Körper der meromorphen Funktionen

$M\left(\Omega\right)$ ist ein Körper. Dabei muss man meromorphe Funktionen $f,\tilde{f}\in M\left(\Omega\right)$ als gleich betrachten, falls $P\left(f\right)=P\left(\tilde{f}\right)$ und falls $f$ und $\tilde{f}$ die gleichen holomorphen Fortsetzungen auf $\Omega\backslash P\left(f\right)$ haben.

Fasst man $c\in\mathbb{C}$ als konstante Funktion $z\mapsto c$ auf, hat man Inklusionen $\mathbb{C}\subseteq\mathcal{O}\left(\Omega\right)\subseteq M\left(\Omega\right)$. $\mathbb{C}$ und $M\left(\Omega\right)$ sind Körper, $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ ist Ring.

$M\left(\Omega\right)$ heißt Funktionenkörper (Körper der meromorphen Funktionen auf $\Omega$).

• Jede meromorphe Funktion ist Quotient holomporpher Funktionen, d.h. $M\left(\Omega\right)$ ist Quotientenkörper des Ringes $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$.