Berechnung uneigentlicher Integrale

Gegeben sei das uneigentliche Integral

$$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)dt=\lim_{a\rightarrow-\inft... ...{a}^{0}f\left(t\right)dt+\lim_{b\rightarrow\infty}\int_{0}^{b}f\left(t\right)dt$$

Sei

$$H=\left\{ z\in\mathbb{C}\vert\Im\left(z\right)\ge0\right\}$$

die abgeschlossene obere Halbebene, sei $D\subseteq H\backslash\mathbb{R}$ endlich, für alle $d\in D$ gelte $\Im\left(d\right)>0$. Weiter sei $\Omega\supseteq H$ Gebiet, $f\in\mathcal{O}\left(\Omega\backslash D\right)$. Falls gilt

$$\lim_{z\rightarrow\infty}z\cdot f\left(z\right)=0$$

und falls die Integrale $\int_{-\infty}^{0}f\left(t\right)dt$ und $\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)dt$ existieren, so gilt

$$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(t\right)dt=2\pi i\sum_{z\in D}\textrm{Res}_{z}\left(f\right)$$