Eigenschaften von holomorphen Funktionen

Sei $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ ein Gebiet.

$$\mathcal{O}\left(\Omega\right)=\left\{ f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}\vert f\textrm{ ist holomorph}\right\}$$

Dann ist $\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ ein $\mathbb{C}$-Vektorraum und ein Ring, der Ring der holomorphen Funktionen auf $\Omega$. Für alle $f,g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$, alle $c\in\mathbb{C}$ gilt

1. $f+g=\left[z\rightarrow f\left(z\right)+g\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
   $\left(f+g\right)'=f'+g'$
2. $f\cdot g=\left[z\rightarrow f\left(z\right)\cdot g\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
   $\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'$
3. $c\cdot f=\left[z\rightarrow c\cdot f\left(z\right)\right]\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$
   $\left(c\cdot f\right)'=c\cdot f'$

• Polynome sind holomorph
  $\left(z^{n}\right)'=n\cdot z^{n-1}$
• gebrochen rartionale Funktionen sind holomorph
• $f\left(x\right)=\overline{x}$ ist nicht holomorph, genauso wie alle funktionen die mit hilfe der Konjugation formuliert sind.
• $f\left(x\right)=\left\vert x\right\vert$ ist nicht holomorph
• Ist $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$-differenzierbar in $z\in U$, dann ist $f$ in $z$ $\mathbb{R}$-differenzierbar.
• $f\circ g\in\mathcal{O}\left(\Omega\right)$ mit Kettenregel:
  $\left(f\circ g\right)'\left(z\right)=g'\left(z\right)\cdot f'\left(g\left(z\right)\right)$