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\begin{document}

\title{Formelsammlung\\
Analysis I / II\\
für Physiker und Mathematiker}


\author{<Marco.Moeller@macrolab.de>}


\date{Stand: 17.12.2005 - Version: 1.0.1\\
\noun{Erhältlich unter \url{http://privat.macrolab.de}}}

\maketitle
Diese Formelsammlung basiert auf der Vorlesung {}``Analysis I''
\& {}``Analysis II'' von Prof. Dr. Linus Kramer an der Technischen
Universität Darmstadt im Wintersemester 2004/05 und Sommersemester
2005.

Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung.
Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser,
der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte
übernehmen kann.

\tableofcontents{}


\section{Ringe, Körper, Anordnung}


\subsection{Kommutativer Ring}

Gegeben sei eine Menge $R$. Wir nehmen an, es gibt in $R$ zwei spezielle
Elemente, die $0$ (Null\index{Null}) und $1$ (Eins) heißen. Weiter
soll es auf $R$ zwei Verknüpfungen {}``$+$'' (plus) und {}``$*$''
(mal) geben, die jeweils zwei Elementen $x$ und $y$ in $R$ neue
Elemente $x+y$ und $x*y$ in $R$ zuordnen. Wir nennen $\left(R,0,1,+,*\right)$
einen \emph{kommutativen Ring\index{Ring}\index{kommutativer Ring}},
falls die folgenden Rechenregeln für alle $x,y,z$ in $R$ gelten.

\begin{enumerate}
\item Kommutativgesetze\\
$\left(K_{+}\right)\; x+y=y+x$ \\
$\left(K_{*}\right)\; x*y=y*x$
\item Assoziativgesetze\\
$\left(A_{+}\right)\;\left(x+y\right)+z$=$x+\left(y+z\right)$\\
$\left(A_{*}\right)\;\left(x*y\right)*z$=$x*\left(y*z\right)$
\item Distributivgesetze\\
$\left(D\right)\; x*\left(y+z\right)=\left(x*y\right)+\left(x*z\right)$\\
$\left(D\right)\;\left(x+y\right)*z=\left(x*z\right)+\left(y*z\right)$
\item Existens von Neutralelementen\index{Neutralelement}\\
$\left(N_{+}\right)\; x+0=0+x=x$\\
$\left(N_{*}\right)\;1*x=x*1=x$
\item Inverses Element\index{Inverses Element}\\
$\left(I_{+}\right)\;$zu jedem $x$ gibt es genau ein $y$ mit $x+y=0$.
Schreibe $y=-x$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{Z},$ sind Beispiele für kommutative
Ringe. $\mathbb{N}$ ist \emph{kein} Ring.
\item Falls $\left(K_{*}\right)$ nicht ausdrücklich verlangt wird, spricht
man von einem \emph{nicht-kommutativen Ring\index{nicht kommutativer Ring}}.
\end{itemize}

\subsubsection{Rechenregeln}

In einem kommutativen Ring gelten folgende Rechenregeln:

\begin{itemize}
\item Klammern werden nur geschrieben wenn sie nicht durch die Assoziativität
überflüssig gemacht werden.
\item $-\left(-x\right)=x$
\item aus $x+y=x$ folgt $y=0$
\item $0*x=0$
\item $\left(-x\right)*y=-\left(x*y\right)=x*\left(-y\right)$
\end{itemize}

\subsection{Körper}

Ein kommutativer Ring $\left(R,0,1,+,*\right)$ heißt \emph{Körper\index{Körper}}
wenn gilt:

\begin{enumerate}
\item $0\neq1$
\item Inverses Element\index{Inverses Element}\\
$\left(I_{*}\right)\;$Ist $x\neq0$ so gibt es genau ein $y$ in
$R$ mit $x*y=1=y*x$. Schreibe $y=x^{-1}=\frac{1}{x}=1/x$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\left(\mathbb{F}_{2},+,*\right)$ mit \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
+&
0&
1\tabularnewline
\hline
\hline 
0&
0&
1\tabularnewline
\hline 
1&
1&
0\tabularnewline
\hline
\end{tabular} und \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline 
{*}&
0&
1\tabularnewline
\hline
\hline 
0&
0&
0\tabularnewline
\hline 
1&
0&
1\tabularnewline
\hline
\end{tabular} ist der kleinste mögliche Körper\index{F2 bzw. $\mathbb{F}_2$}.
\item $\mathbb{Q},\mathbb{R}$ sind Körper
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:(Ordnungs-)-Relationen}(Ordnungs-) Relationen}


\subsubsection{totale Ordnung}

Es sei $X$ eine (nichtleere) Menge und {}``$<$'' sei eine \emph{zweistellige
Relation\index{zweistellige Relation}\index{Relation}} auf $X$
(das heißt folgendes: für $x,y\in X$ gilt entweder {}``$x<y$''
oder {}``nicht $y<x$''). Wir nennen {}``$<$'' \emph{Ordnung\index{Ordnung}}
oder \emph{Anordnung\index{Anordnung}} auf $X$, falls folgendes
für alle $x,y,z\in X$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $\left(O_{1}\right)\;$Entweder $x<y$ oder $x=y$ oder $x<y$ (genau
1er dieser 3 Fälle)
\item Transitivität\index{Transitivität}\\
$\left(O_{2}\right)\;$Falls $x<y$ und $y<z$, so gilt auch $x<z$
\end{enumerate}

\subsubsection{partielle Ordnung}

Eine partielle Ordnungsrelation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine
Teilmenge von $M\times M$ die die folgenden Eigenschaften besitzt:

\begin{enumerate}
\item Reflexivität\index{Reflexivität}\\
$\left(x,x\right)\in R$ für alle $x\in M$
\item antisymmetrisch\index{antisymmetrisch}\\
$\left(x,y\right)\in R\wedge\left(y,x\right)\in R\Rightarrow x=y$
\item transitiv\index{transitiv}\\
$\left(x,y\right)\in R\wedge\left(y,z\right)\in R\Rightarrow\left(x,z\right)\in R$
\end{enumerate}
Wir schreiben anstatt $\left(x,y\right)\in R$ auch $x\leq y$ und
sagen, dass $R$ auf $M$ eine \emph{partielle Ordnung\index{partielle Ordnung}}
definiert.

\begin{itemize}
\item Nicht alle Elemente müssen vergleichbar sein.
\end{itemize}

\subsection{\label{sub:angeordneterRing/Koerper}angeordneter Ring / Körper}

Ein Ring oder Körper $\left(R,+,*,0,1\right)$ heißt \emph{angeordneter
Ring\index{angeordneter Ring}\index{angeordneter Körper}} (entspr.
Ring mit $1$ aus LA) \emph{/ Körper}, falls {}``$<$'' eine (totale)
Ordnung auf $R$ ist, schreibe $\left(R,+,*,0,1,<\right),$ falls
folgendes für alle $x,y,z\in R$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $\left(OR_{1}\right)\;$Wenn $x<y$, so auch $x+z<y+z$
\item $\left(OR_{2}\right)\;$Wenn $x<y$ und $0<z$, so auch $x*z<y*z$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Jeder angeordnete Ring/Körper hat unendlich viele Elemente
\item negativ {*} negativ = positiv
\item negativ {*} positiv = negativ
\item $0<x^{2}$ falls $x\neq0$
\item $0<1$
\item Bernoulli'sche Ungleichung\index{Bernoulli'sche Ungleichung}:\\
$\forall n\in\mathbb{N}:\forall x\geq-1:\left(1+x\right)^{n}\geq1+nx$
\end{itemize}

\paragraph{Vereinbarungen}

\begin{enumerate}
\item Schreibe $x\leq y$ falls $x<y\vee x=y$
\item Schreibe $x>y$ falls $y<x$
\item Schreibe $x\geq y$ falls $x>y\vee x=y$
\item $x$ heißt \emph{positiv}\index{positiv} falls $x>0$
\item $x$ heißt \emph{nicht positiv\index{nicht positiv}} falls $x\leq0$
\item $x$ heißt \emph{negativ\index{negativ}} falls $x<0$
\item $x$ heißt \emph{nicht negativ\index{nicht negativ}} falls $x\geq0$
\end{enumerate}

\subsection{Absolutbetrag}

Wir definieren den \emph{Absolutbetrag}\index{Absolutbetrag} (oder
\emph{Betrag}\index{Betrag}) in einem angeordneten Ring oder Körper
$R$ durch\[
\left|x\right|=\begin{cases}
x & x\geq0\\
-x & x<0\end{cases}\]


\begin{enumerate}
\item $\left|-x\right|=\left|x\right|\geq0$
\item $\left|x*y\right|=\left|x\right|*\left|y\right|$
\item \emph{Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung}\\
$\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|$
\item \emph{Umgekehrte Dreiecksungleichung}\index{Dreiecksungleichung!Umgekehrte}\\
$\left|x-y\right|\ge\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|$
\end{enumerate}

\subsection{Konstruktion von $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$\index{Q}\index{Z}}

Die Elemente von $\mathbb{Q}$ sind die ganzzahligen Brüche der Form
$\frac{a}{b}$ mit $a,b\in\mathbb{Z},b\neq0$. Brüche werden also
durch Paare ganzer Zahlen beschrieben, allerdings nicht eindeutig.
Setze $X=\left\{ \left(a,b\right)|a,b\in\mathbb{Z}\wedge b\neq0\right\} $
die Menge aller Paare ganzer Zahlen $\left(a,b\right)$ mit $b\neq0$.
Das Paar $\left(a,b\right)$soll den Bruch $\frac{a}{b}$ darstellen.
Wir nennen zwei Paare $\left(a,b\right)$ und $\left(a',b'\right)$
äquivalent, falls $ab'=a'b$ ($\left(a,b\right)\sim\left(a',b'\right))$.
Wir identifizieren äquivalente Paare miteinander und schreiben $\frac{a}{b}$
für die Menge aller Paare $\left(a',b'\right)$ mit $ab'=a'b$. Wir
definieren die Rechenregeln wie folgt auf $\mathbb{Q}=X/\sim$:

\begin{enumerate}
\item Addition\[
\frac{a_{1}}{b_{1}}+\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}{b_{1}b_{2}}\]

\item Multiplikation\[
\frac{a_{1}}{b_{1}}*\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{1}*a_{2}}{b_{1}*b_{2}}\]

\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Aus Ringen lassen sich Körper {}``basteln'', das macht man in der
Algebra. Stichwort {}``lokalisieren von Ringen\index{Lokalisieren von Ringen}''.
\end{itemize}

\subsection{Konstruktion von $\mathbb{Z}$\index{Z} aus $\mathbb{N}$\index{N}}

Ganz ähnlich wie die Konstruktion von $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$
durch Äquivalenzklassen von Paaren. Setze $Y=\left\{ \left(m,n\right)|m,n\in\mathbb{N}\right\} $.
Das Paar $\left(m,n\right)$ soll die ganze Zahl {}``$m-n$'' kodieren.
Wir nennen zwei Paare $\left(m,n\right)$ und $\left(m',n'\right)$
äquivalent ($\sim$), falls $m+n'=m'+n$. Die entsprechenden Äquivalenzklassen
von Paaren sind die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}=\mathbb{N}^{2}/\sim$.
Schreibe $m-n$ für die durch $\left(m,n\right)$ kodierte Zahl. Es
gelten folgende Rechenregeln:

\begin{enumerate}
\item Addition \[
{\scriptstyle \left(m_{1}-n_{1}\right)+\left(m_{2}-n_{2}\right)=\left(m_{1}+m_{2}\right)-\left(n_{1}+n_{2}\right)}\]

\item Multiplikation \[
{\scriptstyle \left(m_{1}-n_{1}\right)*\left(m_{2}-n_{2}\right)=\left(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right)-\left(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\right)}\]

\end{enumerate}

\subsection{Die Komplexen Zahlen $\mathbb{C}$\index{C}}

Wir konstruieren den Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen wie
folgt:\[
\mathbb{C}=\left\{ \left(x,y\right)|x,y\in\mathbb{R}\right\} \]
Wir stellen uns eine komplexe Zahl $z=\left(x,y\right)$ als Punkt
in der Ebene vor. Wir definieren Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb{C}$
wie folgt:

\begin{enumerate}
\item Addition\[
\left(x_{1},y_{1}\right)+\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)\]

\item Multiplikation\[
\left(x_{1},y_{1}\right)*\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)\]

\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Einselement $\left(1,0\right)$
\item Nullelement $\left(0,0\right)$
\item Inverses Element zu $\left(x,y\right)$\\
$\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$\\
$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}}$
\item Identifiziere Teilmenge $\left\{ \left(x,0\right)|x\in\mathbb{R}\right\} \subset\mathbb{C}$
mit $\mathbb{R}$
\item schreibe $i=\left(0,1\right)$\index{i}
\item $i^{2}=-1$
\item schreibe statt $z=\left(x,y\right)$ nun $z=x+iy$

\begin{itemize}
\item hiermit lassen sich die Rechenregeln leichter merken
\end{itemize}
\item Realteil\index{Realteil}\\
$\Re\left(x+iy\right)=\textrm{Re}\left(x+iy\right)=x$
\item Imaginärteil\index{Imaginärteil}\\
$\Im\left(x+iy\right)=\textrm{Im}\left(x+iy\right)=y$
\item Komplex konjungiert\index{konjungiert}\index{komplex konjungiert}\\
wenn $z=x+iy$ dann $\bar{z}=x-iy$

\begin{itemize}
\item $\bar{\bar{z}}=z$
\item $\bar{z}=z\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$
\item $z*\bar{z}=x^{2}+y^{2}\geq0$
\end{itemize}
\item Betrag oder Norm von einer komplexen Zahl\\
$\left|z\right|=\sqrt{z*\bar{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
\end{itemize}

\section{Mengen, natürliche Zahlen, Induktion}


\subsection{Mengen}

In der Sprache der Mengenlehre gibt es nur ein fundamentales Zeichen:
$\in$

\begin{itemize}
\item $\in$ {}``ist Element von''
\item $x\in y$ {}``$x$ ist Element von $y$''
\item $x\notin y$ {}``$x$ ist nicht Element von $y$''
\end{itemize}
Vereinbarung: schreibe $A\subseteq X$ ($A$ ist Teilmenge von $X$)
falls für jedes $a\in A$ gilt $a\in X$.

