%% LyX 1.3 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[10pt,twoside,twocolumn,german]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{geometry}
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm,headheight=5mm,headsep=5mm,footskip=5mm}
\pagestyle{headings}
\setlength\parskip{\medskipamount}
\setlength\parindent{0pt}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{amssymb}
\IfFileExists{url.sty}{\usepackage{url}}
                      {\newcommand{\url}{\texttt}}

\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage{gastex}
%\renewcommand{\thesubsubsection}{\alph{subsubsection})}
\usepackage[linktocpage,pdfpagelabels,colorlinks,hyperindex]{hyperref}
%\usepackage[dvips,ps2pdf,pdfpagelabels]{hyperref}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{ae,aecompl}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Analysis III - gewöhnliche Differentialgleichungen\\
für Physiker und Mathematiker}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 18.02.2006 - Version: 1.0.0\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Analysis III -
gewöhnliche Differentialgleichungen'' von Prof. Dr. Linus Kramer
an der Technischen Universität Darmstadt im Wintersemester 2005/06.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Vektorfelder und Flüsse}


\subsection{Vektorfeld, Integralkurve}

Sei $E$ ein Banachraum, $U\subseteq E$ sei offen. Ein \emph{Vektorfeld\index{Vektorfeld}}
(\emph{VF}\index{VF}) $\xi$ ist eine Abbildung \[
\xi:U\rightarrow E\]
Ist $\xi$ stetig / differenzierbar, so heißt $\xi$ stetiges- / differenzierbares
Vektorfeld.

Ist $c:\left(a,b\right)\rightarrow U$ eine Kurve in U (stetig differenzierbar)
und gilt $\xi\left(c\left(t\right)\right)=\dot{c}\left(t\right)$,
so heißt $c$ \emph{Integralkurve\index{Integralkurve}} zum Vektorfeld
$\xi$.

\begin{itemize}
\item Wir veranschaulichen $\xi$, indem wir am Punkt $u\in U$ den Vektor
$\xi\left(u\right)$ abtragen.
\item {}``Physikalische'' Interpretaton: Eine Flüssigkeit strömt durch
$U$. Für $u\in U$ gibt $\xi\left(u\right)$ die Strömungsrichtung
und Geschwindigkeit an. Eine Integralkurve beschreibt ein Teilchen
in der Strömung.
\item Beachte: Die Bedingung $\xi\left(c\left(t\right)\right)=\dot{c}\left(t\right)$
ist eine gewöhnliche DGL. Wir werden sehen, das man \emph{alle} gew.
DGL so beschreiben kann.
\end{itemize}

\subsection{(lokaler) Fluss}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ sei offen, $\xi:U\rightarrow E$
sei Vektorfeld. Sei $V\subseteq U$ offen, sei $r>0$, \[
\varphi:\left(-r,r\right)\times V\rightarrow U\]
 heißt (lokaler) Fluss zu $\xi$, falls für alle $v\in V$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $\varphi\left(0,v\right)=v$
\item $c_{v}\left(t\right)=\varphi\left(t,v\right)$ ist eine Integralkurve
zu $\xi$.
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Der Fluss beschreibt also eine Schaar von Integralkurven. $\varphi\left(t,v\right)$
beschreibt ein Teilchen in der Strömung zum Zeitpunkt $t$, das zum
Zeitpunkt $t=0$ im Punkt $v\in V$ war.
\item Schreibe auch $\varphi_{t}\left(u\right):=\varphi\left(t,u\right)$
\item $\varphi$ ist stetig in beiden Argumenten
\end{itemize}

\subsection{Existenz und Eindeutigkeit}

Sei $E$ ein Banachraum, $U\subseteq E$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
$L$-Lipschitzstetiges Vektorfeld. Sei $u\in U$.

Dann gibt es $r,s>0$ und einen lokalen Fluss $\varphi:\left(-r,r\right)\times B_{s}\left(u\right)\rightarrow U$.
Der Fluss ist eindeutig bestimmt auf $\left(-r,r\right)\times B_{s}\left(u\right)$.

Insbesondere ist $\varphi$ Lipschitzstetig.


