Lösungsraum der inhomogenen linearen DGL

Ist $E$ Banachraum, $A:J\rightarrow\mathcal{L}\left(E\right)$, $b:J\rightarrow E$ stetig, inhomogene lin. DGL

$$\dot{c}=Ac+b$$

Angenommen $c:J\rightarrow E$ ist eine Lösung der DGL $\dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)+b\left(t\right)$ und $e:J\rightarrow E$ ist Lösung der homogenen DGL

$$\dot{e}\left(t\right)=A\left(t\right)e\left(t\right)$$

Dann ist $t\mapsto\left(c+e\right)\left(t\right)$eine Lösung der inhomogenen linearen DGL

$$\dot{\overbrace{\left(c+e\right)}}=A\left(t\right)\left(c+e\right)\left(t\right)+b\left(t\right)$$

zum Anfangswert $e\left(0\right)+c\left(0\right)$.