Mengen werden nach bestimmten Spielregeln gebaut, den Zermelo-Fraenkel-Axiomen
(ZFC (c wie choice)):

\begin{enumerate}
\item $\left(Ex\right)$ Es gibt Mengen
\item $\left(Ext\right)$ Zwei Mengen sind gleich, falls sie die gleichen
Elemente haben: $X\subseteq Y\wedge Y\subseteq X\Rightarrow X=Y$
\item $\left(Aus\right)$ Ist $X$ eine Menge, $\varphi$ eine Formel (Bedingung),
so ist $\left\{ x\in X|\varphi\left(x\right)\textrm{ gilt}\right\} $
ebenfalls eine Menge (eine Teilmenge von $X$).

\begin{itemize}
\item Die \emph{leere Menge\index{leere Menge}} ist definiert durch $\emptyset=\left\{ \right\} :=\left\{ x\in X|x\neq x\right\} $
\item Der \emph{Durchschnitt}\index{Durchschnitt} (Schnittmenge\index{Schnittmenge})
$X\cap Y=\left\{ x\in X|x\in Y\right\} $
\item \emph{Disjunkt}\index{Disjunkt} heißen zwei Mengen, wenn $X\cap Y=\emptyset$
\item Das \emph{Komplement}\index{Komplement} $X\backslash Y=X-Y=\left\{ x\in X|x\notin Y\right\} $
\item Die \emph{symmetrische Differenz\index{symmetrische Differenz}} $A\triangle B=A\backslash B\cup B\backslash A$
\end{itemize}
\item $\left(Paar\right)$ Sind $X,Y$ Mengen, dann gibt es eine Menge $Z$,
deren Elemente genau $X$ und $Y$ sind. (entsprechend mit mehr als
2 Mengen)
\item $\left(Ver\right)$ Ist $X$ eine Menge, so gibt es eine Menge $Z$,
deren Elemente genau die Elemente der Elemente von $X$ sind, $Z=\bigcup X=\left\{ z|\exists x\in X:z\in x\right\} $

\begin{itemize}
\item Die \emph{Vereinigung}\index{Vereinigung} von zwei Mengen lässt sich
auch so schreiben: $X\cup Y=\bigcup\left\{ X,Y\right\} $
\item Für die Vereinigung von disjunkten Mengen $X,Y$ schreibe auch $X\dot{\cup}Y$
\end{itemize}
\item $\left(Pot\right)$ Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge, deren
Elemente genau die Teilmengen von $X$ sind, die Potenzmenge $\mathcal{P}\left(X\right)=\left\{ Y|Y\subseteq X\right\} $.

\begin{itemize}
\item $\emptyset\in\mathcal{P}\left(X\right)$
\item $X\in\mathcal{P}\left(X\right)$
\item $\mathcal{P}\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\} $
\item Ist $X$ endlich mit $n$ Elementen, so hat die Potenzmenge $2^{n}$
Elemente
\item Ist $X$ endlich mit $n$ Elementen, so gibt es genau $\left({{n\atop k}}\right)$
$k$-elementige Mengen in der Potenzmenge von $X$ (bzw. $k$-elementige
Teilmengen\index{Teilmengen} in $X$)
\end{itemize}
\item $\left(Fund\right)$ Es gibt keine \emph{bodenlosen\index{bodenlose Mengen}}
Mengen. Ist $X$ eine nichtleere Menge, so gibt es ein $Y\in X$ mit
$X\cap Y=\emptyset$

\begin{itemize}
\item für keine Menge $X$ kann gelten $X\in X$
\item Die {}``Russelmenge\index{Russelmenge}'' $R=\left\{ M|M\notin M\right\} $
ist nach den Axiomen keine Menge.
\end{itemize}
\item $\left(Inf\right)$ Es gibt unendliche Mengen.
\item $\left(Ers\right)$ Ist $\varphi\left(x,y\right)$ eine Formel, die
einer Menge $x$ eine neue Menge $y$ zuordnet, und ist $X$ eine
Menge, so ist auch $\left\{ y|x\in X\wedge\varphi\left(x,y\right)\right\} $
eine Menge.
\item $\left(Choice\right)$ Ist $X$ eine nichtleere Menge mit der Eigenschaft,
dass alle Elemente von $X$ disjunkt sind, so gibt es eine Menge $Z$,
die mit jedem Element von $X$ genau ein Element gemeinsam hat. (Teilweise
umstrittenes Axiom)
\end{enumerate}

\subsubsection{Rechenregeln für Mengen}

\begin{itemize}
\item Komplementbildung\\
Sei $A\subseteq M$ dann ist $A^{c}=M\backslash A$
\item Distributivgesetz\\
$A\cap\left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)$\\
$A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$
\item de Morgan'sch Regel\\
$\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$\\
$\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
\end{itemize}

\subsubsection{Paare}

Ein \emph{geordnetes Paar\index{geordnetes Paar}\index{Paar}} $\left(x,y\right)$
hat eine erste Komponente $x$ und eine zweite Komponente $y$. In
der Sprache der Mengenlehre setzt man $\left(x,y\right)=\left\{ \left\{ x\right\} ,\left\{ x,y\right\} \right\} $.
Es gilt $\left(x,y\right)=\left(x',y'\right)$ genau dann, wenn $x=x'$
und $y=y'$.

Das \emph{kartesische Produkt\index{kartesische Produkt}} $X\times Y$
zweier Mengen $X,Y$ ist $\left\{ \left(x,y\right)|x\in X\wedge y\in Y\right\} $.
Ist $X=Y$ schreibt man $X\times X=X^{2}=\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)|x_{1},x_{2}\in X\right\} $.
Dieses lässt sich Iterrieren zu Produkten $\left(\ldots\left(X_{1}\times X_{2}\right)\times\ldots\right)\times X_{n}$.
Die Klammern sind nicht wichtig, wir lassen sie weg. Ist $X=X_{1}=\ldots=X_{n}$,
schreiben wir $X^{n}=\underbrace{X\times\ldots\times X}_{n-mal}$.
Die Elemente dieser Menge heißen $n$-Tupel.


\subsubsection{Intervalle}

Sei $a,b\in\mathbb{R},a\le b$.

Die Menge $\left[a,b\right]=\left\{ x\in\mathbb{R}|a\le x\le b\right\} $
heißt \emph{abgeschlossenes endliches Intervall\index{Intervall}\index{Intervall!abgeschlossenes}}
(\emph{abgeschlossenes beschränktes Inervall}).

Die Menge $\left(a,b\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}|a<x<b\right\} $
heißt \emph{offenes endliches Intervall\index{Intervall}\index{Intervall!offen}}.

\begin{itemize}
\item andere Schreibweise auch gebäuchlich: $\left(a,b\right)=\left]a,b\right[$
\end{itemize}

\subsubsection{$\varepsilon$-Umgebung\index{epsilon-Umgebung}\index{Umgebung}}

Für $\varepsilon>0$ heißt die Menge $U_{\varepsilon}\left(x\right)=\left(x-\varepsilon,x+\varepsilon\right)$
$\varepsilon$-Umgebung von $x$.


\subsubsection{offene Menge\index{offene Menge}}

Eine Menge $X$ heißt \emph{offen\index{offen}}, falls es zu jedem
Punkt $x\in X$ eine $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon}\left(x\right)$
gibt, welche ganz in $X$ liegt. Mit Qantoren:\[
\forall x\in X\exists\varepsilon>0:U_{\varepsilon}\left(x\right)\subseteq X\]


\begin{itemize}
\item $\mathbb{R},\emptyset,\left(a,b\right),\left(a,b\right)\cup\left(c,d\right)$
sind offene Mengen
\item $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\left[a,b\right]$ sind \emph{nicht}
offen
\end{itemize}

\subsection{Nachfolgerstruktur (Konstruktion von $\mathbb{N}$)\index{N}}

Eine Menge $N$ mit einer Abbildung $\sigma:N\rightarrow N$ ($\sigma$
heiße Nachfolgerabbildung) heißt \emph{Nachfolgerstruktur\index{Nachfolgerstruktur}},
falls sie die \emph{Peano-Axiome\index{Peano-Axiome}} erfüllt:

\begin{enumerate}
\item $\left(P_{1}\right)$ Es gibt ein Element $o\in N$, so dass $\forall x\in N:\sigma\left(x\right)\neq o$
\item $\left(P_{2}\right)$ Aus $\sigma\left(x\right)=\sigma\left(y\right)$
folgt $x=y$ ($\sigma$ ist injektiv)
\item $\left(P_{3}\right)$ Ist $X\subseteq N$ eine Teilmenge, und gilt
$o\in X$, und folgt aus $x\in X\Rightarrow\sigma\left(x\right)\in X$
(d.h. $X$ ist abgeschlossen unter der Nachfolgerfunktion) so gilt
$X=N$.
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\left(P_{3}\right)$ ist das Axiom der \emph{vollständigen Induktion\index{vollständigen Induktion}.}
\item Es gibt genau eine Nachfolgerstruktur mit $\left(\mathbb{N},s\right)$
mit $o=\emptyset$ und $s\left(x\right)=x\cup\left\{ x\right\} $
\item Ist $\left(N,\sigma\right)$ eine Nachfolgerstruktur, dann gibt es
genau eine bijektive Abbildung $\varphi:\mathbb{N}\rightarrow N$
mit $\varphi\left(\emptyset\right)=o$, $s\left(x\right)=x\cup\left\{ x\right\} $
und $\varphi\left(s\left(x\right)\right)=\sigma\left(\varphi\left(x\right)\right)$
\item Addition:\\
$o+o=o$\\
$o+x=x=x+o$\\
$\sigma\left(x\right)+y=\sigma\left(x+y\right)$
\item Multiplikation:\\
$o*o=o$\\
$o*x=o=x*o$\\
$\sigma\left(x\right)*y=x*y+y$
\item Bei dieser Kodierung der natürlichen Zahlen gilt:\\
$n<m\Leftrightarrow n\in m$
\end{itemize}

\subsubsection{Vollständige Induktion}

Das Peano-Axiom $\left(P_{3}\right)$ sagt: ist $\varphi$ eine Aussage
über natürliche Zahlen und gilt:

\begin{enumerate}
\item $\varphi\left(0\right)$ ist wahr
\item $\varphi\left(n\right)\Rightarrow\varphi\left(n+1\right)$ 
\end{enumerate}
dann ist $\varphi\left(m\right)$ wahr für alle $m\in\mathbb{N}$.


\subsection{Relationen}

\emph{Relationen\index{Relationen}} sind Eigenschaften von Elementen
von Mengen bzw. von $n$-Tupeln. Sie sind entweder erfüllt oder nicht
erfüllt. Diese Eigenschaft wird repräsentiert durch das Element sein
in einer entsprechenden Teilmenge oder nicht Element sein.


\subsubsection{Einstellige Relationen }

Eine \emph{einstellige Relation\index{Relation}\index{einstellige Relation}}
einer Menge $X$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X$, schreibe $R\left(x\right)$
für $x\in R$.


\subsubsection{zweistellige Relationen}

Eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$ heißt zweistellige Relation.
Schreibe $xRy$ falls $\left(x,y\right)\in R$. 

Eine zeistellige Relation $R\subseteq X^{2}$ heißt

\begin{description}
\item [reflexiv\index{reflexiv}]falls $\forall x\in X:xRx$
\item [symmetrisch\index{symmetrisch}]falls $xRy\Rightarrow yRx$
\item [transitiv\index{transitiv}]falls $xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$
\item [Äquivalenzrelation\index{Äquivalenzrelation}]falls sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
\end{description}
\begin{itemize}
\item Die Menge $\left[x\right]=\left[x\right]_{R}=\left\{ y\in X|xRy\right\} $
heißt \emph{Äquivalentzklasse\index{Äquivalentzklasse}} von $x$.
Setze $X/R=\left\{ \left[x\right]_{R}|x\in X\right\} $, gesprochen
{}``$X$ mod $R$''\index{mod}, ist die Menge aller Äquivalenzklassen.
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Ordnungsrelationen\index{Ordnungsrelationen}]siehe \vref{sub:(Ordnungs-)-Relationen}
\end{description}

\subsubsection{$n$-stellige Relationen}

Eine Teilmenge $R\subseteq X_{1}\times\ldots\times x_{n}$ heißt $n$-stellige
Relation. Schreibe $R\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ falls $\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in R$.


\subsection{Abbildungen}

Eine Relation $f\subseteq Y\times X$ heißt \emph{Abbildung\index{Abbildung}}
oder \emph{Funktion\index{Funktion}} falls es zu jedem $x\in X$genau
ein $y\in Y$ gibt mit $\left(y,x\right)\in f$. Schreibe $f\left(x\right)=y$
falls $yfx$. Schreibe dafür kurz\begin{eqnarray*}
f:X & \rightarrow & Y\\
x & \mapsto & y=f\left(x\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Ist $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung, und ist $A\subseteq X$, so
ist $f\left(A\right)=\left\{ f\left(a\right)|a\in A\right\} \subseteq Y$
das $f$-Bild\index{Bild} von $A$. Ist $B\subseteq Y$, so ist $f^{-1}\left(B\right)=\left\{ x\in X|f\left(x\right)\in B\right\} \subseteq X$
das $f$-Urbild\index{Urbild} von $B$.
\item Sei $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Für $A\subseteq X$ definiere
$f|_{A}:A\rightarrow Y$ mit $a\mapsto f\left(a\right)$ die \emph{Einschränkung\index{Einschränkung}}
von $f$ auf $A$.
\item Es gilt für $B_{1},B_{2}\subseteq Y$\\
$f^{-1}\left(B_{1}\right)\cap f^{-1}\left(B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\cap B_{2}\right)$\\
$f^{-1}\left(B_{1}\right)\cup f^{-1}\left(B_{2}\right)=f^{-1}\left(B_{1}\cup B_{2}\right)$\\
$f^{-1}\left(B_{1}^{C}\right)=\left(f^{-1}\left(B_{1}\right)\right)^{C}$
\end{itemize}

\subsubsection{Familie\index{Familie}}

Eine Famile $k$ ist eine Funktion die \[
n\mapsto k_{n}\]
$n$ ist dabei ein Element aus der Indexmenge, die alle möglichen
$k_{n}$ sozusagen durchindiziert.


\subsubsection{Komposition\index{Komposition}}

Sind $R\subseteq Z\times Y$ und $S\subseteq Y\times X$ Relationen,
setze $R\circ S\subseteq Z\times X$ durch $R\circ S=\left\{ \left(z,x\right)\in Z\times X|\exists y\in Y:zRy\wedge ySx\right\} $.

Speziell: sind $f:Y\rightarrow Z$ und $g:X\rightarrow Y$ Abbildungen,
so ist $f\circ g$ die Abbildung $x\mapsto f\left(g\left(x\right)\right)$,
lies {}``$f$ nach $g$''.

\begin{itemize}
\item Kompositionen sind assoziativ, d.h. es muss nicht geklammert werden.
\end{itemize}

\subsubsection{injektiv, surjektiv, bijektiv}

Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt:

\begin{description}
\item [surjektiv\index{surjektiv}]falls es zu jedem $y\in Y$ ein $x\in X$
mit $f\left(x\right)=y$ gibt

\begin{itemize}
\item $\exists g:Y\rightarrow X:f\circ g=id_{Y}$
\end{itemize}
\item [injektiv\index{injektiv}]falls $f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y$
bzw. $x\neq y\Rightarrow f\left(x\right)\neq f\left(y\right)$

\begin{itemize}
\item $\exists g:Y\rightarrow X:g\circ f=id_{X}$
\item Verknüpfung von injektiven Funktionen ist wieder injektiv
\end{itemize}
\item [bijektiv\index{bijektiv}]falls sie surjektiv und injektiv ist,
d.h. falls es zu jedem $y\in Y$ genau ein $x\in X$ gibt mit $f\left(x\right)=y$

\begin{itemize}
\item $\exists g:Y\rightarrow X:f\circ g=id_{Y}\wedge g\circ f=id_{X}$
\end{itemize}
\end{description}

\subsection{Kombinatorik}


\subsubsection{Anzahl Elemente in einer Menge}

Für die Anzahl\index{Anzahl Elemente} der Elemente einer Menge $A$
schreibe kurz: $n=\# A=\textrm{card}\left(A\right)$ (bzw. $n=\left|A\right|$)


\subsubsection{Fakultät und Binomialkoeffizient}

Wir schreiben für die Zahl $n$ dessen \emph{Fakultät\index{Fakultät}}
mit $n!$. Wir definieren $0!=1$ und $\left(n+1\right)!=\left(n+1\right)n!=1*2*\ldots*\left(n+1\right)$.