\subsection{Picard-Lindelöf-Iteration\index{Picard-Lindelöf-Iteration}}

Sei $E$ ein Banachraum, $U\subseteq E$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
$L$-Lipschitzstetiges Vektorfeld. Sei $u\in U$. Wähle $s>0$ so,
dass \[
D=\overline{B_{2s}\left(u\right)}=\left\{ x\in E|\left\Vert x-u\right\Vert \le2s\right\} \subseteq U\]
 und $r>0$ mit $r<\min\left\{ \frac{s}{2L\cdot s+\left\Vert \xi\left(u\right)\right\Vert },\frac{1}{L}\right\} $.
Sei $X_{w}=\left\{ c:\left[-r,r\right]\rightarrow D|c\textrm{ stetig, }c\left(0\right)=w\right\} $.

Die Funktion \begin{eqnarray*}
S_{w}:X_{w} & \rightarrow & X_{w}\\
\left[t\mapsto c\left(t\right)\right] & \mapsto & \left[t\mapsto w+\int_{o}^{t}\xi\left(c\left(x\right)\right)\, dx\right]\end{eqnarray*}
ist $K$-Lipschitzstetig mit $K<1$, hat also genau einen Fixpunkt
$c_{w}\in X_{w}$. \[
c_{w}\left(t\right)=\varphi\left(t,w\right)\]
 ist der lokale Fluss auf $\left(-r,r\right)\times B_{s}\left(u\right)$.

$c_{w}$ lässt sich iterativ wie folgt berechnen:\begin{eqnarray*}
c_{o}\left(t\right) & = & w\\
c_{n+1} & = & S_{w}\left(c_{n}\right)\\
c_{n+1}\left(t\right) & = & w+\int_{0}^{t}\xi\left(c_{n}\left(x\right)\right)\, dx\\
\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n} & = & c_{w}\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $c_{w}\left(t\right)$ ist stetig
\end{itemize}

\subsection{eindeutige Fortsetzbarkeit der Integralkurven}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ offen. Sei $\xi:U\rightarrow E$
ein Lipschitzstetiges Vektorfeld. Seien $a_{1},a_{2}<0<b_{1},b_{2}$
und $c_{i}:\left(a_{i},b_{i}\right)\rightarrow U$ Integralkurven
($i=1,2$) mit $c_{1}\left(0\right)=c_{2}\left(0\right)=v$ gegeben.

Dann gilt $c_{1}\left(t\right)=c_{2}\left(t\right)$ für alle $t\in\left(a_{1},b_{1}\right)\cap\left(a_{2},b_{2}\right)$.


\subsection{lokal Lipschitz-stetig}

Seien $\left(X,d_{x}\right)$ und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische
Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Wir sagen $f$ ist lokal
Lipschitz-stetig, wenn es zu jedem $x\in X$ ein $r>0$ gibt, sodass
die Einschränkung $\left.f\right|_{B_{r}\left(x\right)}$ Lipschitz-stetig
ist.

Sind $E,F$ Banachräume, $U\subseteq E$ offen, $f:U\rightarrow E$
stetig differenzierbar. Dann ist $f$ lokal Lipschitz-stetig.

\begin{itemize}
\item Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$
stetig
\item lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ stetige Differenzierbarkeit
\item lokal Lipschitz-stetig $\approx$ stetige Differenzierbarkeit\\
da lokal Lipschitz-stetige Funktionen schon in sehr vielen Punkten
stetig differenzierbar sind
\item $C^{1}$-Funktionen sind lokal Lipschitzstetig
\end{itemize}

\subsection{Eindeutigkeit des lokalen Flusses}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Sei $u\in U$, dann gibt es $r,s>0$
und einen lokalen Fluss $\varphi:\left(-r,r\right)\times B_{s}\left(u\right)\rightarrow U$.

Auf diesem Definitionsbereich ist $\varphi$ eindeutig bestimmt.


\subsection{maximale Integralkurve}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Sei $u\in U$, dann gibt es $r,s>0$
und einen lokalen Fluss $\varphi:\left(-r,r\right)\times B_{s}\left(u\right)\rightarrow U$.

Für $u\in U$ setze \[
J_{u}{\scriptstyle =\bigcup\left\{ \left(a,b\right)\in\mathbb{R}|a<0<b,\: c:\left(a,b\right)\rightarrow U\textrm{ ist Integralkurve mit }c\left(0\right)=u\right\} }\]


Dann gibt es genau eine Integralkurve $c_{u}:J_{u}\rightarrow U$
mit $c_{u}\left(0\right)=u$.

\begin{itemize}
\item $J_{u}$ ist also ein offenes Intervall
\end{itemize}

\subsection{globaler Fluss}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq U$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Sei $\Omega\subseteq\mathbb{R}\times E$
definiert als \[
\Omega=\left\{ \left(s,v\right)|s\in J_{v}\right\} \]
 und $\varphi:\Omega\rightarrow U$, $\varphi\left(t,u\right)=c_{u}\left(t\right)$.

