homotop, einfach zusammenhängend

Zwei Wege $\gamma_{0}:\left[0,1\right]\rightarrow X$ und $\gamma_{1}\left[0,1\right]\rightarrow X$ heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung $H:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\rightarrow X$ gibt mit

1. $H\left(t,0\right)=\gamma_{0}\left(t\right)$
2. $H\left(t,1\right)=\gamma_{1}\left(t\right)$
3. $H\left(0,s\right)=\gamma_{0}\left(0\right)=\gamma_{1}\left(0\right)$
4. $H\left(1,s\right)=\gamma_{0}\left(1\right)=\gamma_{1}\left(1\right)$

Schreibe dann $\gamma_{0}\simeq\gamma_{1}$.

$X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn $X$ wegzusammenhängend ist und für alle Wege $\gamma_{0},\gamma_{1}$ gilt: aus $\gamma_{0}\left(0\right)=\gamma_{1}\left(0\right)$ und $\gamma_{0}\left(1\right)=\gamma_{1}\left(1\right)$ folgt stets $\gamma_{0}\simeq\gamma_{1}$.

• $\Omega$ sternförmig $\Rightarrow$ $\Omega$ einfach zusammenhängend
• einfach zusammenhängend kann man sich vorstellen, das es möglich ist ein quadrat stetig auf $X$ abzubilden, also enthält z.B. $X$ im 2dimensionalen keine ``Löcher''
• Das Integral über zwei Wegen die homotopieäquivalent sind ist gleich, wenn $f$ auf diesem Gebiet holomorph
• Fall ein geschlossener Weg homotop zum ``Nullweg'' ist, nennt sich dieser Null-homotop.
  D.h. $\gamma$ heißt null-homotop in $\Omega$ falls $\gamma$ s.s.d. geschlossen und falls es ein stetiges $H:\left[0,1\right]\times\left[a,b\right]\rightarrow\Omega$ gibt mit $H\left(1,t\right)=\gamma\left(t\right)$ und $H\left(0,t\right)=\gamma\left(a\right)=\gamma\left(b\right)$ für alle $t$.