Der \emph{Binomialkoeffizient}\index{Binomialkoeffizient} $\left({{n\atop k}}\right)=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$,
lies $n$ über $k$, ist definiert für alle $0\leq k\leq n$.

\begin{itemize}
\item ergibt im gesamten Definitionsbereich natürliche Zahlen
\item $n!=\prod_{i=1}^{n}i$
\item $\left({{n\atop k}}\right)+\left({{n\atop k+1}}\right)=\left({{n+1\atop k+1}}\right)$
für $0\leq k<n$
\item $\sum_{k=0}^{n}\left({{n\atop k}}\right)=2^{n}$
\item $\left({{n\atop k}}\right)=\left({{n\atop n-k}}\right)$
\item $2^{n}\le n!$ für $n>3$
\item $n!\le n^{n}$
\end{itemize}

\subsubsection{Summen / Produktsymbol}

Sind $a_{i},a_{i+1},\ldots,a_{n}$ Elemente eines Ringes. Dann setze
das \emph{Summensymbol}\index{Summensymbol} wie folgt:\[
\sum_{l=i}^{n}a_{l}=a_{i}+a_{i+1}+\ldots+a_{n}\]


Sind sie sogar Elemente eines kommutativen Ringes setzen wir das \emph{Produktsymbol}\index{Produktsymbol}
wie folgt:\[
\prod_{l=i}^{n}a_{l}=a_{i}*a_{i+1}*\ldots*a_{n}\]


\begin{itemize}
\item Diese Zeichen binden ähnlich wie das Integralzeichen solange, wie
nur Multiplikationen vorgenommen werden.
\item $n!=\prod_{k=1}^{n}k$
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften von Teilmengen}

Sei $X$ eine $n$-elementige endliche Menge. Dann besitzt $X$ genau
$2^{n}$ Teilmengen. Darunter sind genau $\left({{n\atop k}}\right)$
$k$-elementige Teilmengen.


\subsubsection{Binomische Formel\index{Binomische Formel}}

Sind $a,b$ Elemente eines kommutativen Ringes, so gilt:\[
\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left({{n\atop k}}\right)a^{n-k}b^{k}\]



\subsubsection{Geometische Summe\index{Geometrische Summe}\index{Geometrische Reihe}}

Sei $K$ ein Körper, $q\in K$ und $q\neq1$. Dann gilt:\[
\sum_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]



\subsubsection{Wichtige Summen\index{Summen} / Reihen\index{Reihen}}

\begin{itemize}
\item \[
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\]

\item \[
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\]

\item \[
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Fast alle}

Eine Aussage gilt für \emph{fast alle\index{fast alle}} natürlichen
Zahlen, wenn sie nur \emph{endlich} viele Ausnahmen hat.


\section{Die reellen Zahlen\index{reellen Zahlen}}


\subsection{Schranken}


\subsubsection{Schranken / Mini- \& Maxima}

Es sei $\left(X,<\right)$ eine geordnete Menge und sei $A\subseteq X$.
Ein Element $x\in X$ heißt \emph{obere Schranke\index{Schranke}}\index{obere Schranke}
(\emph{untere Schranke\index{untere Schranke}}) für $A$, falls für
alle $a\in A$ gilt $a\leq x$ (bzw. $a\geq x$). Falls es $a_{0}\in A$
gibt, das obere Schranke (untere Schranke) ist, so heißt $a_{0}$
\emph{Maximum\index{Maximum}} (\emph{Minimum\index{Minumum}}) von
$A$).

\begin{itemize}
\item eine Menge kann im allgemeinen mehrere odere / untere Schranken haben,
aber höchstens ein Minimum / Maximum
\item das Minimum / Maximum muss nicht existieren
\end{itemize}

\subsubsection{Supremum / Infimum}

Eine kleinste (größte) obere (untere) Schranke heißt \emph{Supremum\index{Supremum}}
(\emph{Infimum\index{Infimum}}) für $A$, schreibe $x=\textrm{sup}\left(A\right)$
($x=\textrm{inf}\left(A\right)$).

Eine geordnete Menge $\left(X,<\right)$ hat \emph{Supremumseigenschaft\index{Supremumseigenschaft}},
falls jede Teilmenge $A\subseteq X$ die eine obere Schranke hat,
auch ein Supremum besitzt.

\begin{itemize}
\item falls $A$ ein Minimum (Maximum) hat, ist dies auch das Infimum (Maximum)
\item $\mathbb{Q}$ hat die \emph{nicht} Supremumseigenschaft
\item $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R}$ haben die Supremumseigenschaft
\item Jeder angeordnete Ring / Körper der die Supremumseigenschaft hat,
ist auch archimedisch.
\end{itemize}

\subsubsection{Archimedisch}

Ein angeordneter kommutativer Ring oder Körper $R$ ist \emph{archimedisch}\index{archimedisch},
falls es zu jedem Element $r\in R$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt mit
$n*1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n-mal}\geq r$.

\begin{itemize}
\item Ist $R$ ein archimedischer geordneter Körper, und ist $\varepsilon>0$,
so gibt es ein $n\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\} $ mit $\frac{1}{n}<\varepsilon$
\item $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ sind archimedisch
\item es gibt viele Körper, die nicht archimedisch sind, z.B. die nicht-Standard-Zahlen
\end{itemize}

\subsubsection{Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$\index{R}\index{reellen Zahlen}}

Es gibt angeordnete Körper mit der Supremumseigenschaft. Je zwei solcher
Körper sind \emph{kanonisch isomorph\index{kanonisch isomorph}\index{isomorph!kanonisch}}
(es gibt genau einen Isomorphismus zwischen ihnen). Ein solcher Körper
ist $\mathbb{R}$.


\subsection{Folgen\index{Folgen}}


\subsubsection{Folge}

Es sei $I\subseteq\mathbb{N}$ eine unendliche Menge natürlicher Zahlen.
Eine (reelle) \emph{Folge} ist eine Abbildung $c:I\rightarrow\mathbb{R},i\mapsto c\left(i\right)=c_{i}$.
$I$ ist die \emph{Indexmenge}\index{Indexmenge} der Folge, die Zahlen
$c_{i}$ heißen \emph{Folgenglieder}\index{Folgenglieder} der Folge.
Schreibe auch $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$.

\begin{itemize}
\item $c_{i}=r$ ist eine \emph{konstante Folge\index{konstante Folge}}
\end{itemize}

\subsubsection{Konvergenz\index{Konvergenz}\label{sub:Konvergenz in R^1}}

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ \emph{konvergiert} gegen
eine Zahl $r$, falls es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$
gibt, so dass $\left|c_{l}-r\right|\leq\varepsilon$ für alle $l\in I$
mit $l\geq n$ gilt. Mit Quantoren ausgedrückt:\begin{eqnarray*}
 & \lim_{i\in I}c_{i}=r\Leftrightarrow\\
 & {\scriptstyle \forall\varepsilon\in\mathbb{R},\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l\in I,l\geq n:\left|c_{l}-r\right|\leq\varepsilon}\end{eqnarray*}
Für diesen \emph{Grenzwert\index{Grenzwert}} $r$ schreiben wir \[
\lim_{i\in I}c_{i}=r\]


Eine Folge mit dem Grenzwert $0$ nennen wir \emph{Nullfolge\index{Nullfolge}}.

\begin{itemize}
\item Wenn eine Folge konvergiert, nennt man sie \emph{konvergent}\index{konvergent},
anderenfalls \emph{divergent}\index{divergent}.
\item Eine Folge konvergiert gegen höchstens eine Zahl
\item Für Grenzwert auch andere Schreibweisen gebräuchlich: $\lim_{i\rightarrow\infty}c_{i}=r$
\item Umformulierung des Satzes: $\lim_{i\in I}c_{i}=r\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon\in\mathbb{R},\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l\geq n:\left|c_{l}-r\right|\leq k\varepsilon$
\item Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt
\end{itemize}

\subsubsection{Beschränkt}

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ heißt \emph{beschränkt\index{beschränkt}},
falls es Zahlen $k,K\in\mathbb{R}$ gibt mit $k\leq c_{i}\leq K$
für alle $i\in I$. Äquivalent dazu: Es gibt ein $l\in\mathbb{R}$
mit $\left|c_{i}\right|\leq l$ für alle $i\in I$.

Jede konvergente Folge ist beschränkt.


\subsubsection{Monotonie\index{Monotonie}}

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ heißt 

\begin{itemize}
\item monoton wachsend\index{monoton wachsend} falls $c_{i}\leq c_{j}$
\item streng monoton wachsend\index{streng monoton wachsend} falls $c_{i}<c_{j}$
\item monoton fallend\index{monoton fallend} falls $c_{i}\geq c_{j}$
\item streng monoton fallend\index{streng monoton fallend} falls $c_{i}>c_{j}$
\end{itemize}
für alle $i<j$ gilt.

Ist die Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ monoton wachsend (fallend)
und beschränkt, dann konvergiert sie.

\begin{itemize}
\item Bei monoton wachsenden konvergenten Folgen gilt $\lim_{i\in I}c_{i}=\sup\left\{ c_{i}|i\in I\right\} $
\item Bei monoton fallenden konvergenten Folgen gilt $\lim_{i\in I}c_{i}=\inf\left\{ c_{i}|i\in I\right\} $
\end{itemize}

\subsubsection{Kombination von Folgen}

Seien $\left(a_{n}\right)_{n\in I}$ und $\left(b_{n}\right)_{n\in I}$
konvergent mit $\lim_{n\in I}a_{n}=a$ und $\lim_{n\in I}b_{n}=b$.
Betrachte die \emph{Summenfolge}\index{Summenfolge}$\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in I}$
und \emph{Produktfolge\index{Produktfolge}} $\left(a_{n}b_{n}\right)_{n\in I}$.
Es gilt \begin{eqnarray*}
\lim_{n\in I}\left(a_{n}+b_{n}\right) & = & a+b\\
\lim_{i\in I}\left(a_{n}b_{n}\right) & = & ab\end{eqnarray*}


Falls $a\neq0\neq a_{n}$ für alle $n\in I$ gilt, folgt \[
\lim_{n\in I}\left(\frac{1}{a_{n}}\right)=\frac{1}{a}\]


\begin{itemize}
\item Die Menge der konvergenten Folgen $\mathcal{F}$ bildet einen Vektorraum.
Die Grenzwertbildung ist ein lineares Funktional auf $\mathcal{F}$,
das heist, dass $\lim:\mathcal{F}\rightarrow\mathbb{R}$ eine lineare
Abbildung ist.
\end{itemize}

\subsubsection{Häufungspunkt}

Eine Zahl $r$ heißt \emph{Häufungspunkt\index{Häufungspunkt}} der
Folge $\left(c_{n}\right)_{n\in I}$, falls für jedes $\varepsilon>0$
die Menge $\left\{ n\in I|\left|c_{n}-r\right|\leq\varepsilon\right\} $
unendlich ist.

\begin{itemize}
\item Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt
\item Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren
Grenzwert.
\item Eine Zahl $r$ ist Häufungspunkt der Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$
genau dann, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen $r$ konvergiert.
\end{itemize}

\subsubsection{Teilfolge}

Ist $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ eine Folge, und ist $J\subseteq I$
unendlich, so heißt die Folge $\left(c_{j}\right)_{j\in J}$ \emph{Teilfolge\index{Teilfolge}}
der urspünglichen Folge.


\subsubsection{Satz von Bolzano\index{Bolzano - Weierstass} - Weierstrass\index{Weierstrass - Bolzano}}

Jede beschränkte Folge auf einem Ring / Körper der die Supremumseigenschaft\index{Supremumseigenschaft}
erfüllt (z.B. $\mathbb{R}$) hat mindestens einen Häufungspunkt.

\begin{itemize}
\item Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge
\end{itemize}

\subsubsection{Größter / Kleinster Häufungspunkt}

Der größte Häufungspunkt der beschränkten Folge $\left(c_{n}\right)_{n\in I}$
nennt man \emph{Limes superior\index{Limes superior}}: \[
\limsup_{i\in I}c_{i}=\overline{\lim}_{i\in I}c_{i}\]


Der kleinste Häufungspunkt heißt \emph{Limes inferior\index{Limes inferior}}:\[
\liminf_{i\in I}c_{i}=\underline{\lim}_{i\in I}c_{i}\]


\begin{itemize}
\item Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.\[
\lim_{i\in I}c_{i}\Rightarrow\liminf_{i\in I}c_{i}=\limsup_{i\in I}c_{i}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Wichtige Folgen\index{Folgen}}

\begin{description}
\item [Harmonische~Folge\index{Harmonische Folge}]$\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
$\lim_{n}\frac{1}{n}=0$
\item [Konstante~Folge\index{konstante Folge}]$\left(k\right)_{i\in\mathbb{N}}$
$\lim_{n}k=k$
\item [geometrische~Folge\index{geometrische Folge}]$\left(q^{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\wedge\left|q\right|<1$
$\lim_{n}q^{k}=0$
\end{description}

\subsection{Konstruktion von $\mathbb{R}$}


\subsubsection{Ideal}

Ist $R$ ein (kommutativer) Ring, $I\subseteq R$ eine nichtleere
Teilmenge mit

\begin{enumerate}
\item $x,y\in I\Rightarrow x+y\in I$
\item $x\in I\wedge y\in R\Rightarrow x\cdot y\in I$
\end{enumerate}
dann heißt $I$ \emph{Ideal\index{Ideal}} in R.

Dann ist der \emph{Faktorring\index{Faktorring}} $R/I=\left\{ r+I|r\in R\right\} $
mit $r+I=\left\{ r+i|i\in I\right\} $ mit den Verknüpfungen

\begin{enumerate}
\item $\left(r+I\right)+\left(s+I\right)=\left(r+s\right)+I$
\item $\left(r+I\right)\cdot\left(s+I\right)=r\cdot s+I$
\item Nullelement\\
$0=I$
\item Einselement\\
$1=1+I$
\end{enumerate}
wieder ein Ring.

\begin{itemize}
\item Hiermit lassen sich in $R$ Äquivalenzklassen\index{Äquivalenzklassen}
bilden, mit der Eigenschaft $\left[r\right]=\left\{ r+i|i\in I\right\} $
\end{itemize}

\subsubsection{Ring der Cauchy-Folgen}

Setze $\vec{q}=\left(q\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(q,q,q,\ldots\right)$.
Sei $R=CF\left(\mathbb{Q}\right)=\left\{ \textrm{Cauchy-Folgen in }\mathbb{Q}\right\} $
und $I=NF\left(\mathbb{Q}\right)=\left\{ \textrm{Nullfolgen in }\mathbb{Q}\right\} $
mit den Verknüpfungen

\begin{enumerate}
\item $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}+\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\item $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\cdot\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
\item Einselement $1=\vec{1}$
\item Nullelement $0=\vec{0}$
\end{enumerate}
$I$ ist ein Ideal. Also ist $R/I=\mathbb{R}$ ein Ring.

\begin{itemize}
\item Reelle Zahlen sind also Äquivalenzklassen von Cauchy Folgen (bis auf
Addition von Nullfolgen verschieden).
\item Dieses Konzept nennt sich Vervollständigung eines metrischen Raumes
\end{itemize}

\subsubsection{$\mathbb{R}$ ist Körper}

$\mathbb{R}$ ist ein Körper, d.h. wir können dividieren.

