungspunkte
\end{itemize}

\subsection{meromorph}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $D\subseteq\Omega$ sei abgeschlossen
(in $\Omega$) und diskret.

Eine Funktion $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash D\right)$ heißt
\emph{meromorph}\index{meromorph}, wenn alle Punkte in $D$ hebbare
Singularitäten oder Pole sind (wesentliche Singularitäten sind nicht
erlaubt).

Setze $P\left(f\right)=\left\{ d\in D|f\textrm{ hat Pol in }d\right\} $.

Es sei \begin{eqnarray*}
M\left(\Omega\right) & = & \left\{ f|f\textrm{ meromorph auf }\Omega\right.\\
 &  & \textrm{ für irgendeine abgeschlossene diskrete }\\
 &  & \left.\textrm{Menge }D\subseteq\Omega\right\} \end{eqnarray*}



\subsection{Kombination von meromorphen Funktionen}

Sind $f,g$ meromorph auf $\Omega$, so auch $f+g$ und $f\cdot g$.
Ist $g$ nicht die Nullfunktion, d.h. $g\neq\left[z\mapsto0\right]$,
so ist $\frac{1}{g}$ meromorph.


\subsection{Körper der meromorphen Funktionen}

$M\left(\Omega\right)$ ist ein Körper. Dabei muss man meromorphe
Funktionen $f,\tilde{f}\in M\left(\Omega\right)$ als gleich betrachten,
falls $P\left(f\right)=P\left(\tilde{f}\right)$ und falls $f$ und
$\tilde{f}$ die gleichen holomorphen Fortsetzungen auf $\Omega\backslash P\left(f\right)$
haben.

Fasst man $c\in\mathbb{C}$ als konstante Funktion $z\mapsto c$ auf,
hat man Inklusionen $\mathbb{C}\subseteq\mathcal{O}\left(\Omega\right)\subseteq M\left(\Omega\right)$.
$\mathbb{C}$ und $M\left(\Omega\right)$ sind Körper, $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
ist Ring.

$M\left(\Omega\right)$ heißt Funktionenkörper (Körper der meromorphen
Funktionen auf $\Omega$).

\begin{itemize}
\item Jede meromorphe Funktion ist Quotient holomporpher Funktionen, d.h.
$M\left(\Omega\right)$ ist Quotientenkörper des Ringes $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$.
\end{itemize}

\subsection{Riemannsphäre\index{Riemannsphäre}}

Die \emph{Riemannsphäre\index{Riemannsphäre}} ist $\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\} $.
Man definiert $\left(z_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{C}$
konvergiert gegen $\infty$ $\Leftrightarrow$ zu jedem $R>0$ gibt
es $l\in\mathbb{N}$, so dass $\left|z_{n}\right|\ge R$ für alle
$n\ge l$.

Ist $f\in M\left(\Omega\right)$, $d\in P\left(f\right)$, definiere
$f\left(d\right)=\infty$, dann ist $f:\Omega\rightarrow\hat{\mathbb{C}}$
stetig.


\section{Residuen}


\subsection{Residuum}

Ist $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $c\in\Omega$, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$.
Sei $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$ Laurententwicklung
von $f$ auf $K_{0,s}\left(c\right)\subseteq\Omega$. Das \emph{Residuum}\index{Residuum}
von $f$ in $c$ ist \[
\textrm{Res}_{c}\left(f\right)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\int_{\left|\xi-c\right|=t}f\left(\xi\right)d\xi\]
 für $0<t<s$.

\begin{itemize}
\item Ist $c$ eine hebbare Singularität von $f$, so gilt $\textrm{Res}_{c}\left(f\right)=0$
\end{itemize}

\subsection{Stammfunktion}

$\textrm{Res}_{c}$$\left(f\right)=a$ ist die bestimmte komplexe
Zahl $a$, für die gilt\[
z\mapsto f\left(z\right)-\frac{a}{z-c}\in\mathcal{O}\left(K_{0,s}\left(c\right)\right)\]
 hat eine Stammfunktion.


