homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten

Sei $A\in\mathcal{L}\left(E\right)$, betrachte die DGL

$$y'=Ay$$

Diese DGL heißt homogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.

Das zugehörige Vektorfeld $\xi$ auf $E$ ist $\xi\left(u\right)=Au$. Beachte: $\xi$ ist $C^{\infty}$-Funktion, das Gleiche gilt also für den Fluss $\varphi$. Es gilt

$$\varphi_{t}\left(u\right)=\exp\left(t\cdot A\right)u$$

auf $\Omega=\mathbb{R}\times E$.

• mit $E=\mathbb{R}^{n}$, $A=\mathbb{R}^{n\times n}$ Matrix. Die DGL $y'=Ay$ mit $y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ hat die Lösung
  $$y=\exp\left(t\cdot A\right)\cdot y_{0}$$

• Falls es zu auswändig ist, die Jordan Basis zu bestimmen, einfach nur die Jordan Matrix berechnen, und prüfen, ob die Elemente der Matrix mögliche Lösungen sind. Sobald $n$ unterschiedliche gefunden wurden, hat man den kompletten Lösungsraum der DGL abgedeckt.