Lösungsraum von homogenen DGL - Lösungsfundamentalsystem

Sei $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$ stetig, $E$ Banachraum. Angenommen $c_{u}:J\rightarrow E$ und $c_{v}:J\rightarrow E$ sind Lösungen der DGL

$$\dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)$$

mit $c_{u}\left(0\right)=u$ und $c_{v}\left(0\right)=v$.

Sind $a,b\in\mathbb{R}$, so ist

$$c\left(t\right)=a\cdot c_{u}\left(t\right)+b\cdot c_{v}\left(t\right)$$

wieder Lösung zum Anfangswert

$$a\cdot u+b\cdot v$$

Die Abbildung $u\mapsto c_{u}$, $E\rightarrow C^{1}\left(J,E\right)$ ist linear und injektiv. Das Bild dieser Abbildung $\left\{ c_{u}\vert u\in E\right\}$ heißt Lösungsraum der lin. homogenen DGL. Insbesondere: ist $\textrm{dim}E=n$, so ist der Lösungsraum $n$-dimensional. Ist $b_{1},\ldots,b_{n}$ Basis von $E$ so ist

$$c_{u}\left(t\right)=\sum_{k=1}^{n}a_{k}c_{b_{k}}\left(t\right)$$

die (eindeutige) Lösung zum Anfangswert

$$u=\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$$

Man nennt $c_{1},\ldots,c_{k}$ dann auch Lösungsfundamentalsystem der homogenen lin. DGL $\dot{c}=Ac$.

• Der Real- und Imaginärteil einer Komplexen Lösung sind wieder relle Lösungen
• Die Spalten von $\exp\left(t\cdot A\right)$ bilden ein Fundamentalsysten, unabhängig von der konkreten Basis von A