Man nennt $\varphi$ den (\emph{globalen}) \emph{Fluss\index{globaler Fluss}\index{Fluss}}
von $\xi$, und $\Omega$ seinen Definitionsbereich.

Für jedes $\left(s,u\right)\in\Omega$ gilt\[
J_{\varphi\left(s,u\right)}=\left\{ t-s|t\in J_{u}\right\} =J_{u}-s\]
weiter gilt \[
\varphi\left(s,\varphi\left(t,u\right)\right)=\varphi\left(s+t,u\right)=\varphi\left(t,\varphi\left(s,u\right)\right)\]
 wo das definiert ist. Schreibe kurz\[
\varphi_{s}\left(u\right):=\varphi\left(s,u\right)\]
\[
\varphi_{s}\circ\varphi_{t}=\varphi_{s+t}=\varphi_{t}\circ\varphi_{s}\]


\begin{itemize}
\item $\Omega$ ist der maximale Definitionsbereich für $\varphi$
\end{itemize}

\subsection{1-Parametergruppe von Abbildungen}

Ist $\Omega=\mathbb{R}\times U$ (d.h. $c_{u}$ ist auf $\mathbb{R}$
definiert für alle $u\in U$)

\begin{itemize}
\item $\varphi_{s}\circ\varphi_{t}=\varphi_{s+t}$ $\forall s,t\in\mathbb{R}$
\item $\varphi_{s}^{-1}=\varphi_{-s}$
\item $\varphi_{0}=\textrm{id}$
\end{itemize}
Man spricht hier auch von einer \emph{$1$-Parametergruppe von Abbildungen}.\[
s\mapsto\varphi_{s}\]
 ist der entsprechnende Gruppenhomomorphismus.

\begin{itemize}
\item selbst bei $E=U=\mathbb{R}$ gilt im Allgemeinen \emph{nicht} $J_{u}=\mathbb{R}$ 
\end{itemize}

\subsection{Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion}}

Sei $U=E$ Banachraum z.B. $E=\mathbb{R}^{n}$ $T:E\rightarrow E$
linear und stetig ($T\in\mathcal{L}\left(E,E\right)$). \[
\exp\left(T\right):=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}T^{k}\]


\begin{itemize}
\item $\frac{d}{dt}\exp\left(t\cdot T\right)=T\cdot\exp\left(t\cdot T\right)=\exp\left(t\cdot T\right)\cdot T$
\item $\exp\left(\left(t+s\right)\cdot T\right)=\exp\left(t\cdot T\right)\cdot\exp\left(s\cdot T\right)$
\item Falls $X\cdot Y=Y\cdot X$ gilt\\
$\exp\left(X+Y\right)=\exp\left(X\right)\cdot\exp\left(Y\right)$
\item $\exp\left(0\cdot T\right)=\textrm{id}$
\item $\left(\exp\left(T\right)\right)^{-1}=\exp\left(-T\right)$
\item $\textrm{exp}\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc}
0 & r\\
0 & 0\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & t\cdot r\\
0 & 1\end{array}\right)$
\item $\textrm{exp}\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc}
1 & r\\
0 & 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}
e^{t} & e^{t}\cdot t\cdot r\\
0 & e^{t}\end{array}\right)$
\item Drehmatrix\begin{eqnarray*}
R\left(t\right) & = & \exp\left(t\cdot\left(\begin{array}{cc}
0 & 1\\
-1 & 0\end{array}\right)\right)\\
 & = & \left(\begin{array}{cc}
\cos\left(t\right) & \sin\left(t\right)\\
-\sin\left(t\right) & \cos\left(t\right)\end{array}\right)\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\subsubsection{Blockdiagonalmatrizen}

Ist $A$ eine \emph{Blockdiagonalmatrix}\index{Blockdiagonalmatrix},
d.h. \[
A=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1} &  &  & 0\\
 & A_{2}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & A_{r}\end{array}\right)\]
 mit $A_{1},\ldots,A_{r}$ ebenfalls Matritzen. Dann gilt\[
{\scriptstyle \exp\left(t\cdot A\right)}=\left(\begin{array}{cccc}
{\scriptstyle \exp\left(t\cdot A_{1}\right)} &  &  & 0\\
 & {\scriptstyle \exp\left(t\cdot A_{2}\right)}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & {\scriptstyle \exp\left(t\cdot A_{r}\right)}\end{array}\right)\]


\begin{itemize}
\item Dies ist für Diagonalmatrizen bereits eine geschlossene Lösungsformel
\item gilt ebenso für komplexe Matritzen
\end{itemize}