Sei $x\in\mathbb{R}$, $x\neq0$ gesucht: $y\in\mathbb{R}$ mit $x\cdot y=1$.
Es gilt, dass $x=\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}+I\neq I$ d.h.
$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ist keine Nullfolge. Insbesondere
ist $x_{n}\neq0$ für fast alle $n$. Setze $y_{n}=\begin{cases}
0 & \textrm{falls }x_{n}=0\\
\frac{1}{x_{n}} & \textrm{sonst}\end{cases}$. Dann ist $x_{n}\cdot y_{n}=1$ für fast alle $n$. Also ist diese
$\left(y_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ das gesuchte Inverse zu $x$.


\subsubsection{Anordnung\index{Anordnung} auf $\mathbb{R}$}

Sei \[
X=\{ r\in CF\left(\mathbb{Q}\right)|\textrm{Es gibt }\varepsilon>0,\]
\[
\textrm{so dass }r_{n}\ge\varepsilon\textrm{ für fast alle }n\in\mathbb{N}\textrm{ gilt}\}\]
Dann gilt\[
CF\left(\mathbb{Q}\right)=-X\dot{\cup}I\dot{\cup}X\]


Seien $P\subseteq\mathbb{R}$ die \emph{positiven reellen Zahlen}.
$P=\left\{ r+I|r\in X\right\} $. Damit gilt \[
\mathbb{R}=-P\dot{\cup}\left\{ 0\right\} \dot{\cup}P\]
 und $X\cdot X\subseteq X$, $X+X\subseteq X$, $X+I\subseteq X$.
Also auch $P\cdot P\subseteq P$ und $P+P\subseteq P$.

Wir definieren eine Ordnung {}``$<$'' auf $\mathbb{R}$ durch:
$x<y\Leftrightarrow y-x\in P$. Dann ist $\mathbb{R}$ ein angeordneter
Körper und es gelten die Eigenschaften aus \vref{sub:angeordneterRing/Koerper}.


\subsubsection{Supremumsnorm / Archimedisch}

$\mathbb{R}$ ist archimedisch\index{archimedisch}, d.h für jedes
$r\in\mathbb{R}$ lässt sich ein $n\in\mathbb{N}$ finden, so dass
$\vec{n}\ge r$ gilt.

$\mathbb{R}$ hat die Supremumseigenschaft\index{Supremumseigenschaft},
d.h. jede beschränkte Teilmenge $A$ von $\mathbb{R}$ hat auch eine
kleinste obere Schranke. Zu jedem $n\in\mathbb{N}$ findet man eine
obere Schranke $q_{n}\in\mathbb{Q}$ für $A$ mit $\left|q_{n}-a\right|\le\frac{1}{n}$
für ein $a\in A$. Dann bilden die $q_{n}$ eine rationale Cauchy-Folge,
und $\left(q_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}+I$ ist die kleinste obere
Schranke für $A$, das gesuchte Supremum. 


\subsubsection{Eindeutigkeit von $\mathbb{R}$}

Ist $R$ ein angeordneter Körper mit der Supremumseigenschaft, dann
gibt es \emph{genau einen} Isomorphismus $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow R$.
Dieser ist wie folgt definiert.

\begin{enumerate}
\item $\varphi\left(n\cdot1\right)=n\cdot I_{R}$
\item $\varphi\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}\varphi\left(1\right)=\frac{1}{n}I_{R}$
\item $\varphi\left(\frac{p}{q}\right)=p\varphi\left(\frac{1}{q}\right)$
\item Für $r\in\mathbb{R}$ sei $A_{r}=\left\{ q\in Q|q\le r\right\} $,
dann ist $r=\sup\left(A_{r}\right)$. Setze $\varphi\left(r\right)=\sup\left(\varphi\left(A_{r}\right)\right)$
\end{enumerate}
In $\mathbb{R}$ gilt: $P=\left\{ r^{2}|r\in\mathbb{R}\backslash\left\{ 0\right\} \right\} $,
die Anordnung von $\mathbb{R}$ ist algebraisch bestimmt. Deshalb
muss man $\varphi$ so konstruieren, es gibt keinen anderen Isomorphismus.


\section{Cauchy Folgen und Reihen}


\subsection{Cauchy Folgen}


\subsubsection{Definition}

Sei $R$ ein angeordneter Ring oder Körper (z.B. $R=\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$).
Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ in $R$ heißt \emph{Cauchy-Folge\index{Cauchy-Folge}}
oder \emph{Fundamentalfolge\index{Fundamentalfolge}} falls es zu
jedem $\varepsilon\in R$ mit $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$
gibt, so dass $\left|c_{l}-c_{m}\right|\leq\varepsilon$ für alle
$l,m\geq n$.\[
\forall0<\varepsilon\in R:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l,m\geq n:\left|c_{l}-c_{m}\right|\leq\varepsilon\]


\begin{itemize}
\item Eine Folge in $\mathbb{R}$ (bzw. einem Körper mit der Supremumseigenschaft)
ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
\item Cauchy Folgen sind immer beschränkt.
\end{itemize}

\subsubsection{Vollständig}

Der angeordnete Ring / Körper heißt (folgen-) vollständig\index{Folgenvollständig}\index{Vollständig},
wenn \emph{jede} Cauchy-Folge in $R$ auch konvergent ist.

\begin{itemize}
\item Wenn $R$ die Supremumseigenschaft hat, ist $R$ auch vollständig.
\item $\mathbb{Z},\mathbb{R}$ sind vollständig
\item $\mathbb{Q}$ ist \emph{nicht} vollständig
\end{itemize}

\subsection{Reihen\index{Reihen}}


\subsubsection{Definition}

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge. Setze $s_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}$.
Diese neue Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ heißt \emph{Partialsummenfolge\index{Partialsummenfolge}}
oder \emph{unendliche Reihe\index{unendliche Reihe}}, schreibe $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$.
Falls diese Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ konvergiert,
spricht mann von einer \emph{konvergenten Reihe\index{konvergente Reihe}},
ansonsten von einer \emph{divergenten Reihe\index{divergenten Reihe}}.
Für den Grenzwert $s=\lim_{k}s_{k}$ schreibe $\lim_{k}s_{k}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$.

\begin{itemize}
\item Das Symbol $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ hat also mehrere Bedeutungen,
den Grenzwert der Reihe und die Reihe selber.
\end{itemize}

\subsubsection{Cauchy\index{Cauchy} Konvergenzkriterium für Reihen}

Eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn
die Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ihrer Partialsummen
eine Cauchy-Folge ist. D.h. die Reihe konvergiert genau dann, wenn
es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\left|\sum_{k=l}^{m}a_{k}\right|\leq\varepsilon$
für alle $n\leq l\leq m$. Mit Quantoren: $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$
ist konvergent $\Leftrightarrow$\[
\forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall n\leq l\leq m:\left|\sum_{k=l}^{m}a_{k}\right|\leq\varepsilon\]


\begin{itemize}
\item Insbesondere muss $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Nullfolge
sein, wenn die Reihe konvergieren soll. 
\end{itemize}

\subsubsection{Leibnizkriterium\index{Leibnizkriterium}}

Ist $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ eine streng monoton fallende
Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe \[
\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}\]



\subsubsection{Absolute Konvergenz}

Eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ \emph{konvergiert absolut\index{konvergiert absolut}}\index{absolute Konvergenz},
falls die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|$ konvergiert.
Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.


\subsubsection{Gleiches Konvergenzverhalten}

Sind $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ und $\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$
Folgen, und gilt $a_{k}=b_{k}$ für fast alle $k\in\mathbb{N}$, so
haben die beiden Folgen $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$,$\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$
und die beiden Reihen $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$
das \emph{gleiche Konvergenzverhalten\index{Konvergenzverhalten}\index{gleiche Konvergenzverhalten}} 

\begin{itemize}
\item die Grenzwerte der Reihen können verschieden sein
\item die Grenzwerte der Folgen sind gleich
\end{itemize}

\subsubsection{Majorantenkriterium\index{Majorantenkriterium}}

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ Reihen
mit $\left|a_{k}\right|\leq\left|b_{k}\right|$ für fast alle $k$,
und wenn $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ absolut konvergiert, dann konvergiert
auch $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut.

\begin{itemize}
\item Analog \emph{Minorantenkriterium}\index{Minorantenkriterium} um zu
zeigen, dass eine Reihe nicht konvergiert
\end{itemize}

\subsubsection{Quotientenkriterium\index{Quotientenkriterium}}

Ist $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ eine Reihe, und gibt es $\Theta\in\mathbb{R}$
mit $0\le\Theta<1$ so dass für fast alle $k$ gilt $\left|a_{k+1}\right|\le\Theta\left|a_{k}\right|$.
Dann konvergiert die Reihe absolut. Ist jedoch $\left\{ k\in\mathbb{N}|\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|\ge1\right\} $
eine unendliche Menge divergiert die Reihe. Ansonsten lassen sich
keine Aussagen machen.

\begin{itemize}
\item Das $\Theta$ muss fest gewählt werden für alle $k$
\item oft auch so geschrieben:\\
$\exists0\le\Theta<1,\Theta\in\mathbb{R}:\forall k\in\mathbb{N}:\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|\le\Theta\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$
konvergiert absolut
\item Falls der folgende Grenzwert existiert, muss zusätzlich gelten:\\
$\limsup_{k}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|<1$
\end{itemize}

\subsubsection{Wurzelkriterium\index{Wurzelkriterium}}

Gibt es ein $\Theta\in\mathbb{R}$ mit $\Theta<1$ so, dass $\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\le\Theta$
für fast alle $n$, dann konvergiert die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$
absolut.\[
\exists\Theta<1,\Theta\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N}:\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\le\Theta\]
Falls für fast alle $n$ $\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}\ge1$ ist,
divergiert die Reihe.

\begin{itemize}
\item Für sowohl unendlich viele kleinere, als auch größere Glieder lässt
sich keine allgemeine Aussage machen.
\end{itemize}

\subsubsection{Verdichtungssatz\index{Verdichtungssatz von Cauchy} von Cauchy}

Sei $\left(a_{n}\right)_{n}$ eine positive, monoton fallende Folge.
Dann gilt:\[
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\textrm{ konvergent}\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\textrm{ konvergent}\]



\subsubsection{Addition von Reihen}

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ konvergent,
so auch $\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$, mit dem Grenzwert
$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}+\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$.


\subsubsection{Cauchy-Produkt}

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ Reihen,
definieren wir ihr \emph{Cauchy-Produkt\index{Cauchy-Produkt}} $\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}$
durch $c_{k}=\sum_{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ absolut
konvergent, dann ist ihr Cauch-Produkt ebenfalls absolut konvergent
und im Grenzwert gilt: $\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right)$.

\begin{itemize}
\item Entspricht dem Ausmultiplizieren von zwei geklammerten Summentermen.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Funktionalgleichung-der-Exponentialfunktion}Funktionalgleichung
der Exponentialfunktion\index{Exponentialfunktion} / Logarithmus\index{Logarithmus}}

\[
\exp\left(x\right)=e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}\]


\begin{itemize}
\item $\exp:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$
\item $\exp\left(0\right)=1$
\item $\exp\left(-x\right)=\frac{1}{\exp\left(x\right)}$
\item $\exp\left(x+y\right)=\exp\left(x\right)\cdot\exp\left(y\right)$
\item $\exp\left(x\right)$ ist stetig und streng monoton wachsend
\item Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}: natürlicher Logarithmus\index{natürlicher Logarithmus}

\begin{itemize}
\item $\ln:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$
\item ist stetig und streng monoton steigend
\item $\exp\left(\ln\left(x\right)\right)=\textrm{id}|_{\mathbb{R}_{>0}}$
\item $\ln\left(\exp\left(x\right)\right)=\textrm{id}|_{\mathbb{R}}$
\item $\ln\left(1\right)=0$
\item $\ln\left(x\right)+\ln\left(y\right)=\ln\left(x\cdot y\right)$
\end{itemize}
\end{itemize}
Die $\exp$-Funktion und der natürliche Logarithmus sind \emph{Gruppenisomorphismen}\index{Gruppenisomorphismus}.
Sie transformieren von einer kommutativen Gruppe in eine andere.

\[
\left(\mathbb{R},+,0\right)\leftrightarrow\left(\mathbb{R}_{>0},\cdot,1\right)\]



\subsubsection{Wichtige Reihen\index{Reihen}}

\begin{description}
\item [geometrische~Reihe\index{geometrische Reihe}]$\left|x\right|<1\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}=\frac{1}{1-x}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item Ist innerhalb ihres Konvergenzradius stetig.
\item $\left|x\right|<1\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}\left(n+1\right)x^{n}=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [harmonische~Reihe\index{harmonische Reihe}]$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$
ist divergent.
\item [alternierende~harmonische~Reihe\index{alternierende harmonische Reihe}]$\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{1}{k}=\ln2$
\item [Exponentialreihe\index{e}\index{Exponentialreihe}]$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}=\exp\left(x\right)=e^{x}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$
\item siehe \vref{sub:Funktionalgleichung-der-Exponentialfunktion}
\end{itemize}

\paragraph{Sonstige}

\begin{itemize}
\item $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$
\end{itemize}

\section{Reelle Funktionen}


\subsection{Stetigkeit}


\subsubsection{\label{sub:Stetigkeit R^1}Definition}

Sei $A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Folge von Elementen $\left(a_{n}\right)_{n\in I}$
von Elementen aus $A$ \emph{konvergiert in $A$}\index{konvergiert in},
falls sie gegen ein Element $a\in A$ konvergiert.

Es sei $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ eine Abbildung. Wir sagen $f$
ist \emph{stetig\index{stetig}} im Punkt $a\in A$, falls folgendes
gilt: Für jede Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in I}$, die in $A$ gegen
$a$ konvergiert, gilt $\lim_{n\in I}f\left(a_{n}\right)=f\left(a\right)$.

Äquivalent dazu ist\[
{\scriptstyle \forall a\in A:\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:U_{\delta}\left(a\right)\subseteq U_{\varepsilon}\left(f\left(a\right)\right)}\]


Falls $f$ in jedem Punkt $a\in A$ stetig ist, heißt $f$ \emph{stetig}.

\begin{itemize}
\item Bei stetigen Funktionen gilt:\\
$f\left(\lim_{n}a_{n}\right)=\lim_{n}f\left(a_{n}\right)$
\item Eine Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig
genau dann, wenn man {}``ihr Schaubild ohne Abzusetzen zeichnen kann''.
\end{itemize}

\subsubsection{Reelle Algebren}

Für $A\subseteq\mathbb{R}$ sei $\mathbb{R}^{A}$ die Menge aller
Abbildungen $A\rightarrow\mathbb{R}$. Für $f,g\in\mathbb{R}^{A}$
und $r\in\mathbb{R}$ schreibe

\begin{enumerate}
\item $f+g:x\mapsto f\left(x\right)+g\left(x\right)$
\item $f\cdot g:x\mapsto f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$
\item $r\cdot f:x\mapsto r\cdot f\left(x\right)$
\end{enumerate}
Mit 1. und 3. ist $\mathbb{R}^{A}$ ein reeller Vektorraum, die Vektoren
sind Funktionen. Mit 1. und 2. ist $\mathbb{R}^{A}$ ein kommutativer
Ring (das Einselement ist die Funktion $x\mapsto1$). Beides zusammen
sagt, dass $\mathbb{R}^{A}$eine (kommutative und assoziative) \emph{reelle
Algebra\index{Algebra}\index{reelle Algebra}} ist.