\subsection{Pol 1-ter Ordung}

Hat $f$ Pol 1-ter Ordnung in $c$, so gilt \[
\textrm{Res}_{c}\left(f\right)=\lim_{z\rightarrow c}\left(z-c\right)\cdot f\left(z\right)\]



\subsection{Bruch}

Sind $f,g\in\mathcal{O}\left(B_{r}\left(c\right)\right)$ mit $f\left(c\right)\neq0$,
$g\left(c\right)=0$ und $g'\left(c\right)\neq0$, so hat $\frac{f}{g}$
Pol. 1. Ordung in $c$, und\[
\textrm{Res}_{c}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f\left(c\right)}{g'\left(c\right)}\]



\subsection{Pol m-ter Ordnung}

Hat $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ Pol höchstens $m$-ter Ordnung
in $c$, ist \[
g\left(z\right)=\left(z-c\right)^{m}f\left(z\right)\]
 holomorphe Fortsetzung, so gilt \[
\textrm{Res}_{c}\left(f\right)=\frac{1}{\left(m-1\right)!}g^{\left(m-1\right)}\left(c\right)\]


\begin{itemize}
\item $f$ hat Pol höchstens $m$-ter Ordung in $c$ $\Leftrightarrow$
$\left(z-c\right)^{m}f\left(z\right)$ hat holomorphe Fortsetzung
in $z=c$
\end{itemize}

\subsection{Polstellenordnung / Polstellenmenge}

Sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$.

Mit $p_{c}\left(f\right)$ wird die \emph{Polstellenordnung\index{Polstellenordnung}}
bezeichent. $p_{c}\left(f\right)$ ist das kleinste $m$ für das $\left(z-c\right)^{m}f\left(z\right)$
holomorph fortsetzbar ist.

Mit $P\left(f\right)$ wird die \emph{Menge alle Polstellen} auf $\Omega$
bezeichnet.


\subsection{Windungszahl / Index}

Ist $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$ s.s.d. Weg mit
$\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$. Für $c\in\mathbb{C}\backslash\gamma\left(\left[a,b\right]\right)$
setze\[
\textrm{Ind}_{\gamma}\left(c\right)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{\xi-c}d\xi\in\mathbb{Z}\]
 die \emph{Windungszahl\index{Windungszahl}} oder den \emph{Index\index{Index}}
von $c$ bezüglich $\gamma$.


\subsection{logarithmische Ableitung}

Ist $l\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ eine Umkehrfunktion für
$\exp$ (d.h. $\exp\circ l=\textrm{id}_{\Omega}$) und ist $\Omega_{1}\rightarrow\Omega$
holomorph auf $\Omega_{1}\subseteq\mathbb{C}$, $h\left(z\right)\neq0$
für alle $z\in\Omega_{1}$, so gilt \[
\left(l\circ h\right)'=\frac{h'}{h}\]
Man nennt $\frac{h'}{h}$ \emph{logarithmische Ableitung\index{logarithmische Ableitung}}
von $h$.


\subsection{Innere}

Ist $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$ s.s.d. geschlossen
$\left(\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)\right)$, so ist
das \emph{Innere\index{Innere}} von $\gamma$\[
\textrm{Inn}\left(\gamma\right)=\left\{ c\in\mathbb{C}|\textrm{Ind}_{\gamma}\left(c\right)\neq0\right\} \]
Ist $\textrm{Ind}_{\gamma}\left(c\right)\in\left\{ 0,1\right\} $
für alle $c\in\mathbb{C}\backslash\gamma\left(\left[a,b\right]\right)$
so heißt $\gamma$ \emph{einfach geschlossener Weg}\index{einfach geschlossener Weg}.


