Partialbruchzerlegung

1. Polynomdivision, und die Funktion in der Form $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}$ schreiben.
   • grad von $r$ ist kleiner als grad von $n$
2. Den Rest $r\left(x\right)$ durch Partialbruchzerlegung vereinfachen, dazu $n\left(x\right)$ in Linearfaktoren zerlegen. Dazu die Nullstellen $p_{1},\ldots,p_{k}$ mit den Vielfachheiten $h_{1},\ldots,h_{k}$
   $$n\left(x\right)=a\cdot\left(x-p_{1}\right)^{h_{1}}\cdot\ldots\cdot\left(x-p_{k}\right)^{h_{k}}$$

3. Nun die Gleichung Ansatz für Partialbruchzerlegung aufstellen
   $${\scriptstyle \frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}=\frac{A_{1,... ...-p_{i}\right)^{h_{i}}}+\ldots+\frac{A_{k,h_{k}}}{\left(x-p_{k}\right)^{h_{k}}}}$$
   • Falls ein Nullstelle des Nennerpolynoms $h_{i}>1$ mal vorkommt, muss man sie mehrfach als Nenner verwenden, in den Potenzen $1$ bis $h_{i}$.
4. Hauptnenner des Partialbruchs bilden und auf einen Nenner (dies ist dann ja genau $n\left(x\right)$) bringen.
5. Für $x$ der Reihe nach $p_{1}$ bis $p_{k}$ einsetzen. So erhält man $k$ Bestimmungsgleichunen für die $n$ Unbekannten $A_{i,j}$
6. Fertig!!

• Mit Partialbruchzerlegung lassen sich alle Gleichungen zur Summe über geometrischen Reihen oder ähnlichem Umformen