\subsubsection{Basiswechsel}

Ist $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$ und ist $R\in\mathcal{L}$ invertierbar
(d.h. $R\in GL\left(E\right)$), so gilt\[
\exp\left(RAR^{-1}\right)=R\exp\left(A\right)R^{-1}\]


\begin{itemize}
\item gilt ebenso für komplexe Matritzen
\end{itemize}

\subsubsection{Jordanblock}

Eine komplexe $k\times k$-Matrix der Form \[
J_{k}\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\alpha & 1 &  & 0\\
 & \alpha & \ddots\\
 &  & \ddots & 1\\
0 &  &  & \alpha\end{array}\right)\]
 für $\alpha\in\mathbb{C}$, heißt \emph{Jordan-Block\index{Jordan-Block}}
der Größe $k$ zum Eigenwert $\alpha$.


\subsubsection{Jordan-Normalform}

Ist $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$, so gibt es $R\in\mathbb{C}^{n\times n}$,
$R$ invertierbar, so dass gilt \[
RAR^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
A_{1} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & A_{k}\end{array}\right)\]
 ist Blockdiagonal und $A_{j}=J_{m_{j}}\left(\alpha_{j}\right)$ ist
Jordanblock. $RAR^{-1}$ nennt sich die \emph{Jordan-Normalform\index{Jordan-Normalform}}
von $A$.


\subsubsection{Nilpotent}

Eine Matrix $N\in\mathbb{C}^{n\times n}$ heißt \emph{nilpotent\index{nilpotent}},
falls $N^{m}=0$ gilt für ein $m\in\mathbb{N}.$

Ist $N,A\in\mathbb{C}^{n\times n}$, $N$ nilpotent mit $N^{m}=0$
und gilt $AN=NA$, so gilt

\begin{enumerate}
\item $\exp\left(t\cdot N\right)=1+t\cdot N$+$\frac{1}{2}t^{2}N^{2}+\ldots+\frac{1}{\left(m-1\right)!}N^{m-1}$
\item $\exp\left(t\left(N+A\right)\right)=\exp\left(t\cdot N\right)\exp\left(t\cdot A\right)=\exp\left(t\cdot A\right)\exp\left(t\cdot N\right)$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Gilt $XY=YX$ für $X,Y\in\mathcal{L}\left(E\right)$, so gilt $\exp\left(X+Y\right)=\exp\left(X\right)\exp\left(Y\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Exp und Jordan-Block}

Setze \begin{eqnarray*}
E_{n,k} & = & \left(\begin{array}{ccccc}
 &  & 1 &  & 0\\
 &  &  & \ddots\\
 &  &  &  & 1\\
\\0\end{array}\right)\\
\left(E_{n,k}\right)_{i,j} & = & \begin{cases}
1 & i-j=k\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}\end{eqnarray*}


Hiermit lässt sich ein Jordan Block schreiben als\[
J_{n}\left(\alpha\right)=\alpha\cdot1+E_{n,1}\]


Hiermit gilt nun\[
\exp\left(t\cdot J_{n}\left(\alpha\right)\right)=e^{\alpha t}\left({\scriptstyle 1+tE_{n,1}+\frac{t^{2}}{2}E_{n,2}+\ldots+\frac{t^{n-1}}{\left(n-1\right)!}E_{n,n-1}}\right)\]


\begin{itemize}
\item $E_{n,k}=0$ für $k\ge n$
\item $E_{n,0}=1$
\item $E_{n,k}\cdot E_{n,l}=E_{n,k+l}$
\item $E_{n,1}^{n}=0$
\item $\alpha1\cdot E_{n,1}=E_{n,1}\alpha1$
\end{itemize}

\subsection{Lineares Vektorfeld}

Wir betrachten das Vektorfeld $\xi$ auf $F=U=\mathcal{L}\left(E,E\right)\times\mathcal{L}\left(E,E\right)$
und\[
\xi\left(S,T\right)=\left(S\cdot T,0\right)\]
das heißt die zugehörige DGL hat folgende Gestalt\[
\left(\dot{S}\left(t\right),\dot{T}\left(t\right)\right)=\left(S\left(t\right)\cdot T\left(t\right),0\right)\]


Die Lösung für $s$ lautet\begin{eqnarray*}
T\left(t\right) & = & T_{0}\\
S\left(t\right) & = & S_{0}\cdot\exp\left(t\cdot T_{0}\right)\end{eqnarray*}



\subsection{stetiges Vektorfeld}

Sei $U\subseteq E$ offen, $E$ Banachraum, $\xi:U\rightarrow E$
ein $C^{k}$-Vektorfeld, $k\ge1$. Dann gibt es zu jedem $u\in U$
$a,b>0$ so, dass $\varphi:\left(-a,a\right)\times B_{b}\left(u\right)\rightarrow U$
$k$-mal stetig differenzierbar (als Funktion in allen Variablen).


