Ableitung einer Funktionenfolge

Sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ Folge in $\mathbb{C}$, $R$ der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$. Sei $r<R$. Dann ist die Funktion $f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$ holomorph auf der offenen Kreisscheibe $B_{r}\left(0\right)$, mit der Ableitung $f'\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)a_{n+1}z^{n}$.

• $f\left(z\right)=\frac{1}{1-z}$ ist für
  • $\left\vert z\right\vert<1$ $\Rightarrow$ $f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$
  • $\left\vert z\right\vert>1$ $\Rightarrow$ $f\left(z\right)=-\sum_{n=-1}^{-\infty}z^{n}$
• $\exp\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{n}$, $R=\infty$
• $\sin\left(z\right)=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n+1\right)!}z^{2n+1}$, $R=\infty$
• $\cos\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n\right)!}z^{2n}$, $R=\infty$
• $\exp'=\exp$, $\sin'=\cos$, $\cos'=-\sin$