\subsection{Null-homolog}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
s.s.d. geschlossen. Falls $\int_{\gamma}f\left(\xi\right)d\xi=0$
für alle $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, so heißt $\gamma$
\emph{Null-homolog}\index{homolog}\index{Null-homolog} in $\Omega$.

\begin{itemize}
\item Null-homotope Wege sind stets null homolog
\end{itemize}

\subsection{Residuensatz\index{Residuensatz}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
nullhomolog in $\Omega$, $D\subseteq\Omega$ sei endliche Menge mit
$D\cap\gamma\left(\left[a,b\right]\right)=\emptyset$. Für jedes $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash D\right)$
gilt dann\[
\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=\sum_{d\in D}\textrm{Res}_{d}\left(f\right)\cdot\textrm{Ind}_{\gamma}\left(d\right)\]



\subsection{Eigenschaften des Indexes}

Ist $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$ s.s.d. und geschlossen.
Sei $U=\mathbb{C}\backslash\gamma\left(\left[a,b\right]\right)$.

Dann ist $U\subseteq\mathbb{C}$ offen und \[
z\mapsto\textrm{Ind}_{\gamma}\left(z\right)\]
 ist \emph{stetig} auf $U$. Außerdem ist sie lokal konstant auf $M\subseteq U$.

Die Menge $\textrm{Inn}\left(\gamma\right)$ ist offen und beschränkt,
und \[
\textrm{Ext}\left(\gamma\right)=\left\{ z\in U|\textrm{Ind}_{\gamma}\left(z\right)=0\right\} \]
 ist offen und unbeschränkt.

\begin{itemize}
\item Eine Funktion $f$ ist \emph{lokal konstant\index{konstant}\index{lokal konstant}}
auf $U$ genau dann, wenn es zu jedem $z\in U$ ein $\varepsilon>0$
gibt, so dass $f$ auf $B_{\varepsilon}\left(z\right)$ konstant ist.
\end{itemize}

\subsection{Nullstellenordung}

Die \emph{Nullstellenordnung\index{Nullstellenordnung}} einer holomorphen
Funktion $f$ in $c\in\Omega$ ist die größte Zahl $n\in\mathbb{N}$,
für die die Funktion\[
z\mapsto\left(z-c\right)^{-n}f\left(z\right)\]
 eine holomorphe Fortsetzung in $c$ hat. Ist $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$
die Taylorreihe um $c,$ so gilt \[
a_{0}=a_{1}=\ldots=a_{n-1}=0\quad a_{n}\neq0\]
 falls die Nullstellenordnung $n$ ist.

Schreibe \[
n_{c}\left(f\right)=n\]


\begin{itemize}
\item $n=0$ $\Leftrightarrow$ keine Nullstelle in $c$
\item $n$ ist die \emph{algebraische Vielfachheit\index{algebraische Vielfachheit}}
der Nullstelle $c$
\end{itemize}

\subsection{Nullstellenmenge}

Ist $f\in M\left(\Omega\right)$, so ist \[
{\scriptstyle N\left(f\right)=\left\{ c\in\Omega|f\left(c\right)=0{\scriptscriptstyle \textrm{ oder }f\textrm{ hat holomorphe Fortsetzung in }c\textrm{ mit }f\left(c\right)=0}\right\} }\]
 die \emph{Nullstellenmenge\index{Nullstellenmenge}} von $f$.


\subsection{Residuumberechnung}

Sind $g,h\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, $n_{c}\left(g\right)\ge1$
für $c\in\Omega$, so gilt\[
\textrm{Res}_{c}\left(h\cdot\frac{g'}{g}\right)=+n_{c}\left(g\right)\cdot h\left(c\right)\]


Ist $h\in\mathcal{O}\left(\Omega\right),g\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash\left\{ c\right\} \right)$
mit Pol $n$-ter Ordnung in $c$, so gilt\[
\textrm{Res}_{c}\left(h\frac{g'}{g}\right)=-p_{c}\left(g\right)\cdot h\left(c\right)\]