\subsubsection{stetige Funktionen}

Sei $A\subseteq\mathbb{R}$, und sei $C\left(A,\mathbb{R}\right)$
die Menge aller stetigen Funktionen auf $A$.\[
C\left(A,\mathbb{R}\right)=\left\{ f\in\mathbb{R}^{A}|f\textrm{ ist stetig}\right\} \]
$C\left(A,\mathbb{R}\right)$ ist eine reelle Algebra.


\subsubsection{\label{sub:gleichm=E4=DFig-stetig}gleichmäßig stetig}

Sei $A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Abbildung $f:A\rightarrow\mathbb{R}$
heißt \emph{gleichmäßig\index{stetig!gleichmäßig}\index{gleichmäßig stetig}
stetig} genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$
gibt, so dass für alle $u,v\in\left[a,b\right]$ mit $\left|u-v\right|\le\delta$
gilt $\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\le\varepsilon$.
Mit Quantoren:\[
{\scriptstyle \forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall u,v\in\left[a,b\right]:\left|u-v\right|\le\delta\Rightarrow\left|f\left(u\right)-f\left(v\right)\right|\le\varepsilon}\]


\begin{itemize}
\item Alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind auch stetig
\item Alle stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind gleichmäßig
stetig
\item gleichmäßige Stetigkeit besagt anschaulich in etwa, dass die Steigung
der Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich endlich ist.
\item nicht mit gleichmäßiger Konvergenz verwechseln!
\end{itemize}

\subsubsection{Beispiele für stetige Funktionen}

\begin{itemize}
\item Eine \emph{Polynomfunktion\index{Polynomfunktion}} ist eine Abbildung
der Form $p:x\mapsto\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$. Polynomfunktionen
sind stetig.
\item $x\mapsto\frac{1}{x}$ ist stetig\index{gebrochenrationale Funktion}
\item Die \emph{Wurzelfunktion\index{Wurzelfunktion}} ist stetig. Für $\mathbb{R}_{\ge0}\rightarrow\mathbb{R}_{\ge0}$
mit $x=\sqrt[n]{x}=g\left(x\right)$ wobei $g\left(x\right)$ die
Umkehrfunktion von $x^{n}$ ist.
\item Die $e$-Funktion ist stetig. Siehe \vref{sub:Funktionalgleichung-der-Exponentialfunktion}.
\end{itemize}

\subsubsection{Kompostion von Funktionen}

Sind $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ und $g:B\rightarrow\mathbb{R}$ stetig,
und gilt $f\left(A\right)\subseteq B$, so ist die Hintereinanderausführung\index{Hintereinanderausführung von fkt}
(Komposition\index{Komposition}) \[
A\rightarrow^{f}B\rightarrow^{g}\mathbb{R}\]
 ebenfalls stetig. Schreibe für die Komposition $g\circ f:x\mapsto g\left(f\left(x\right)\right)$


\subsubsection{Einschränkung}

Ist $B\subseteq A\subseteq\mathbb{R}$, betrachte die \emph{Einschränkungsabbildung\index{Einschränkungsabbildung}}
\[
\mathbb{R}^{A}\rightarrow\mathbb{R}^{B},f\mapsto f|_{B}\]
''$f$ eingeschränkt auf $B$'' mit \[
f|_{B}:B\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f\left(x\right)\]


Dies ist eine lineare Abbildung denn $\left(f+g\right)|_{B}=f|_{B}+g|_{B}$
und $\left(f\cdot g\right)|_{B}=f|_{B}\cdot g|_{B}$ gilt. Einschränkungen
von stetigen Funktionen sind stetig.


\subsubsection{Zwischenwertsatz\index{Zwischenwertsatz}}

Sei $I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossnes endliches) Intervall.
Sei $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Zu jeder Zahl $y$ zwischen
$f\left(a\right)$ und $f\left(b\right)$ gibt es ein $x\in I$ mit
$f\left(x\right)=y$. Mit Quantoren:\[
\forall y\in\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]:\exists x\in I:f\left(x\right)=y\]


\begin{itemize}
\item Mithilfe der Einschränkung kann dieser Satz auch Erweitert werden
aus das Intervall $\left[\min\left(f\left(x\right)\right),\max\left(f\left(x\right)\right)\right]$
\end{itemize}

\subsubsection{Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}}

Sei $I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossenes endliches) Intervall,
$f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend (bzw.
fallend), d.h. $r<s\Rightarrow f\left(r\right)<f\left(s\right)$ (bzw.
$r>s\Rightarrow f\left(r\right)>f\left(s\right)$). Dann hat $f$
eine stetige \emph{Umkehrfunktion}\index{Umkehrfunktion} $g:\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]\rightarrow I$.
D.h. $g\circ f=id_{I}$ und $f\circ g=id_{\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]}$.


\subsubsection{Satz von Weierstrass\index{Weierstrass}}

Sei $I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossenes endliches) Intervall
und $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann ist $f\left(I\right)=J$
ebenfalls ein endliches abgeschlossenes Intervall.

\begin{itemize}
\item Dieses $f$ besitzt folglich im Intervall $J$ ein Minimum und ein
Maximum.
\end{itemize}

\subsection{Funktionenfolgen\index{Funktionenfolgen}}


\subsubsection{Definition}

Für $A\subseteq\mathbb{R}$ betrachten wir Folgen von Funktionen in
$\mathbb{R}^{A}$ bzw. in $C\left(A,\mathbb{R}\right)$ d.h. Abbildungen
$L\rightarrow\mathbb{R}^{A}$ $L\subseteq\mathbb{N}$ Indexmenge (unendlich)
$\left(f_{l}\right)_{l\in L}$. Jedes $f_{l}$ ist also eine Abbildung
$f_{l}:A\rightarrow\mathbb{R}$.


\subsubsection{Konvergenz\index{Konvergenz}}

Eine Folge $\left(f_{l}\right)_{l\in L}$ von Funktionen \emph{konvergiert
punktweise\index{punktweise Konvergenz}\index{Konvergenz!punktweise}}
gegen eine Funktion $f$, falls gilt \[
\forall x\in A:\lim_{l\in L}f_{l}\left(x\right)=f\left(x\right)\]


Eine Folge $\left(f_{l}\right)_{l\in L}$ \emph{konvergiert gleichmäßig\index{Konvergenz!gleichmäßig}\index{gleichmäßige Konvergenz}}
gegen $f$ , falls folgendes gilt. Zu jedem $\varepsilon>0$ gibt
es ein $n\in\mathbb{N}$ so, dass für alle $x\in A$ und alle $l\in L$
mit $l\ge n$ gilt $\left|f_{l}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\le\varepsilon$.
Mit Quantoren: \[
{\scriptstyle \forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall x\in A,l\in L,l\ge n:\left|f_{l}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|\le\varepsilon}\]


\begin{itemize}
\item gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz
\item Sei $A\subseteq\mathbb{R},\left(f_{l}\right)_{l\in L}$ eine Folge
stetiger Funktionen. Falls die Folge gleichmäßig gegen eine Funktion
$f$ konvergiert, ist dieses $f$ auch stetig.
\item nicht mit gleichmäßiger Stetigkeit verwechseln!
\end{itemize}

\subsubsection{Potenzreihe}

Sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge. Betrachte die
stetige Funktion $p_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ auf
$\mathbb{R}.$ Die Funktionenfolge $\left(p_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
heißt \emph{formale Potenzreihe\index{formale Potenzreihe}\index{Potenzreihe!formale}}

und man schreibt kurz dafür $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=\left(p_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
.

Setze $L=\limsup_{n}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$ bzw. $L=\infty$
falls es keinen größten Häufungspunkt gibt. Setze weiter $R=\frac{1}{L}$
falls $L\neq0,L\neq\infty$ sonst $R=\infty$ für $L=0$ und $R=0$
für $L=\infty$. $R$ heißt \emph{Konvergenzradius\index{Konvergenzradius}}
der Potzenzreihe.

Für $\left|x\right|<R$ ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$
absolut konvergent, und die Funktionsfolge $p_{n}:x\mapsto\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$
ist gleichmäßig konvergent auf $\left\{ x\in\mathbb{R}|-r<x<r\right\} $
für $r<R$. Somit ist $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ eine stetige
Funktion für $\left|x\right|<R$.

Für $\left|x\right|>R$ divergiert die Potenzreihe.

\begin{itemize}
\item Für $\left|x\right|=R$ kann man keine allgemeinen Aussagen machen
\item Falls folgender Grenzwert existiert, gilt:\\
$R=\lim_{k}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|$
\item Zu einer Funktion gibt es immer höchstens eine Potenzreihe.
\end{itemize}

\subsection{Trigonometrische\index{Trigonometrische Funktionen} Funktionen}


\subsubsection{Sinus\index{Sinus} und Cosinus\index{Cosinus}}

\begin{eqnarray*}
\cos\left(x\right) & = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{\left(2n\right)!}\\
 & = & 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+\ldots\end{eqnarray*}


\begin{eqnarray*}
\sin\left(x\right) & = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}\\
 & = & x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\ldots\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item sind konvergent für alle $x\in\mathbb{R}$
\item $\cos\left(0\right)=1$\\
$\sin\left(0\right)=0$
\item $\cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)$ \\
$\sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Additionstheoreme\index{Additionstheoreme}}

\begin{eqnarray*}
\sin\left(x+y\right) & = & \sin\left(x\right)\cos\left(y\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(y\right)\\
\cos\left(x+y\right) & = & \cos\left(x\right)\cos\left(y\right)-\sin\left(x\right)\sin\left(y\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item $\cos^{2}\left(x\right)+\sin^{2}\left(x\right)=1$
\item $\cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right)-1$
\item $\cos\left(\arcsin\left(x\right)\right)=\sin\left(\arccos\left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^{2}}$
\item $\cos\left(x\right)'=-\sin\left(x\right)$\\
$\sin\left(x\right)'=\cos\left(x\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{PI $\pi$\index{pi}}

Die kleinste positive Nullstelle des Cosinus heißt per Definition
$\frac{\pi}{2}$. Auf diese Weise definieren wir die Zahl $\pi\approx3,14519\ldots$

\begin{itemize}
\item $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$\\
$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
\item $\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x\right)$\\
$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x\right)$
\item $\sin\left(x+\pi\right)=-\sin\left(x\right)$\\
$\cos\left(x+\pi\right)=-\cos\left(x\right)$
\item $\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)$\\
$\cos\left(x+2\pi\right)=\cos\left(x\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Hyperbolische\index{Hyperbolische Trigonometrische Funktioen} Trigonometrische
Funktionen}


\paragraph{Cosinus\index{Cosinus!Hyperbolicus}~Hyperbolicus}

\[
{\scriptstyle \cosh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\exp\left(x\right)+\exp\left(-x\right)\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}}\]



\paragraph{Sinus\index{Sinus!Hyperbolicus}~Hyperbolicus}

\[
{\scriptstyle \sinh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\exp\left(x\right)-\exp\left(-x\right)\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}}\]


\begin{itemize}
\item Haben ihre Namen auf grund Ihrer Ähnlichkeit zu der Sinus und Cosinusreihe
\item Tangens Hyperbolicus: $\textrm{tanh}\left(x\right)=\frac{\sinh\left(x\right)}{\cosh\left(x\right)}$
\item Cotangens Hyperbolicus: $\textrm{coth}\left(x\right)=\frac{\cosh\left(x\right)}{\sinh\left(x\right)}$
\item Umkehrfunktionen: Arearfunktion existieren für alle Trigonometrischen
Funktionen, da diese alle streng monoton und stetig sind (zumindest
auf einem Teilintervall)
\item $\forall n\in\mathbb{N}:\left(\sinh\left(x\right)+\cosh\left(x\right)\right)^{n}=\sinh\left(nx\right)+\cosh\left(nx\right)$
\item $\cosh^{2}\left(x\right)-\sinh^{2}\left(x\right)=1$
\item $1-\tanh^{2}\left(x\right)=\frac{1}{\cosh^{2}\left(x\right)}$
\item $\textrm{arsinh}\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$
\item $\forall x\in\left(-1,1\right):\textrm{artanh}\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
\item $\sinh\left(x\right)'=\cosh\left(x\right)$\\
$\cosh\left(x\right)'=\sinh\left(x\right)$
\item $\cosh\left(\textrm{arcsinh}\left(x\right)\right)=\sqrt{x^{2}+1}$\\
$\sinh\left(\textrm{arccosh}\left(x\right)\right)=\sqrt{x^{2}-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{Hermite-Polynome\index{Polynome}}

Die sogenannten \emph{Hermite-Polynome\index{Hermite-Polynome}} $H_{n}$
sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert durch\[
H_{n}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}},\, n\in\mathbb{N}\]
wobei $\frac{d^{n}}{dx^{n}}f$ die $n$-te Ableitung von $f$ nach
$x$ bezeichnet.

\begin{itemize}
\item $H_{0}=1$\\
$H_{1}=2x$\\
$H_{2}=4x^{2}-2$\\
$H_{3}=8x^{3}-12x$\\
$H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12$
\item $H_{n+1}\left(x\right)=2xH_{n}\left(x\right)-H'_{n}\left(x\right)$
\item $H_{n}'\left(x\right)=2nH_{n-1}\left(x\right)$
\item $H_{n}''\left(x\right)-2xH_{n}'\left(x\right)+2nH_{n}\left(x\right)=0$
\item Für $f_{n}\left(x\right)=H_{n}\left(x\right)e^{-\frac{x^{2}}{2}}$
gilt $x^{2}f_{n}\left(x\right)-f_{n}''\left(x\right)=\left(2n+1\right)f_{n}\left(x\right)$
\item Die $e$-Funktionen kürzen sich nach dem Ableiten herraus
\end{itemize}

\section{Integration}


\subsection{beschränkte Funktionen}


\subsubsection{Definition beschränkte Funktion}

Sei $A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Funktion $f:A\rightarrow\mathbb{R}$
heißt \emph{beschränkt\index{beschränkt}}, falls $f\left(A\right)=\left\{ f\left(a\right)|a\in A\right\} $
beschränkt ist. D.h. falls es eine Zahl $k\in\mathbb{R}$ gibt, so
dass $\left|f\left(a\right)\right|\leq k$ für alle $a\in A$.\[
f\textrm{ beschränkt }\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\forall a\in A:\left|f\left(a\right)\right|\le k\]
 Sei $B\left(A,\mathbb{R}\right)=\left\{ f\in\mathbb{R}^{A}|f\textrm{ ist beschränkt}\right\} $
die Menge aller beschränkten Funktionen.

$B\left(A,\mathbb{R}\right)$ ist ein reeller Vektorraum und ein Ring,
d.h. es gilt $\forall f,g\in B\left(A,\mathbb{R}\right),c\in\mathbb{R}:$

\begin{enumerate}
\item $f+g\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
\item $f\cdot g\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
\item $c\cdot f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Ist der Definitionsbereich ein endliches abgeschlossenes Intervall,
dann gilt $C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$.
D.h. dass die stetigen Funktionen eine (echte) Teilmenge der beschränkten
Funktionen sind.
\end{itemize}

\subsubsection{Supremumsnorm}

Für $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$ setzte \[
\left\Vert f\right\Vert _{\infty}=\sup\left\{ \left|f\left(a\right)\right||a\in A\right\} \]


$\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$ heißt \emph{(Supremums-)Norm}\index{Supremumsnorm}\index{Norm}
der Funktion $f$.

\begin{itemize}
\item $\left\Vert f\right\Vert _{\infty}=0\Leftrightarrow\forall a\in A:f\left(a\right)=0$
\item Dreiecksungleichung\index{Dreiecksungleichung}\\
$\left\Vert f+g\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert f\right\Vert _{\infty}+\left\Vert g\right\Vert _{\infty}$
\item $\forall c\in\mathbb{R}:\left\Vert c\cdot f\right\Vert _{\infty}=\left|c\right|\cdot\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$
\item $\left\Vert f\cdot g\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert f\right\Vert _{\infty}\cdot\left\Vert g\right\Vert _{\infty}$
\item $\left(B\left(A,\mathbb{R}\right),||_{\cdot}||_{\infty}\right)$ ist
ein \emph{normierter Vektorraum\index{Vektorraum!normierter}\index{normierter Vektorraum}}
und sogar eine \emph{normierte Algebra\index{Algebra!normierte}\index{normierte Algebra}}
dank der Produkteigenschaft der Norm.
\end{itemize}

\subsubsection{gleichmäßige\index{gleichmäßige Konvergenz} Konvergenz}

Ist $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine Folge von Funktionen in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$,
so konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
genau dann, wenn gilt $\lim_{n}\left\Vert f-f_{n}\right\Vert _{\infty}=0$.