\subsection{Eigenschaften von Lösungen}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ offen, $\xi:U\rightarrow E$
(lokal) Lipschitz-stetig bzw. $C^{k}$-Funktion, $k\ge1$. Dann ist
$\Omega=\left\{ \left(t,u\right)|t\in J_{u}\right\} \subseteq\mathbb{R}\times U$
offen und $\varphi:\Omega\rightarrow U$ ist stetig, bzw. $C^{k}$-Funktion
auf ganz $\Omega$.


\subsection{Variation}


\subsubsection{Zeitabhängige\index{Zeitabhängige Vektorfelder} Vektorfelder}

Gegeben $E$ Banachraum, $U\subseteq E\times\mathbb{R}$ offen\begin{eqnarray*}
\xi:U & \rightarrow & E\\
\left(x,t\right) & \mapsto & \xi\left(x,t\right)\end{eqnarray*}


Gesucht ist Integralkurve $c_{v}:I\rightarrow E$ mit $\dot{c}_{v}\left(t\right)=\xi\left(c_{v}\left(t\right),t\right)$
und $c_{v}\left(0\right)=v$.

Sei $\tilde{\xi}:U\rightarrow U$, $\tilde{\xi}\left(v,t\right)\mapsto\left(\xi\left(v,t\right),1\right)$
und $\tilde{v}=\left(v,0\right)$ mit der Integralkurve $\tilde{c}_{\tilde{v}}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},t\right)$.

\begin{itemize}
\item Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$
als Lösung für ursprüngliches Problem
\end{itemize}

\subsubsection{Parameterabhängiges\index{Parameterabhängiges Vektorfeld} Vektorfeld}

Sei $E,F$ Banachräume, $U\subseteq E\times F$ offen. Eine Abbildung
$\xi:U\rightarrow E$, $\left(x,y\right)\mapsto\xi\left(x,y\right)$
heißt parameterabhängiges Vektorfeld. Gesucht ist Integralkurve $c_{v}:I\rightarrow E$
mit $\dot{c}_{v}\left(t\right)=\xi\left(c_{v}\left(t\right),w\right)$
und $c_{v}\left(0\right)=v$.

Sei $\tilde{\xi}:U\rightarrow U$, $\tilde{\xi}\left(x,y\right)\mapsto\left(\xi\left(x,y\right),0\right)$
und $\tilde{v}=\left(v,w\right)$ mit der Integralkurve $\tilde{c}_{\tilde{v}}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},w\right)$.

\begin{itemize}
\item Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$
als Lösung für ursprüngliches Problem
\end{itemize}

\subsubsection{Vektorfelder höherer\index{Vektorfelder höherer Ordnung} Ordnung}

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E^{n}=E\times\ldots\times E$ offen.
Sei $\xi:U\rightarrow E$ mit der gesuchten Integralkurve\begin{eqnarray*}
c_{v}^{\left(n\right)}\left(t\right) & = & \xi\left(c_{v}\left(t\right),\dot{c}_{v}\left(t\right),\ddot{c}_{v}\left(t\right),\ldots,c_{v}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)\\
c_{v}^{\left(k\right)}\left(0\right) & = & v_{k}\textrm{ für }k=0,\ldots,n-1\\
v & = & \left(v_{0},\ldots,v_{n-1}\right)\end{eqnarray*}


Betrachte das Vektorfeld\begin{eqnarray*}
\tilde{\xi}:U & \rightarrow & U\\
\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right) & \mapsto & \left(x_{1},\ldots,x_{n-1},\xi\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)\right)\end{eqnarray*}
Dies hat die Integralkurve \[
\tilde{c}_{v}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},c_{1}\left(t\right),\ldots,c_{n-1}\left(t\right)\right)\]


\begin{itemize}
\item Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$
als Lösung für ursprüngliches Problem
\item Ist $\xi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=a_{0}x_{1}+a_{1}x_{2}+\ldots+a_{n-1}x_{n}$,
$E=\mathbb{R}$. Es gilt\[
\dot{c}\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 1 &  &  & 0\\
 & \ddots & \ddots\\
 &  & \ddots & \ddots\\
0 &  &  & 0 & 1\\
a_{0} & a_{1} & \ldots & \ldots & a_{n-1}\end{array}\right)c\left(t\right)\]

