Äquivalente Aussagen über Holomorphe Funktionen

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet, sei $f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}$ stetig. Folgende Bedinugen sind äquivalent.

1. $f$ ist holomorph
2. $f$ ist in jedem Punkt $z\in\Omega$ beliebig oft $\mathbb{C}$-differenzierbar
3. Für jedes $c\in\Omega$ und $r>0$ mit $B_{r}\left(c\right)\subseteq\Omega$ gilt
   $$f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-c\right)^{k}$$
   wobei
   

   $$a_{k} = \frac{f^{\left(k\right)}\left(c\right)}{k!}$$

   $$= \frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=r'}\frac{f\left(\xi\right)}{\left(\xi-c\right)^{k+1}}d\xi$$

   
   mit $r'<r$