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Variation der Konstanten

Betrachte DGL

$\displaystyle \dot{c}\left(t\right)=A\left(t\right)c\left(t\right)+b\left(t\right)$

umschreiben in zeitunabhängiges (homogenes) Vektorfeld $ \tilde{\xi}:E\times J\rightarrow E\times\mathbb{R}$, $ \tilde{\xi}\left(u,r\right)=\left(A\left(r\right)u,1\right)$. Der zugehörige Fluss
$\displaystyle \tilde{\varphi}:J\times E\times J$ $\displaystyle \rightarrow$ $\displaystyle E\times\mathbb{R}$  
$\displaystyle \tilde{\varphi}_{t}\left(u,r\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\varphi_{t}\left(u,r\right),t+r\right)$  

Setze $ \Phi_{t}\left(u\right)=\varphi_{t}\left(u,0\right)$, $ \Phi:J\rightarrow\mathcal{L\left(E\right)}$, invertierbar.

Definiere die Hilfsfunktion

$\displaystyle h\left(t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{0}^{t}\Phi_{s}^{-1}b\left(s\right)  ds$  
$\displaystyle \dot{h}\left(t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Phi_{t}^{-1}b\left(t\right)$  
$\displaystyle h\left(0\right)$ $\displaystyle =$ 0  

Mit dem Ansatz

$\displaystyle e\left(t\right)=\Phi_{t}\left(h\left(t\right)\right)$

gilt
$\displaystyle e\left(0\right)$ $\displaystyle =$ 0  
$\displaystyle \dot{e}\left(t\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A\left(t\right)e\left(t\right)+b\left(t\right)$  


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Marco Möller 12:27:24 18.02.2006