\end{itemize}

\subsubsection{Anderer Startpunkt\index{Startpunkt}}

Ist $c_{k}$ eine Integralkurve zu $\xi$ mit $c_{v}\left(0\right)=v$,
so ist \[
c_{v,t_{0}}\left(t\right)=c_{v}\left(t-t_{0}\right)\]
 eine Integralkurve mit $c_{v,t_{0}}\left(t_{0}\right)=v$.

\begin{itemize}
\item Also erst Lösen mit Startzeitpunkt $0$ und dann $t$ mit $t-t_{0}$
Substituieren
\end{itemize}

\subsection{Differentialgleichung mit getrennten Variablen}

Sei \[
y'=f\left(t\right)g\left(y\right)\]
 eine DGL mit $f:J\rightarrow\mathbb{R}$, $g:I\rightarrow\mathbb{R}$
und $g\left(y\right)\neq0$ für \emph{alle} $y\in I$.

Ansatz\begin{eqnarray*}
F\left(t\right) & = & \int_{0}^{t}f\left(s\right)ds\\
H\left(y\right) & = & \int_{y_{0}}^{y}\frac{1}{g\left(\omega\right)}d\omega\end{eqnarray*}
Dann gilt für die Lösung $y\left(t\right)$ zum Anfangswert $y\left(0\right)=y_{0},$
dass\[
H\left(y\left(t\right)\right)=F\left(t\right)\]


\begin{itemize}
\item Falls $H\left(t\right)$ invertierbar, gilt\[
y\left(t\right)=H^{-1}\left(F\left(t\right)\right)\]

\item Als Merkregel lässt sich dies wie folgt festhalten:

\begin{enumerate}
\item $y'=\frac{dy}{dt}=f\left(t\right)g\left(y\right)$
\item $\frac{1}{g\left(y\right)}dy=f\left(t\right)dt$
\item $\int_{y_{0}}^{y}\frac{1}{g\left(\tilde{y}\right)}d\tilde{y}=\int_{t_{0}}^{t}f\left(\tilde{t}\right)dt$
\item Integrale Lösen
\item nach $y$ freistellen
\item \emph{Probe!!}
\end{enumerate}
\item Bei $y'=f\left(\frac{y}{t+a}\right)$ mit $z=\frac{y}{t+a}$ Substituieren
\end{itemize}

\section{Lineare Differentialgleichungen}

Betrachte folgende Situation: $E$ Banachraum \[
\mathcal{L}\left(E\right):\left\{ T:E\rightarrow E|T\textrm{ linear und stetig}\right\} \]


$\mathcal{L}\left(E\right)$ ist Banachraum bzgl. Operatornorm und
$\mathcal{L}\left(\mathbb{R}\right)\cong\mathbb{R}^{n\times n}$ (Raum
der $n\times n$ Matritzen).


\subsection{homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten}

Sei $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$, betrachte die DGL \[
y'=Ay\]
Diese DGL heißt \emph{homogene lineare DGL\index{lineare DGL} mit
konstanten Koeffizienten}.

Das zugehörige Vektorfeld $\xi$ auf $E$ ist $\xi\left(u\right)=Au$.
Beachte: $\xi$ ist $C^{\infty}$-Funktion, das Gleiche gilt also
für den Fluss $\varphi$. Es gilt\[
\varphi_{t}\left(u\right)=\exp\left(t\cdot A\right)u\]
auf $\Omega=\mathbb{R}\times E$.

\begin{itemize}
\item mit $E=\mathbb{R}^{n}$, $A=\mathbb{R}^{n\times n}$ Matrix. Die DGL
$y'=Ay$ mit $y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ hat die Lösung\[
y=\exp\left(t\cdot A\right)\cdot y_{0}\]

\item Falls es zu auswändig ist, die Jordan Basis zu bestimmen, einfach
nur die Jordan Matrix berechnen, und prüfen, ob die Elemente der Matrix
mögliche Lösungen sind. Sobald $n$ unterschiedliche gefunden wurden,
hat man den kompletten Lösungsraum der DGL abgedeckt.
\end{itemize}

