Der Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen

Definition von $\mathbb{C}$

Für die Definition von $\mathbb{C}$ und den Operationen darauf siehe mein ``Formelsammlung für Analysis I / II''.

Topologie auf $\mathbb{C}$

Definition von Konvergenz, Cauchy-Folge, abgeschlossenheit und steigkeit äquivalent zu Analysis I / II.

Komplexe Funktionen

• $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$ für $\varphi\in\mathbb{R}$
• $e^{x+iy}=e^{x}\left(\cos x+i\sin y\right)$

Cayleyabbildung

Wir betrachten die obere Halbebene $\mathbb{H}=\left[z\in\mathbb{C}\vert\Im\left(z\right)>0\right]$

Die Caylayabbildung $z\mapsto\frac{z-i}{z+i}$ bildet die obere Halbebene $\mathbb{H}$ auf die offene Einheitskreisscheibe $\mathbb{E}=\left\{ z\in\mathbb{C}\vert\left\vert z\right\vert<1\right\}$ ab. Die Umkehrabbildung dazu ist $z\mapsto i\frac{1+z}{1-z}$.