Cauchy-Taylor Entwicklungssatz

Sei $\Omega$ ein Gebiet, $c\in\Omega$, sei $r>0$ so, dass $\left\{ z\in\mathbb{C}\vert\left\vert z-c\right\vert\le r\right\} \subseteq\Omega$. Sei $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$. Dann gilt

$$f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$

für alle $z\in B_{r}\left(c\right)$ und

$$a_{k} = \frac{f^{\left(k\right)}\left(c\right)}{k!}$$

$$= \frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=r}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi$$

Insbesondere ist jedes $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ beliebig oft $\mathbb{C}$-differenzierbar.

• Sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet $\Omega\subseteq\mathbb{C}$. Ferner sei $a\in\Omega$ und $B_{R}\left(a\right)$ die größte offene Kreisscheibe um $a$, die noch ganz in $\Omega$ enthalten ist. Ist $f$ auf $B_{R}\left(a\right)$ unbeschränkt, dann ist $R$ gleich den Konvergenzradius der Taylorreihe von $f$ um den Entwicklungspunkt $a$.
• Taylorreihe ist Spezialfall der Laurent-Reihe (siehe sub:Entwicklungssatz-von-Laurent) mit $a_{k}=0$ für $k<0$.