\subsection{Linear und Zeitabhängig}

Sei $E$ Banachraum, $J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall mit
$0\in J$, $\alpha:J\rightarrow\mathbb{R}$ lokal Lipschitz-stetig.
Betrachte die DGL\[
\dot{c}\left(t\right)=\alpha\left(t\right)\cdot A\left(t\right)\cdot c\left(t\right)\]
 für festes $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$. Die Lösung auf dem Lösungsintervall
$J$ lautet\[
c\left(t\right)=\exp\left(\left(\int_{0}^{t}\alpha\left(s\right)ds\right)\cdot A\right)\cdot c\left(0\right)\]



\subsection{Inhomogene DGL}

Sei $E$ Banachraum, $J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall mit
$0\in J$. Seien $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$ und $b:J\rightarrow E$
stetig. Die DGL \[
\dot{c}\left(t\right)=A\cdot c\left(t\right)+b\left(t\right)\]
 heißt \emph{inhomogene lineare Differentialgleichung}\index{inhomogene lineare Differentialgleichung}.
Das Lösungsinterall ist ganz $J$.


\subsection{Lösungsraum von homogenen DGL - Lösungsfundamentalsystem}

Sei $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$ stetig, $E$ Banachraum.
Angenommen $c_{u}:J\rightarrow E$ und $c_{v}:J\rightarrow E$ sind
Lösungen der DGL\[
\dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)\]
 mit $c_{u}\left(0\right)=u$ und $c_{v}\left(0\right)=v$. 

Sind $a,b\in\mathbb{R}$, so ist \[
c\left(t\right)=a\cdot c_{u}\left(t\right)+b\cdot c_{v}\left(t\right)\]
 wieder Lösung zum Anfangswert \[
a\cdot u+b\cdot v\]
 Die Abbildung $u\mapsto c_{u}$, $E\rightarrow C^{1}\left(J,E\right)$
ist linear und injektiv. Das Bild dieser Abbildung $\left\{ c_{u}|u\in E\right\} $
heißt \emph{Lösungsraum\index{Lösungsraum}} der lin. homogenen DGL.
Insbesondere: ist $\textrm{dim}E=n$, so ist der Lösungsraum $n$-dimensional.
Ist $b_{1},\ldots,b_{n}$ Basis von $E$ so ist\[
c_{u}\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}c_{b_{k}}\left(t\right)\]
die (eindeutige) Lösung zum Anfangswert \[
u=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\]
Man nennt $c_{1},\ldots,c_{k}$ dann auch \emph{Lösungsfundamentalsystem\index{Lösungsfundamentalsystem}}
der homogenen lin. DGL $\dot{c}=Ac$.

\begin{itemize}
\item Der Real- und Imaginärteil einer Komplexen Lösung sind wieder relle
Lösungen
\item Die Spalten von $\exp\left(t\cdot A\right)$ bilden ein Fundamentalsysten,
unabhängig von der konkreten Basis von A
\end{itemize}

\subsection{Lösungsraum der inhomogenen linearen DGL}

Ist $E$ Banachraum, $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$, $b:J\rightarrow E$
stetig, inhomogene lin. DGL\[
\dot{c}=Ac+b\]


Angenommen $c:J\rightarrow E$ ist eine Lösung der DGL $\dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)+b\left(t\right)$
und $e:J\rightarrow E$ ist Lösung der homogenen DGL\[
\dot{e}\left(t\right)=A\left(t\right)e\left(t\right)\]
Dann ist $t\mapsto\left(c+e\right)\left(t\right)$eine Lösung der
inhomogenen linearen DGL\[
\dot{\overbrace{\left(c+e\right)}}=A\left(t\right)\left(c+e\right)\left(t\right)+b\left(t\right)\]
 zum Anfangswert $e\left(0\right)+c\left(0\right)$.


\subsection{Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL}

Sei $E$ Banachraum, $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$, $b:J\rightarrow E$
seien stetig auf offenen Intervall $J\subseteq\mathbb{R}$ mit $0\in J$.
Ist $e:J\rightarrow E$ eine Lösung der homogenen lin. DGL $\dot{e}\left(t\right)=A\left(t\right)e\left(t\right)+b\left(t\right)$,
mit Anfangswert $e\left(0\right)=u\in E$, so erhalten wir alle weiteren
Lösungen zu anderen Anfangswerten durch Addieren von Lösungen der
homogenen linearen DGL $\dot{c}=Ac$.

