lokal Lipschitz-stetig

Seien $\left(X,d_{x}\right)$ und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Wir sagen $f$ ist lokal Lipschitz-stetig, wenn es zu jedem $x\in X$ ein $r>0$ gibt, sodass die Einschränkung $\left.f\right\vert _{B_{r}\left(x\right)}$ Lipschitz-stetig ist.

Sind $E,F$ Banachräume, $U\subseteq E$ offen, $f:U\rightarrow E$ stetig differenzierbar. Dann ist $f$ lokal Lipschitz-stetig.

• Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ stetig
• lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ stetige Differenzierbarkeit
• lokal Lipschitz-stetig $\approx$ stetige Differenzierbarkeit
  da lokal Lipschitz-stetige Funktionen schon in sehr vielen Punkten stetig differenzierbar sind
• $C^{1}$-Funktionen sind lokal Lipschitzstetig