Haupt- und Nebenteil

Sei $f\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}\left(c\right)\right)$. Dann gibt es $f_{+}\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}^{+}\left(c\right)\right)$ und $f_{-}\in\mathcal{O}\left(K_{r,s}^{-}\left(c\right)\right)$ mit $f_{+}\left(z\right)+f_{-}\left(z\right)=f\left(z\right)$ für alle $z\in K_{r,s}\left(c\right)$.

Dabei kann $f_{-}$ so gewählt werden, das $\lim_{z\rightarrow\infty}f_{-}\left(z\right)=0$. Mit dieser Zusatzbedingung ist $f_{+}$ und $f_{-}$ eindeutig bestimmt.

Die Funktionen $f_{-}$ und $f_{+}$ heißen Haupt- und Nebenteil von $f$.

• $f_{+}\left(z\right)=\lim_{t\rightarrow s}\frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi$
• $f_{-}\left(z\right)=\lim_{t\rightarrow r}-\frac{1}{2\pi i}\int_{\left\vert\xi-c\right\vert=t}\frac{f\left(\xi\right)}{\xi-z}d\xi$