\subsection{Integration von meromorphen Funktionen 1}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $f\in M\left(\Omega\right)$
und $D=N\left(f\right)\cup P\left(f\right)$ sei \emph{endlich}. Ist
$\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ nullhomolog in $\Omega$
und gilt $D\cap\gamma\left(\left[a,b\right]\right)=\emptyset$, und
ist $g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, so gilt\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}g\left(\xi\right)\frac{f'\left(\xi\right)}{f\left(\xi\right)}d\xi & = & \sum_{c\in N\left(f\right)}n_{c}\left(f\right)\textrm{Ind}_{\gamma}\left(c\right)g\left(c\right)\\
 &  & -\sum_{c\in P\left(f\right)}p_{c}\left(f\right)\textrm{Ind}_{\gamma}\left(c\right)g\left(c\right)\end{eqnarray*}



\subsection{Integration von meromorphen Funktionen 2}

Ist $\Omega$ Gebiet, $D=P\left(f\right)\cup N\left(f\right)$ endlich,
$f\in M\left(\Omega\right)$. $\gamma$ sei nullhomolog in $\Omega$
\emph{und} einfach geschlossen mit $D\subseteq\textrm{Inn}\left(\gamma\right)$.
Dann gilt\[
\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f'\left(\xi\right)}{f\left(\xi\right)}d\xi=\sum_{c\in N\left(f\right)}n_{c}\left(f\right)-\sum_{c\in P\left(f\right)}p_{c}\left(f\right)\]



\subsection{Satz von Rouche\index{Satz von Rouche}}

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ Gebiet, $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$
sei nullhomolog in $\Omega$ und einfach geschlossen. Weiter seien
$f,g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ mit $N\left(g\right)\cup N\left(f\right)\subseteq\textrm{Inn}\left(\gamma\right)$
endlich.

Falls gilt\[
\left|f\left(\gamma\left(t\right)\right)-g\left(\gamma\left(t\right)\right)\right|<\left|g\left(\gamma\left(t\right)\right)\right|\]
für alle $t\in\left[a,b\right]$ so gilt \[
\sum_{c\in N\left(f\right)}n_{c}\left(f\right)=\sum_{c\in N\left(g\right)}n_{c}\left(g\right)\]
 

\begin{itemize}
\item Summe der alg. Vielfachheiten ist gleich (die Funktionen haben gleichviele
Nullstellen).
\end{itemize}

\subsection{Berechnung trigonometrischer Integrale\index{trigonometrische Integrale}}

Sei $R\left(u,v\right)$ komplexe rationale Funktion in zwei (komplexen)
Variablen. Wir nehmen an, dass $R$ auf der Menge \[
\left\{ \left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)|t\in\mathbb{R}\right\} \subseteq\mathbb{C}\times\mathbb{C}\]
 definiert und stetig ist. Setze \[
\tilde{R}\left(z\right)=\frac{1}{z}R\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\]
dann gilt \[
\int_{0}^{2\pi}R\left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)dt=2\pi\cdot\sum_{\left|z\right|<1}\textrm{Res}_{z}\left(\tilde{R}\right)\]



\subsection{Berechnung uneigentlicher Integrale\index{uneigentliche Integrale}}

Gegeben sei das uneigentliche Integral \[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)dt=\lim_{a\rightarrow-\infty}\int_{a}^{0}f\left(t\right)dt+\lim_{b\rightarrow\infty}\int_{0}^{b}f\left(t\right)dt\]
 Sei \[
H=\left\{ z\in\mathbb{C}|\Im\left(z\right)\ge0\right\} \]
 die abgeschlossene obere Halbebene, sei $D\subseteq H\backslash\mathbb{R}$
endlich, für alle $d\in D$ gelte $\Im\left(d\right)>0$. Weiter sei
$\Omega\supseteq H$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash D\right)$.
Falls gilt \[
\lim_{z\rightarrow\infty}z\cdot f\left(z\right)=0\]
 und falls die Integrale $\int_{-\infty}^{0}f\left(t\right)dt$ und
$\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)dt$ existieren, so gilt\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)dt=2\pi i\sum_{z\in D}\textrm{Res}_{z}\left(f\right)\]


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\end{document}