\subsubsection{Cauchy-Folge}

Eine Folge $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$
heißt \emph{Cauchy\index{Cauchy Folge}-Folge}, falls gilt: Zu jedem
$\varepsilon>0$ gibt es ein $n\in\mathbb{N}$, so dass $\left\Vert f_{l}-f_{m}\right\Vert _{\infty}\le\varepsilon$
für alle $l,m\ge n$.\[
\forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l,m\ge n:\left\Vert f_{l}-f_{m}\right\Vert _{\infty}\le\varepsilon\]


\begin{itemize}
\item Eine Folge $\left(f_{l}\right)_{l\in L}$ in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$
ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn sie gegen eine Funktion $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
gleichmäßig konvergiert.
\item Im normierten Raum $\left(B\left(A,\mathbb{R}\right),||_{\cdot}||_{\infty}\right)$
konvergiert jede Cauchyfolge. Man nennt den Raum daher \emph{vollständig\index{vollständig}}
oder \emph{Banachraum\index{Banachraum}}.
\end{itemize}

\subsubsection{Zerlegung}

Eine \emph{Zerlegung\index{Zerlegung}} $Z$ von $\left[a,b\right]$
ist eine enliche Folge $Z=\left\{ a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b\right\} $.
Eine andere Zerlegung $Z'$ heißt \emph{feiner\index{feiner}} als
$Z$ falls $Z'\supseteq Z$. 

\begin{itemize}
\item Falls $Z_{1}$ und $Z_{2}$Zerlegungen von $\left[a,b\right]$ sind,
so auch $Z_{1}\cup Z_{2}$, welche feiner ist als $Z_{1}$ und $Z_{2}$.
\end{itemize}

\subsubsection{Stufenfunktion}

Eine Funktion $f\in B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ heißt
\emph{Stufenfunktion\index{Stufenfunktion}} (bzgl. Zerlegung $Z$)
falls \[
f\left(x\right)=\begin{cases}
y_{k} & \textrm{falls }a_{k}<x<a_{k+1}\\
w_{k} & \textrm{falls }x=a_{k}\end{cases}\]


Die Menge aller Stufenfunktionen wird mit $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$\index{Step}
bezeichnet.

\begin{itemize}
\item Falls $f$ eine Stufenfunktion bzgl. $Z$ ist, und falls $Z'$ feiner
als $Z$ ist, dann ist $f$ auch Stufenfunktion bzgl. $Z'$
\item Eine Stufenfunktion muss \emph{endlich viele} Stufen haben
\item Ist $f$ Stufenfunktion bzgl. $Z_{1}$ und $g$ Stufenfunktion bzgl.
$Z_{2}$, dann sind $f+g$, $f\cdot g$ und $c\cdot f$ (für $c\in\mathbb{R}$)
Stufenfunktionen bzgl. $Z_{1}\cup Z_{2}$.
\item $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)<B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
ist Untervektorraum der beschränkten Funktionen. Außerdem ist diese
Menge ein Ring. Somit also eine Algebra.
\item Die Einschränkung einer Stufenfunktion ist wieder eine Stufenfunktion.
\end{itemize}

\subsubsection{Charakteristische Funktion}

Ist $A\subseteq\mathbb{R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen, so
heißt die Funktion \[
\chi_{A}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:\chi_{A}\left(x\right)=\begin{cases}
1 & \textrm{falls }x\in A\\
0 & \textrm{falls }x\notin A\end{cases}\]
 die \emph{charakteristische\index{charakteristische Funktion} Funktion}
der Menge $X$.


\subsection{Integral}


\subsubsection{Integral für Stufenfunktionen}

Für eine Stufenfunktion $f$

\[
f\left(x\right)=\begin{cases}
y_{k} & \textrm{falls }a_{k}<x<a_{k+1}\\
w_{k} & \textrm{falls }x=a_{k}\end{cases}\]


bzgl. einer Zerlegung $Z$

\[
Z=\left\{ a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b\right\} \]


definieren wir das \emph{Integral\index{Integral}} folgendermaßen:

\[
\int_{a}^{b}f\left(x\right)\, dx=\sum_{k=0}^{r-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)y_{k}\]


\begin{itemize}
\item $w_{k}$ spielen für das Integral keine Rolle
\item Für $Z'\supseteq Z$ Verfeinerung, kommt für das Integral über $f$
bzgl. $Z'$ der \emph{gleiche} Wert heraus.
\item Das Integrieren ist eine lineare Abbildung. Es gilt also:

\begin{itemize}
\item $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$ 
\item $\int_{a}^{b}\lambda f\left(x\right)dx=\lambda\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$
\item Achtung, für Produkte gilt dies \emph{nicht}
\end{itemize}
\item Sind $f,g$ Stufenfunktionen und gilt $\forall x\in\left[a,b\right];h_{1}\left(x\right)\le h_{2}\left(x\right)$
dann folgt: $\int_{a}^{b}h_{1}\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}h_{2}\left(x\right)dx$
\item $\int_{a}^{b}\left(f-g\right)\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx\le\left\Vert f-g\right\Vert _{\infty}\left(b-a\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Regelfunktionen}

Eine beschränkte Funktion $f$ heißt \emph{Regelfunktion\index{Regelfunktion}},
falls es eine Folge von Stufenfunktionen $f_{n}$ gibt, die gleichmäßig
gegen $f$ konvergiert. Wir sagen dann, diese Stufenfunktion \emph{approximiert\index{approximiert}}
die Regelfunktion $f$. Es sei $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)<B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
die Menge aller Regelfunktionen.

\begin{itemize}
\item $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ ist ein (Folgen-)Vollständiger
normierter Vektorraum (bzgl. $||_{\cdot}\,||_{\infty}$)
\item falls $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$und $\left(g_{n}\right)_{n\in L}$
Folgen in $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$,
die die gleiche Regelfunktion approximieren, so gilt $\lim_{n}\left\Vert f_{n}-g_{n}\right\Vert _{\infty}=0$
\item Alle stetigen Funktionen auf endlich abgeschlossenen Intervallen sind
Regelfunktionen:\\
$C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
\item Ist ein Ring bzg. Addition und Multiplikation.
\end{itemize}

\subsubsection{Integral\index{Integral} allgemein}

Ist $f$ eine Regelfunktion und $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine
Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert.
Wir setzen\[
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{n}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx\]


\begin{itemize}
\item Dieser Grenzwert existiert
\item Ist unabhängig von der konkreten Wahl der Stufenfunktion
\item Dieser Ausdruck heißt \emph{Riemann-Integral\index{Riemann-Integral}}
von $f$, es gibt noch weitere Integraldefinitionen
\item Sind $f,g$ Regelfunktionen mit $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$
für alle $x\in\left[a,b\right]$, so gilt $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
\end{itemize}

\subsubsection{Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion}

Die Menge \[
{\scriptstyle Z_{n}=\left\{ a_{0}=a<a_{1}=a+\frac{b-a}{n}<a_{2}=a+2\frac{b-a}{n}<\ldots<a_{n}=b\right\} \subseteq\left[a,b\right]}\]
 nennt sich eine \emph{äquidistante\index{äquidistante Zerlegung}
Zerlegung} der Intervalls $\left[a,b\right]$. Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$
eine stetige Funktion. Die Funktionsfolge\[
f_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}\right)\chi_{\left[a_{k},a_{k+1}\right)}\left(x\right)\]
 von Stufenfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen $f$, d.h. $\lim_{n}\left\Vert f-f_{n}\right\Vert _{\infty}=0$.

Das Integral ist hiermit also:

\[
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{n}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)\]


\begin{itemize}
\item Dies ist \emph{keine} praktikabele Methode zum symbolischen errechnen
des Integrals, aber es ist eine Basis für numerische Verfahren.
\item für manche Funktionen können auch andere Zerlegungen von Vorteil sein
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften des Riemann-Integrals}

Sei $f,g\in R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $\lambda\in\mathbb{R}$.
Dann gilt:\[
\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx\]
\[
\int_{a}^{b}\lambda f\left(x\right)dx=\lambda\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\]
\begin{eqnarray*}
 & \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|\le\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx\\
 & \le\int_{a}^{b}\left\Vert f\right\Vert _{\infty}dx=\left\Vert f\right\Vert _{\infty}\left(b-a\right)\end{eqnarray*}



\subsubsection{Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung\index{Mittelwertsatz der Integralrechnung}}

Sei $p\in R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $f\in C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
und es gelte $p\left(x\right)\ge0$ für alle $x\in\left[a,b\right]$.
Dann gibt es $t\in\left[a,b\right]$ mit\[
\int_{a}^{b}f\left(x\right)p\left(x\right)dx=f\left(t\right)\int_{a}^{b}p\left(x\right)dx\]


\begin{itemize}
\item $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(t\right)\left(b-a\right)$ mit
$t\in\left(a,b\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Hierarchie von Funktionsräumen}

\hfill{}\begin{picture}(72,76)(0,-76)

%\put(0,-76){\framebox(72,76){}}

\node[NLangle=0.0,Nw=23.0](n0)(36,-8){$B([a,b],\mathbb{R})$}

\node[NLangle=0.0,Nw=23.0](n1)(36,-28){$R([a,b],\mathbb{R})$}

\node[NLangle=0.0,Nw=23.0](n2)(16,-48){$C([a,b],\mathbb{R})$}

\node[NLangle=0.0,Nw=23.0](n3)(56,-48){$\mathrm{Step}([a,b],\mathbb{R})$}

\node[NLangle=0.0,Nw=48.0](n4)(36,-68){\{konstante Funktionen\}$\cong \mathbb{R}^1$}

\drawedge(n1,n0){}

\drawedge(n2,n1){}

\drawedge(n3,n1){}

\drawedge(n4,n2){}

\drawedge(n4,n3){}

\end{picture}\hfill{}

\begin{itemize}
\item Die Pfeile $A\rightarrow B$ deuten an, dass $A\le B$ ($A$ ein Untervektrorraum
von $B$ ist)
\item $\left\{ \textrm{konstante Funktionen}\right\} =C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\cap\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
\item Bis auf den Raum der konstanten Funktionen sind dies alles unendlichdimensionale
Vektorräume
\item Zwischen $B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
liegen noch weitere integrierbare Funktionen, allerdings mit anderen
Integraldefinitionen.
\item Alle Vektorräume bis auf $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
sind vollständig bezüglich $\left\Vert \cdot\right\Vert _{\infty}$
\end{itemize}

\section{Differentiation\index{Differentiation}}


\subsection{Differentiation}


\subsubsection{Stetige Fortsetzung}

Sei $A\subseteq B\subseteq\mathbb{R}$. Für $f\in C\left(B,\mathbb{R}\right)$
betrachte die \emph{Einschränkung\index{Einschränkung}} $f|_{A}:A\rightarrow\mathbb{R}:a\mapsto f\left(a\right)$
mit $f|_{A}\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$. D.h. wir haben eine lineare
Abbildung $C\left(B,\mathbb{R}\right)\rightarrow C\left(A,\mathbb{R}\right):f\mapsto f|_{A}$.

Umgekehrte Fragestellung: gegeben $g\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$,
gibt es $f\in C\left(B,\mathbb{R}\right)$ mit $f|_{A}=g$? Dieses
$f$ wird als \emph{stetige Fortsetzung\index{Fortsetzung}\index{stetige Fortsetzung}}
von $g$ bezeichnet.

\begin{itemize}
\item $f:\mathbb{R}\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\frac{1}{x}$
ist im Punkt $0$ nicht stetig fortsetzbar.
\end{itemize}

\subsubsection{Häufungspunkt von Mengen}

Wenn es eine Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in L}$ in $A\backslash\left\{ b\right\} $
gibt mit $\lim_{n}a_{n}=b$ dann heißt $b$ Häufungspunkt der Menge
$A$.


\subsubsection{Stetige Fortsetzung in Punkt}

Ist $b\in\mathbb{R}$ und $A\subseteq\mathbb{R}$ und $B=A\cup\left\{ b\right\} $,
und gibt es eine Folge $\left(a_{n}\right)_{n\in L}$ in $A$ mit
$\lim_{n}a_{n}=b$, dann hat jedes $f\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$
\emph{höchstens eine} stetige Fortsetzung auf $B=A\cup\left\{ b\right\} $
mit $f\left(b\right)=\lim_{n\in L}f\left(a_{n}\right)$.

\begin{itemize}
\item Besagt nur, dass \emph{wenn} es möglich ist, auch eindeutig ist.
\item Falls $b$ Häufungspunkt der Menge $A$ ist, dann ist $C\left(A\cup\left\{ b\right\} ,\mathbb{R}\right)\rightarrow C\left(A,\mathbb{R}\right)$
injektiv.
\item Bei Funktionen auf endlichen Mengen ist $f$ immer stetig. Die Fortsetzung
in endlich vielen Punkten ist beliebig (also nicht eindeutig), und
ebenfalls stetig.
\end{itemize}

\subsubsection{differenzierbar}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}$ offen, $f\in C\left(U\rightarrow\mathbb{R}\right)$
und $x_{0}\in U$ Die Funktion $f$ heißt \emph{differenzierbar\index{differenzierbar}}
in $x_{0}$, falls es ein $\varepsilon>0$ gibt, so dass für die Funktion\[
\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{R}:h\mapsto\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\]
 eine stetige Fortsetzung \[
p:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow\mathbb{R}\]
 existiert. $p\left(0\right)$ nennt man die Ableitung von $f$ im
Punkt $x_{0}$. Man schreibt hierfür \[
p\left(0\right)=f'\left(x_{0}\right)=\dot{f}\left(x_{0}\right)=\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_{0}}=\frac{df}{dx}\left(x_{0}\right)\]


\begin{itemize}
\item Die Ableitung ist \emph{eindeutig}
\item Es gibt stetige Funktionen, die in keinem Punkt differenzierbar sind!
\end{itemize}

\subsubsection{differenzierbar Umformulierung}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ stetig,
und $x_{0}\in U$. Dann ist $f$ in $x_{0}$ differenzierbar genau
dann, wenn es eine Konstante $c\in\mathbb{R}$ gibt und eine stetige
Funktion $\varphi:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)$ mit $\varphi\left(0\right)=0$\[
f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+c\cdot h+\varphi\left(h\right)\cdot h\]
 für $\left|h\right|<\varepsilon$. Dann gilt $f'\left(x_{0}\right)=c$


\subsubsection{Ableitung / stetig differenzierbar}

Eine Funktion $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ heißt \emph{differenzierbar\index{differenzierbar}},
falls sie in jedem Punkt $x\in U$ \emph{differenzierbar} ist. Dann
heißt die Funktion\[
f':x\mapsto f'\left(x\right)\]
 (erste) \emph{Ableitung\index{Ableitung}} von $f$.

