Vektorfeld, Integralkurve

Sei $E$ ein Banachraum, $U\subseteq E$ sei offen. Ein Vektorfeld (VF) $\xi$ ist eine Abbildung

$$\xi:U\rightarrow E$$

Ist $\xi$ stetig / differenzierbar, so heißt $\xi$ stetiges- / differenzierbares Vektorfeld.

Ist $c:\left(a,b\right)\rightarrow U$ eine Kurve in U (stetig differenzierbar) und gilt $\xi\left(c\left(t\right)\right)=\dot{c}\left(t\right)$, so heißt $c$ Integralkurve zum Vektorfeld $\xi$.

• Wir veranschaulichen $\xi$, indem wir am Punkt $u\in U$ den Vektor $\xi\left(u\right)$ abtragen.
• ``Physikalische'' Interpretaton: Eine Flüssigkeit strömt durch $U$. Für $u\in U$ gibt $\xi\left(u\right)$ die Strömungsrichtung und Geschwindigkeit an. Eine Integralkurve beschreibt ein Teilchen in der Strömung.
• Beachte: Die Bedingung $\xi\left(c\left(t\right)\right)=\dot{c}\left(t\right)$ ist eine gewöhnliche DGL. Wir werden sehen, das man alle gew. DGL so beschreiben kann.