(lokaler) Fluss

Sei $E$ Banachraum, $U\subseteq E$ sei offen, $\xi:U\rightarrow E$ sei Vektorfeld. Sei $V\subseteq U$ offen, sei $r>0$,

$$\varphi:\left(-r,r\right)\times V\rightarrow U$$

heißt (lokaler) Fluss zu $\xi$, falls für alle $v\in V$ gilt:

1. $\varphi\left(0,v\right)=v$
2. $c_{v}\left(t\right)=\varphi\left(t,v\right)$ ist eine Integralkurve zu $\xi$.

• Der Fluss beschreibt also eine Schaar von Integralkurven. $\varphi\left(t,v\right)$ beschreibt ein Teilchen in der Strömung zum Zeitpunkt $t$, das zum Zeitpunkt $t=0$ im Punkt $v\in V$ war.
• Schreibe auch $\varphi_{t}\left(u\right):=\varphi\left(t,u\right)$
• $\varphi$ ist stetig in beiden Argumenten