Falls $f'\left(x\right)$ auch stetig ist, heißt $f$ \emph{stetig
differenzierbar\index{differenzierbar!stetig}\index{stetig differenzierbar}}.


\subsubsection{Rechenregeln}

Seien $f,g\in C\left(U,\mathbb{R}\right)$ und in $x_{0}\in U$ differenzierbar.
Sei $c\in\mathbb{R}$. Dann sind die folgenden Funktionen ebenfalls
in $x_{0}$ differenzierbar:

\begin{enumerate}
\item $\left(f+g\right)'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)+g'\left(x_{0}\right)$
\item $\left(c\cdot f\right)'\left(x_{0}\right)=c\cdot f'\left(x_{0}\right)$
\item Produktregel\index{Produktregel} \\
$\left(f\cdot g\right)'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)\cdot g'\left(x_{0}\right)$
\item Leibnizregel\index{Leibnizregel}\\
$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(f\cdot g\right)=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}}f^{\left(k\right)}g^{\left(n-k\right)}$
\item $\left(\frac{f}{g}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{f'\left(x_{0}\right)g\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)g'\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)^{2}}$
\item $\left(\frac{1}{g}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{-g'\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)^{2}}$
\item Ableitung der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}\\
$\left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\forall n\in\mathbb{Z}:\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
\item $\cos\left(x\right)'=-\sin\left(x\right)$\\
$\sin\left(x\right)'=\cos\left(x\right)$\\
$\exp\left(x\right)'=\exp\left(x\right)$
\item $\sinh\left(x\right)'=\cosh\left(x\right)$\\
$\cosh\left(x\right)'=\sinh\left(x\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Struktur-der-Ableitung}Struktur der Ableitung}

Es sei $C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ die Menge aller (einmal)
stetig differenzierbaren Funktionen auf $U$. $C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$
ist ein reeller Vektorraum und ein Ring (bzgl. Produkt), also eine
reelle Algebra.

Die folgenden Abbildungen \[
\frac{d}{dx}:C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C\left(U,\mathbb{R}\right):f\mapsto f'\]
\[
\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=x_{0}}:C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow\mathbb{R}:f\mapsto f'\left(x_{0}\right)\]
 sind lineare Abbildungen.

\begin{itemize}
\item aber \emph{keine} Ring Homomorphismen
\item siehe auch \vref{sub:mehrfache-Ableitung}
\end{itemize}

\subsubsection{Kettenregel\index{Kettenregel}}

Sei $f:U\rightarrow\mathbb{R}$, $g:V\rightarrow\mathbb{R}$ und $U,V$
offen, $f,g$ stetig mit $f\left(U\right)\subseteq V$. Falls $f$
in $x_{0}$ differenzierbar und falls $g$ in $y_{0}=f\left(x_{0}\right)$
differenzierbar ist, so ist die Verknüpfung $g\circ f:U\rightarrow\mathbb{R}$
in $x_{0}$ differenzierbar, mit Ableitung\[
\left(g\circ f\right)'\left(x_{0}\right)=g'\left(f\left(x_{0}\right)\right)\cdot f'\left(x_{0}\right)\]


\begin{itemize}
\item $\left(g\circ f\right)\left(x_{0}\right)=g\left(f\left(x_{0}\right)\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitung der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}\index{Ableitung Umkehrfunktion}
\textsf{\small II.78}}

Die stetige Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei
streng monoton und in $x_{0}\in\left(a,b\right)$ differenzierbar
mit $f'(x_{0})\neq0$. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\left[a,b\right]$
in $f(x_{0})$ differenzierbar, und es gilt\[
\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(x_{0}\right)\right)=\frac{1}{f'\left(x_{0}\right)}\]
bzw. \[
\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}\]


Ist $f$ stetig differenzierbar, dann ist auch $f^{-1}$ stetig differenzierbar.

\begin{itemize}
\item Möglichst $f$ in der Ableitung $f'$ wieder vorkommen lassen, da
dies sich anschließend mit Hilfe der Umkehrfunktion\index{Umkehrfunktion}
gegenseitig aufhebt. Z.B. $\tan\left(x\right)'=1+\tan^{2}\left(x\right)$.
\end{itemize}

\subsubsection{Extrema\index{Extrema}}

$f\left(x_{0}\right)$ heißt \emph{Extremum}\index{Extremum} (\emph{Minimum}\index{Minimum}
/ \emph{Maximum}\index{Maximum}) von $f$, falls $f\left(x\right)\ge f\left(x_{0}\right)$
bzw. $f\left(x\right)\le f\left(x_{0}\right)$ für alle $x$ im Definitionsbereich
gilt.

Wenn $f$ (auf offener Menge definiert) in $x_{0}$ ein Extremum hat,
dann gilt $f'\left(x_{0}\right)=0$ (notwendige Bedingung).

\begin{itemize}
\item Randpunkte bei abgeschlossenen Mengen müssen seperat betrachtet werden.
\item Ist $f:\left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar,
$f'\left(x_{0}\right)=0$ und ist $f'\left(x\right)<0$ für $x<x_{0}$
und $f'\left(x\right)>0$ für $x>x_{0}$ so hat $f$ in $x_{0}$ ein
Minimum und $f\left(x\right)>f\left(x_{0}\right)$ für $x\neq x_{0}$.
(Es gibt genauso einen Satz für das Maximum)
\end{itemize}

\subsubsection{striktes lokales Minimum / Maximum}

Ist $f$ zweimal stetig differenzierbar, $f:\left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$,
und gilt $f'\left(x_{0}\right)=0$ und $f''\left(x_{0}\right)>0$
($<0$), so gibt es $r>0$, so dass $f\left(x_{0}\right)<f\left(x\right)$
($>f\left(x\right)$) für alle $x\neq x_{0}$ mit $\left|x-x_{0}\right|<r$
gilt. Man sagt, $f$ hat in $x_{0}$ ein \emph{striktes lokales\index{lokales Extrema}\index{striktes lokales Extrema}
Minimum\index{Minimum}} (\emph{Maximum}\index{Maximum}).


\subsubsection{Monotonie}

Ist $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar
und ist $f'\left(x_{0}\right)=c>0$ ($<0$), dann gibt es $r>0$,
so dass $f$ auf dem Teilintervall $\left(x_{0}-r,x_{0}+r\right)$
streng monoton steigend (fallend) ist.

\begin{itemize}
\item Insbesondere ist $f$ streng monoton steigend (fallend), falls $\forall x:f'\left(x\right)>0$
($<0$)
\item mit $\le,\ge$ gleiche Aussage mit monotonie (ohne streng)
\item falls $f'=0\Rightarrow f$ konstant
\end{itemize}

\subsubsection{Satz von Rolle\index{Rolle}}

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und $f|_{\left(a,b\right)}$
sei differenzierbar. Weiter gelte $f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

Dann gibt es ein $x_{0}$ mit $a<x_{0}<b$ und $f'\left(x_{0}\right)=0$


\subsubsection{Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechung\index{Mittelwertsatz der Differentialrechung}}

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, $f|_{\left(a,b\right)}$
sei differenzierbar.

Dann gibt es ein $x_{0}\in\left(a,b\right)$ mit \[
\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(x_{0}\right)\]


\begin{itemize}
\item falls $f'\left(x\right)\ge0$ für alle $x$, so ist $f$ monoton steigend
\item falls $f'\left(x\right)\le0$ für alle $x$, so ist $f$ monoton fallend
\item falls $f'\left(x\right)=0$ für alle $x$, so ist $f$ konstant.
\end{itemize}

\subsubsection{gerade\index{gerade} und ungerade\index{ungerade} Funktionen}

\begin{itemize}
\item Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion
\item Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:mehrfache-Ableitung}mehrfache\index{mehrfache Ableitung}
Ableitung / glatte Funktionen}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}$ offen. Ist $f\in C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$
(d.h. $f$ ist stetig differenzierbar), so kann man $f'\in C\left(U,\mathbb{R}\right)$
auf differenzierbarkeit untersuchen. Falls $f'$ stetig differenzierbar
ist, schreibt man $\left(f'\right)'=f''$ für die \emph{zweite Ableitung}\index{zweite Ableitung}.

Induktiv definiert man so \emph{$k$-mal stetig differenzierbare Funktionen}.
$C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)$ ist der Vektrorraum der $k$-mal
stetig differenzierbaren Funktionen. Man setzt\[
C^{\infty}\infty\left(U,\mathbb{R}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)\]


solche Funktionen heißen \emph{glatte Funktionen\index{glatte Funktionen}}.

Setze $C\left(U,\mathbb{R}\right)=C^{0}\left(U,\mathbb{R}\right)$.
Hiermit gilt:\[
C^{0}\left(U,\mathbb{R}\right)\supsetneq C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\supsetneq\ldots\supsetneq C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)\]


Der \emph{Ableitungsoperator\index{Ableitungsoperator}} \[
\frac{d}{dx}:f\mapsto f'\]
\[
\frac{d}{dx}:C^{k+1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)\]
\[
\frac{d}{dx}:C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)\]
ist eine lineare Abbildung zwischen diesen Vektorräumen

\begin{itemize}
\item Polynome $\sin,\cos,\exp$ sind glatte Funktionen
\item siehe auch \vref{sub:Struktur-der-Ableitung}
\end{itemize}

\section{Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung}


\subsection{Weitere Eigenschaften des Integrals}


\subsubsection{Integral über Einschränkung\index{Einschränkung}}

Ist $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ Regelfunktion und $a\le u<v\le b$.
Dann ist die Einschränkung $f|_{\left[u,v\right]}$ eine Regelfunktion
auf $\left[u,v\right]$. Wir setzen\[
\int_{u}^{v}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f|_{\left[u,v\right]}\left(x\right)dx\]



\subsubsection{Vertauschung von Grenzen}

Wir legen fest:\[
\int_{u}^{u}f\left(x\right)dx=0\]
\[
\int_{v}^{u}f\left(x\right)dx=-\int_{u}^{v}f\left(x\right)dx\;\textrm{für}\; u<v\]



\subsubsection{Zerteilung von Integralen\index{Zerteilung von Integralen}}

Für alle $a,b,c\in\left[a,c\right]$ und $f\in R\left(\left[a,c\right],\mathbb{R}\right)$
gilt stets\[
\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx\]



\subsubsection{Integral über Funktionsfolge\index{Funktionsfolge}}

Sei $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine Folge von Regelfunktionen,
die gleichmäßig gegen eine Regelfunktion $f$ konvergiert. Dann gilt\[
\lim_{n}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\]


\begin{itemize}
\item eine solche Regel gilt bei der Differentiation im Allgemeinen nicht.
\end{itemize}

\subsubsection{Differential von Funktionenfolgen}

Sei $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ Folge in $C^{1}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$.
Falls die Folge $\left(f_{n}'\right)_{n\in L}$ gleichmäßig konvergiert
und falls die Folge $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ punktweise konvergiert,
dann ist der Grenzwert der Folge stetig differenzierbar und seine
Ableitung ist der Grenzwert der Folge $\left(f_{n}'\right)_{n\in L}$
.


\subsubsection{gerade\index{gerade} und ungerade\index{ungerade} Funktionen}

\begin{itemize}
\item Die Stammfunktion einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion
\item Die Stammfunktion einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion
\item wenn $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ ungerade ist, gilt $\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0$
\end{itemize}

\subsection{Zusammenhang von Differential- und Integeralrechung}


\subsubsection{1. Hauptsatz\index{1. Hauptsatz der Diff- und Int- rechung} der
Differential- und Integralrechung}

Es sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, sei $x_{0}\in\left[a,b\right]$.
Setze \[
F\left(x\right)=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)dt\]
für $x\in\left[a,b\right]$.

$F$ ist stetig und auf $\left(a,b\right)$ stetig differenzierbar,
mit $F'=f$.


\subsubsection{Stammfunktion}

$F$ heißt \emph{Stammfunktion\index{Stammfunktion}} zu $f$, falls
$F'=f$.

\begin{itemize}
\item Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig. Wenn $F$ Stammfunktion
von $f$ ist, ist auch $F+c$ Stammfunktion für $f$ mit $c\in\mathbb{R}$
konstant.
\end{itemize}

\subsubsection{2. Hauptsatz\index{2. Hauptsatz der Diff- und Int- rechung} der
Differential- und Integralrechung}

Ist $F:\left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar
und $a<u<v<b$, gilt\[
\int_{u}^{v}F'\left(x\right)dx=F\left(x\right)|_{u}^{v}=F\left(v\right)-F\left(u\right)\]



\subsubsection{Integral einer Potenzreihe\index{Potenzreihe}}

Ist $f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ und hat diese
Potenzreihe einen Konvergenzradius $R$. Für $\left[a,b\right]\subseteq\left(-R,R\right)$
gilt\[
\int_{a}^{b}\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\right)dx=\left.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}x^{k+1}\right|_{a}^{b}\]


\begin{itemize}
\item Eine Stammfunktion für $f$ ist also z.B. \\
$F\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}x^{k+1}+c$
\item Potenzreihen darf man {}``naiv'' integrieren
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitung einer Potenzreihe}

Ist $f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ Potenzreihe mit
Konvergenzradius $R>0$, so ist $f$ glatt, und\[
f'\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+1\right)a_{k+1}x^{k}\]
 mit dem gleichen Konvergenzradius $R$.

\begin{itemize}
\item Potenzreihen darf man {}``naiv'' ableiten
\end{itemize}

\subsubsection{Partielle Integration\index{Partielle Integration}}

\[
{\scriptstyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)g'\left(x\right)dx=\left.f\left(x\right)g\left(x\right)\right|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'\left(x\right)g\left(x\right)dx}\]


\begin{itemize}
\item Das ist das Integral über der Produktregel
\item $g$ und $f$ auf jeden Fall incl. Ableitungen herausschreiben

\begin{itemize}
\item auf jeden Fall Probe (Ableiten) machen, man vertut sich sehr schnell
\item $p\left(x\right)e^{x}$ bzw. $p\left(x\right)\sin\left(x\right)$,
... sind auf diese Weise behandelbar
\end{itemize}
\item Auf jeden Fall Probe!!!
\end{itemize}

\subsubsection{Integration durch Substitution\index{Substitution}}

\[
\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\  dt=\left(\int f\left(x\right)dx\right)_{x=\phi\left(t\right)}\]
\[
\int f\left(x\right)\  dx=\left(\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\  dt\right)_{t=\phi^{-1}\left(x\right)}\]


\begin{enumerate}
\item Gebrauchsanweisung

\begin{enumerate}
\item Eine passende Ersetzung suchen

\begin{enumerate}
\item $t=g\left(x\right)$
\item diese Ableiten $\frac{dt}{dx}=g'\left(x\right)=\ldots$
\item umstellen $dx=\frac{dt}{g'\left(x\right)}=\ldots$
\end{enumerate}
\item Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i (bzw. $x=g^{-1}\left(t\right)=\ldots$)
und (a).iii
\item Versuchen Stammfunktion zu bilden

\begin{enumerate}
\item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
\item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
\end{enumerate}
\item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
\end{enumerate}
\item Gebrauchsanweisung

\begin{enumerate}
\item Eine passende Ersetzung suchen

\begin{enumerate}
\item $x=\phi\left(t\right)$
\item diese Ableiten $\frac{dx}{dt}=\phi'\left(t\right)=\ldots$
\item umstellen $dx=\phi'\left(t\right)dt=\ldots$
\end{enumerate}
\item Umkehrfunktion bilden $t=\phi^{-1}\left(x\right)$
\item Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i und (a).iii
\item Versuchen Stammfunktion zu bilden

\begin{enumerate}
\item wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
\item evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
\end{enumerate}
\item Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion.
\item In der Tabelle \vref{cap:Substitution-unbestimmten-Int} hat man eine
Übersicht von geeigneten Substitutionen.
\item So Klammern und Substituieren, das es auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen
von Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Areafunktioen) zurückführen
lässt.
\item Auf jeden Fall Probe!!!
\end{itemize}
%
\begin{table*}[th]

