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globaler Fluss

Sei $ E$ Banachraum, $ U\subseteq U$ offen, $ \xi:U\rightarrow E$ ein lokal Lipschitz-stetiges Vektorfeld. Sei $ \Omega\subseteq\mathbb{R}\times E$ definiert als

$\displaystyle \Omega=\left\{ \left(s,v\right)\vert s\in J_{v}\right\} $

und $ \varphi:\Omega\rightarrow U$, $ \varphi\left(t,u\right)=c_{u}\left(t\right)$.

Man nennt $ \varphi$ den (globalen) Fluss von $ \xi$, und $ \Omega$ seinen Definitionsbereich.

Für jedes $ \left(s,u\right)\in\Omega$ gilt

$\displaystyle J_{\varphi\left(s,u\right)}=\left\{ t-s\vert t\in J_{u}\right\} =J_{u}-s$

weiter gilt

$\displaystyle \varphi\left(s,\varphi\left(t,u\right)\right)=\varphi\left(s+t,u\right)=\varphi\left(t,\varphi\left(s,u\right)\right)$

wo das definiert ist. Schreibe kurz

$\displaystyle \varphi_{s}\left(u\right):=\varphi\left(s,u\right)$

$\displaystyle \varphi_{s}\circ\varphi_{t}=\varphi_{s+t}=\varphi_{t}\circ\varphi_{s}$



Marco Möller 12:27:24 18.02.2006