Drehstreckungen

Sei $J:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ definiert durch $J\left(z\right)=i\cdot z$, dass ist eine lineare Abbildung auf $\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}$ mit $J^{2}=-\textrm{id}$, also $\left(J\right)\left(-J\right)=\textrm{id}$.

Eine lineare Abbildung $T:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}^{2}$ ist genau dann linear über $\mathbb{C}$, wenn gilt

$$JT=TJ$$

In Matritzenschreibweise mit

$$J=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0\end{array}\right)$$

muss $T$ die Form haben

$$T=\left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta\\ -\beta & \alpha\end{array}\right)$$

für beliebige $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$. Solche $2\times2$-Matrizen werden Drehstreckungen genannt.

• Falls man $\mathbb{C}$ als $\mathbb{R}^{2}$ auffasst entspräche die Multiplikation mit einer komplexen Zahl genau einer solchen Drehstreckung.