Variation

Zeitabhängige Vektorfelder

Gegeben $E$ Banachraum, $U\subseteq E\times\mathbb{R}$ offen

$$\xi:U \rightarrow E$$

$$\left(x,t\right) \mapsto \xi\left(x,t\right)$$

Gesucht ist Integralkurve $c_{v}:I\rightarrow E$ mit $\dot{c}_{v}\left(t\right)=\xi\left(c_{v}\left(t\right),t\right)$ und $c_{v}\left(0\right)=v$.

Sei $\tilde{\xi}:U\rightarrow U$, $\tilde{\xi}\left(v,t\right)\mapsto\left(\xi\left(v,t\right),1\right)$ und $\tilde{v}=\left(v,0\right)$ mit der Integralkurve $\tilde{c}_{\tilde{v}}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},t\right)$.

• Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$ als Lösung für ursprüngliches Problem

Parameterabhängiges Vektorfeld

Sei $E,F$ Banachräume, $U\subseteq E\times F$ offen. Eine Abbildung $\xi:U\rightarrow E$, $\left(x,y\right)\mapsto\xi\left(x,y\right)$ heißt parameterabhängiges Vektorfeld. Gesucht ist Integralkurve $c_{v}:I\rightarrow E$ mit $\dot{c}_{v}\left(t\right)=\xi\left(c_{v}\left(t\right),w\right)$ und $c_{v}\left(0\right)=v$.

Sei $\tilde{\xi}:U\rightarrow U$, $\tilde{\xi}\left(x,y\right)\mapsto\left(\xi\left(x,y\right),0\right)$ und $\tilde{v}=\left(v,w\right)$ mit der Integralkurve $\tilde{c}_{\tilde{v}}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},w\right)$.

• Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$ als Lösung für ursprüngliches Problem

Vektorfelder höherer Ordnung

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E^{n}=E\times\ldots\times E$ offen. Sei $\xi:U\rightarrow E$ mit der gesuchten Integralkurve

$$c_{v}^{\left(n\right)}\left(t\right) = \xi\left(c_{v}\left(t\right),\dot{c}_{v}\left(t\right),\ddot{c}_{v}\left(t\right),\ldots,c_{v}^{\left(n-1\right)}\left(t\right)\right)$$

$$c_{v}^{\left(k\right)}\left(0\right) = v_{k}\textrm{ für }k=0,\ldots,n-1$$

$$v = \left(v_{0},\ldots,v_{n-1}\right)$$

Betrachte das Vektorfeld

$$\tilde{\xi}:U \rightarrow U$$

$$\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right) \mapsto \left(x_{1},\ldots,x_{n-1},\xi\left(x_{0},\ldots,x_{n-1}\right)\right)$$

Dies hat die Integralkurve

$$\tilde{c}_{v}\left(t\right)=\left(\mathbf{c_{v}\left(t\right)},c_{1}\left(t\right),\ldots,c_{n-1}\left(t\right)\right)$$

• Löse also Ersatzkurve $\tilde{\xi}$ und nehme erste Komponente $\mathbf{c_{v}\left(t\right)}$ als Lösung für ursprüngliches Problem
• Ist $\xi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=a_{0}x_{1}+a_{1}x_{2}+\ldots+a_{n-1}x_{n}$, $E=\mathbb{R}$. Es gilt
  $$\dot{c}\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & 0 ... ...1\\ a_{0} & a_{1} & \ldots & \ldots & a_{n-1}\end{array}\right)c\left(t\right)$$

Anderer Startpunkt

Ist $c_{k}$ eine Integralkurve zu $\xi$ mit $c_{v}\left(0\right)=v$, so ist

$$c_{v,t_{0}}\left(t\right)=c_{v}\left(t-t_{0}\right)$$

eine Integralkurve mit $c_{v,t_{0}}\left(t_{0}\right)=v$.

• Also erst Lösen mit Startzeitpunkt 0 und dann $t$ mit $t-t_{0}$ Substituieren