$\mathbb{C}$-differenzierbar / holomorph

Sei $U\subseteq\mathbb{C}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ stetig, sei $z\in U$. Wir sagen $f$ ist $\mathbb{C}$-differenzierbar in $z$ falls es eine stetige Funktion

$$\theta:B_{\varepsilon}\left(0\right)\rightarrow\mathbb{C}$$

gibt, so dass

$$f\left(z+h\right)-f\left(z\right)=\theta\left(h\right)\cdot h$$

gilt für alle $h\in B_{\varepsilon}\left(0\right)$ (wähle $\varepsilon$ so, dass $B_{\varepsilon}\left(z\right)\subseteq U$).

Falls solch ein $\theta$ existiert, ist es eindeutig bestimmt. Die Ableitung von $f$ ist $f'\left(z\right)=\theta\left(0\right)$.

Ist $f$ in jedem Punkt $z\in U$ $\mathbb{C}$-differenzierbar und ist $U$ ein Gebiet dann heißt $f$ holomorph.

Funktionen die auf ganz $\mathbb{C}$ holomorph sind, nennt man schlichte Funktionen.

• Der Differenzierbarkeitsbegiff aus Analysis II wird im folgenen $\mathbb{R}$-differenzierbarkeit genannt