Insbesondere $e\left(0\right)=0$ und sind $c_{1},\ldots,c_{n}$ Fundamentalsystem
der homogenen DGL, so ist jede Lösung der inhomogenen DGL von der
Art\[
c\left(t\right)=e\left(t\right)+\sum_{k=1}^{n}a_{k}c_{k}\left(t\right)\]
 mit $c\left(0\right)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$, wobei $b_{k}=c_{k}\left(0\right)$.


\subsection{Variation der Konstanten\index{Variation der Konstanten}}

Betrachte DGL \[
\dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)+b\left(t\right)\]
 umschreiben in zeitunabhängiges (homogenes) Vektorfeld $\tilde{\xi}:E\times J\rightarrow E\times\mathbb{R}$,
$\tilde{\xi}\left(u,r\right)=\left(A\left(r\right)u,1\right)$. Der
zugehörige Fluss\begin{eqnarray*}
\tilde{\varphi}:J\times E\times J & \rightarrow & E\times\mathbb{R}\\
\tilde{\varphi}_{t}\left(u,r\right) & = & \left(\varphi_{t}\left(u,r\right),t+r\right)\end{eqnarray*}
Setze $\Phi_{t}\left(u\right)=\varphi_{t}\left(u,0\right)$, $\Phi:J\rightarrow\mathcal{L\left(E\right)}$,
invertierbar.

Definiere die Hilfsfunktion\begin{eqnarray*}
h\left(t\right) & = & \int_{0}^{t}\Phi_{s}^{-1}b\left(s\right)\, ds\\
\dot{h}\left(t\right) & = & \Phi_{t}^{-1}b\left(t\right)\\
h\left(0\right) & = & 0\end{eqnarray*}
Mit dem Ansatz \[
e\left(t\right)=\Phi_{t}\left(h\left(t\right)\right)\]
 gilt \begin{eqnarray*}
e\left(0\right) & = & 0\\
\dot{e}\left(t\right) & = & A\left(t\right)e\left(t\right)+b\left(t\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Insegsamt ergibt dies\[
c_{w}\left(t\right)=Re^{t\tilde{A}}\left(\int_{0}^{t}e^{-t\tilde{A}}R^{-1}b\left(t\right)dt+R^{-1}w\right)\]

\item Dieses $e$ ist also die Gesuchte spezielle Lösung des inhomogenen
Systems.
\item Strategie zum Lösen der inhomogenen DGL $\dot{c}=Ac+b$:

\begin{enumerate}
\item Löse homogene DGL, berechne $\Phi_{t}$
\item Finde spezielle Lösung der inhomogenen DGL z.B. durch Variation der
Konstanten
\item Erhalte allgemeine Lösung (alle Lösungen) 
\item aus 1. + 2.
\end{enumerate}
\end{itemize}

\subsection{Äquivalenzen für linearen DGL}

Sei $E$ Banachraum, $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$ stetig.
Sei $X\subseteq E$. Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $X$ ist linear unabhängig
\item $\left\{ c_{u}|u\in X\right\} \subseteq C\left(J,E\right)$ ist linear
unabhängig
\item Für alle $t\in J$ ist $\left\{ c_{u}\left(t\right)|u\in X\right\} \subseteq E$
linear unabhängig
\item Für ein $t\in J$ ist $\left\{ c_{u}\left(t\right)|u\in X\right\} \subseteq E$
linear unabhängig
\end{enumerate}

\subsection{Wronski-Determinante}

Betrachte die homogene lineare DGL $n$-ter Ordnung\[
y^{\left(n\right)}\left(t\right)a_{n}\left(t\right)+\ldots+y'\left(t\right)a_{1}\left(t\right)+y\left(t\right)a_{0}\left(t\right)=0\]
 mit $y:J\rightarrow\mathbb{R}$ und $a_{n}\left(t\right)\neq0$ für
alle $t\in J$.

Sind $y_{1},\ldots,y_{n}:J\rightarrow\mathbb{R}$ Lösungen dieser
DGL, so gilt:

$y_{1},\ldots,y_{n}$ ist linear unabhängig genau dann, wenn für \emph{ein}
$t\in J$ (und damit jedes $t\in J$) die \emph{Wronski-Determinante}
\[
W\left(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n}\\
y_{1}' & y_{2}' &  & y_{n}'\\
y_{1}'' & y_{2}'' &  & y_{n}''\\
\vdots & \vdots &  & \vdots\\
y_{1}^{\left(n+1\right)} & y_{2}^{\left(n+1\right)} & \cdots & y_{n}^{\left(n+1\right)}\end{array}\right)\]
$\neq0$ ist.

\printindex{}
\end{document}