Integral

Sei $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{C}$ stetig. Wir nennen $\gamma$ stückweise stetig differenzierbar (ssd). Wenn es Zahlen $a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b$ gibt, sodass $\left.\gamma\right\vert _{\left[a_{j},a_{j+1}\right]}$ stetig differenzierbar ist, $0\le j\le r-1$.

Für $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ stetig und $\gamma:\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ stückweise stetig differenzierbarer Weg (oder Kurve). Setze

$$\int_{\gamma}f\left(z\right)dz=\sum_{j=0}^{r-1}\int_{a_{j}}^{a_{j+1}}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\dot{\gamma}dt$$

Das Ergebniss des Integrals ist also eine komplexe Zahl.

Das Integrieren ist eine lineare Abbildung. Es gilt:

1. $\int_{\gamma}$ $\left(f\left(z\right)+g\left(z\right)\right)dz=\int_{\gamma}f\left(z\right)dz+\int_{\gamma}g\left(z\right)dz$
2. $\int_{\gamma}c\cdot f\left(z\right)dz=c\cdot\int_{\gamma}f\left(z\right)dz$
3. $\left\vert\int_{\gamma}f\left(z\right)dz\right\vert\le L\cdot M$
   $M=\sup\left\{ \left\vert f\left(\gamma\left(t\right)\right)\right\vert\vert t\in\left[a,b\right]\right\}$
   $L=L\left(\gamma\right)=\textrm{Kurvenlänge}=\int_{a}^{b}\left\vert\dot{\gamma}\left(t\right)\right\vert dt$