\caption{\label{cap:Substitution-unbestimmten-Int}Substitution zur unbestimmten
Integration ($R$ ist eine rationale Funktion in $x,y$)}

\hfill{}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
Funktion&
Methode&
$t$&
$x$\tabularnewline
\hline
\hline 
$R\left(x\right)$&
\multicolumn{3}{c|}{Polynomdivision + Partialbruchzerlegung}\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt[k]{ax+b}\right)$&
Substitution&
$t=\sqrt[k]{ax+b}$&
$x=\frac{t^{k}}{a}-\frac{b}{a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)$&
Substitution&
$t=\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$&
$x=\frac{b-dt^{k}}{ct^{k}-a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(\sin\left(ax\right),\cos\left(ax\right)\right)$&
Substitution&
$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$&
$x=2\textrm{arctan}\left(t\right)$\tabularnewline
\hline 
$R\left(e^{ax},e^{-ax}\right)$&
Substitution&
$t=e^{ax}$&
$x=\frac{\ln\left(t\right)}{a}$\tabularnewline
\hline 
$R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)$&
Substitution&
\multicolumn{2}{c|}{$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$ bzw. $t=\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}-4ac}}$}\tabularnewline
\hline
\end{tabular}\hfill{}
\end{table*}



\subsubsection{Beispiele einiger Integrale}

\begin{itemize}
\item für $n\neq-1$\\
$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
\item $\int\frac{1}{x}dx=\ln\left(x\right)$
\item $\int\frac{h'\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx=\ln\left(h\left(x\right)\right)$
\item $\int\cos\left(x\right)dx=\sin\left(x\right)$
\item $\int\sin\left(x\right)dx=-\cos\left(x\right)$
\item $\int\exp\left(x\right)dx=\exp\left(x\right)$
\item $\int\cos^{2}\left(x\right)dx=\frac{x+\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{2}$\\
$\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\frac{x-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{2}$
\end{itemize}

\section{Metrische und nomierte Räume}


\subsection{Metrische Räume}


\subsubsection{Metrik / Metrischer Raum}

Sei $X$ eine Menge, $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ eine Abbildung.
Wir nennen $d$ eine \emph{Metrik\index{Metrik}} (mathematischer
Term für {}``Abstandsbegriff'') und $\left(X,d\right)$ einen \emph{metrischen
Raum\index{metrischer Raum}\index{Raum}}, falls für alle $u,v,w\in X$
gilt:

\begin{enumerate}
\item $\left(M1\right)$ $d\left(u,v\right)=d\left(v,u\right)\ge0$\\
die Metrik ist positiv und symmetrisch
\item $\left(M2\right)$ $d\left(u,v\right)=0\Leftrightarrow u=v$
\item $\left(M3\right)$ $d\left(u,w\right)\le d\left(u,v\right)+d\left(v,w\right)$\\
Dreiecksungleichung
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $X=\mathbb{R}$ $d\left(u,v\right)=\left|u-v\right|$ ist ein metrischer
Raum
\item $X$ belibige Menge mit $X\neq\emptyset$ und $d\left(u,v\right)=\begin{cases}
0 & \textrm{falls }u=v\\
1 & \textrm{falls }u\neq v\end{cases}$ ist ein metrischer Raum, mit der \emph{diskreten Metrik\index{diskrete Metrik}}.
\item $X=\mathbb{R}^{2}=\left\{ \left(u_{1},u_{2}\right)|u_{1},u_{2}\in\mathbb{R}\right\} $,
$d\left(\left(u_{1},u_{2}\right),\left(v_{1},v_{2}\right)\right)=\left|u_{1}-v_{1}\right|+\left|u_{2}-v_{2}\right|$
ist ein metrischer Raum mit der \emph{Manhattan-Taxi-Metrik\index{Manhattan-Taxi-Metrik}}.
\item \emph{Unterraum}\index{Unterraum}\\
Ist $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, und ist $A\subseteq X,$
dann ist der Unterraum $\left(A,d\right)$ ebenfalls ein metrischer
Raum.
\end{itemize}

\subsubsection{offene Kugel }

Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $r>0$ und $x\in X$. Die
Menge \[
B_{r}\left(X\right)=\left\{ u\in X|d\left(u,x\right)<r\right\} \]
 heißt \emph{offene $r$-Kugel um $x$}\index{offene r-Kugel um x}.


\subsubsection{Folgen und Konvergenz}

Sei $J\subseteq\mathbb{N}$ unendliche Menge, $\left(X,d\right)$
ein metrischer Raum. Eine \emph{Folge\index{Folge}}, $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$
ist eine Abbildung $J\rightarrow X,$ $j\mapsto x_{j}$. Schreibe
kurz $\left(x_{j}\right)_{j\in J}\subseteq X$ dafür.

Die Folge $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$ \emph{konvergiert\index{konvergiert}}
gegen $x\in X$, falls gilt: zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es $N\in\mathbb{N}$
so, dass für alle $k\ge N$ gilt $d\left(x_{k},x\right)\le\varepsilon$.\[
\forall\varepsilon>0:\exists N\in\mathbb{N}:\forall k\ge N:d\left(x_{k},x\right)\le\varepsilon\]


\begin{itemize}
\item Für $X=\mathbb{R}$, $d\left(u,v\right)=\left|u-v\right|$ ist dies
genau die Definition aus \vref{sub:Konvergenz in R^1}.
\item Lässt sich auch so schreiben:\\
Die Folge konvergiert genau dann gegen $x$, falls es zu jedem $r>0$
ein $N\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $x_{k}\in B_{r}\left(x\right)$
für alle $k\ge N$.\[
\forall r>0:\exists N\in\mathbb{N}:\forall k\ge N:x_{k}\in B_{r}\left(x\right)\]

\item Eine Folge hat genau eine Zahl:\\
Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$
Folge. Falls die Folge gegen $x\in X$ und gegen $y\in X$ konvergiert,
so gilt $x=y$.
\item Konvergente Folgen auf Räumen mit einer diskreten Metrik sind für
fast alle Folgenglieder konstant.
\end{itemize}

\subsubsection{Cauchy-Folge}

$\left(CF\right)$ Es sei $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$ eine Folge
in einem metrischen Raum $\left(X,d\right)$. Wir sagen, $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$
ist eine \emph{Cauchy-Folge\index{Cauchy-Folge}} falls gilt: zu jedem
$\varepsilon>0$ gibt es $N\in\mathbb{N}$, so dass $d\left(x_{l},x_{m}\right)\le\varepsilon$
für alle $l,m\ge N$.\[
\forall\varepsilon>0:\exists N\in\mathbb{N}:\forall l,m\ge N:d\left(x_{l},x_{m}\right)\le\varepsilon\]


\begin{itemize}
\item Jede konvergente Folge in $\left(X,d\right)$ ist eine Cauchy-Folge.
Umgekehrt nicht umbedingt.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Vollst=E4ndigkeitR^n}Vollständigkeit}

Ein metrischer Raum $\left(X,d\right)$ heißt \emph{vollständig\index{vollständig}}
falls jede Cauchy-Folge $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$ einen Grenzwert
$x\in X$ hat.

\begin{itemize}
\item Vollständigkeit vererbt sich nicht unbedingt auf Teilmengen.
\end{itemize}

\subsubsection{abgeschlossen}

Eine Teilmenge $A\subseteq X$ eines metrischen Raumes $\left(X,d\right)$
heißt \emph{abgeschlossen\index{abgeschlossen}}, wenn für jede Folge
von Elementen $\left(a_{j}\right)_{j\in J}\subseteq A$ mit Grenzwert
$x\in X$ gilt $x\in A$.

\begin{itemize}
\item $\emptyset$ und $X$ sind immer abgeschlossen in $\left(X,d\right)$ 
\item Abgeschlossenheit ist immer relativ zu einem metrischen Raum zu sehen
\item Vereinigungen \emph{endlich} vieler abgeschlossener Teilmengen in
$X$ sind abgeschlossen
\item Durchschnitte beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen in $X$ sind
abgeschlossen
\item Eine vollständige Teilmenge ist immer auch abgeschlossen.
\item Sei $\left(X,d\right)$ ein \emph{vollständiger} metrischer Raum.
Dann gilt: $A\subseteq X$ ist abgeschlossen genau dann, wenn $\left(A,d\right)$
vollständig ist.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:topologische-=C4quivalenz}topologische Äquivalenz}

Seien $\left(X,d\right)$ und $\left(X,h\right)$ metrische Räume.
Wenn für alle Folgen $\left(a_{j}\right)_{j\in J}$ in $X$ folgendes
gilt, werden $h$ und $d$ \emph{topologisch äquivalent\index{topologisch äquivalent}}
genannt: $\left(a_{j}\right)_{j\in J}$ konvergiert genau dann bezüglich
$\left(X,d\right)$, wenn $\left(a_{j}\right)_{j\in J}$ bezüglich
$\left(X,h\right)$ konvergiert.

\begin{itemize}
\item dies ist eine Äquivalenzrelation
\item Siehe auch \vref{sub:=C4quivalenz-von-Normen}.
\end{itemize}

\subsubsection{Segmente}

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum. Das \emph{Segment\index{Segment}}
in $X$ zwischen $x,z\in X$ ist die Menge aller Punkte für die die
Dreiecksungleichung scharf ist, also\[
\left[x,z\right]=\left\{ y\in X|d\left(x,z=d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\right)\right\} \]


\begin{itemize}
\item Mit Betrag (Standardmetrik) als $d$ und $\mathbb{R}$ als $X$ ist
dies genau das abgeschlossene Intervall zwischen $x$ und $z$
\end{itemize}

\subsubsection{Abschneiden einer Metrik\index{Abschneiden}}

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum. Die Abbildung $d':X\times X\rightarrow\mathbb{R}:\left(x,y\right)\mapsto\min\left\{ 1,d\left(x,y\right)\right\} $
ist wieder eine Metrik. $d$ und $d'$ sind topologisch äquivalent.


\subsection{Normierte Räume}


\subsubsection{Norm und Metrik}

Sei $V$ ein reeller Vektorraum (über dem Körper $\mathbb{R}$) (belibiger
Dimension - auch unendlich). Eine \emph{Norm\index{Norm}} auf $V$
ist eine Abbildung $\left\Vert .\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R},v\mapsto\left\Vert v\right\Vert $
mit folgenden Eigenschaften für alle $u,v\in V$ und alle $r\in\mathbb{R}$:

\begin{enumerate}
\item $\left(N1\right)$ $\left\Vert v\right\Vert \ge0$, $\left\Vert v\right\Vert =0\Leftrightarrow v=0$
\item $\left(N2\right)$ $\left\Vert r\cdot v\right\Vert =\left|r\right|\cdot\left\Vert v\right\Vert $
\item $\left(N3\right)$ $\left\Vert u+v\right\Vert \le\left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert $
\end{enumerate}
Sei $\left(V,\left\Vert .\right\Vert \right)$ ein normierter Vektorraum.
Setze $d\left(u,v\right)=\left\Vert u-v\right\Vert $. Dann ist $d$
eine Metrik\index{Metrik} auf $V$.


\subsubsection{Besondere Normen}

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ und $v=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\in V$.

\begin{description}
\item [p-Norm\index{p-Norm}]$\left\Vert v\right\Vert _{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\left|v_{i}\right|^{p}}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item für $p=\infty$ setze $\left\Vert v\right\Vert _{\infty}=\textrm{max}_{1\le i\le\infty}\left\{ \left|x_{i}\right|\right\} $

\begin{description}
\item [1-Norm\index{1-Norm}]$\left\Vert v\right\Vert _{1}=\left|v_{1}\right|+\left|v_{2}\right|+\ldots+\left|v_{n}\right|$
\item [2-Norm\index{2-Norm}]$\left\Vert v\right\Vert _{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\ldots+v_{n}^{2}}$
\item [Supremumsnorm\index{Supremumsnorm}~/~$\infty$-Norm\index{$\infty$-Norm}]$\left\Vert v\right\Vert _{\infty}=\max\left\{ \left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|,\ldots,\left|v_{n}\right|\right\} =\sup\left\{ \left|v_{1}\right|,\left|v_{2}\right|,\ldots,\left|v_{n}\right|\right\} $
\end{description}
\end{itemize}
Im $\mathbb{R}^{n}$ gilt\[
\left\Vert u\right\Vert _{1}\ge\left\Vert u\right\Vert _{2}\ge\left\Vert u\right\Vert _{\infty}\ge\frac{1}{n}\left\Vert u\right\Vert _{1}\]


\begin{itemize}
\item Diese drei Normen liefern also den gleichen Konvergenzbegriff auf
dem $\mathbb{R}^{n}$. D.h. wenn eine Cauchy-Folge bezüglich einem
der Begriffe konvergiert, dann auch bezüglich der anderen.
\end{itemize}

\subsubsection{Banach-Raum}

Ein \emph{Banach-Raum\index{Banach-Raum}} ist ein vollständiger normierter
Raum.

\begin{itemize}
\item $\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{1}\right)$, $\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{2}\right)$,
$\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{\infty}\right)$ sind
Banachräume
\item $\mathbb{R}^{n}$ ist bezüglich \emph{jeder} Norm ein Banachraum
\item Bezüglich $\left\Vert .\right\Vert _{\infty}$ bilden $B\left(A,\mathbb{R}\right),C\left(A,\mathbb{R}\right),R\left(A,\mathbb{R}\right)$
Banachräume
\end{itemize}

\subsubsection{(symmetrische) Bilinearform, inneres Produkt}

Sei $V$ ein reeller Vektorraum, $h:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$
eine Abbildung. Falls gilt:

\begin{enumerate}
\item $h\left(u+v,w\right)=h\left(u,w\right)+h\left(v,w\right)$
\item $h\left(u,v+w\right)=h\left(u,v\right)+h\left(u,w\right)$
\item $h\left(r\cdot u,w\right)=r\cdot h\left(u,w\right)=h\left(u,r\cdot w\right)$
\end{enumerate}
so heißt $h$ \emph{Bilinearform\index{Bilinearform}}.

Falls zusätzlich gilt: $h\left(u,v\right)=h\left(v,u\right)$ für
alle $u,v$, so heißt $h$ \emph{symmetrische Bilinearform\index{symmetrische Bilinearform}}.

Wenn $h$ symmetrisch ist, und wenn $h\left(u,u\right)>0$ ist für
alle $u\neq0$, so heißt $h$ \emph{inneres Produkt\index{inneres Produkt}}.

\begin{itemize}
\item Ein Inneres Produkt ist \emph{positiv definit}\index{definit}\index{positiv definit}.
\item Eine symmetrisch positiv definite Bilinearform ist ein Inneres Produkt.
\item Sei $V=\mathbb{R}^{n}$, $A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}$ eine
quadratische Matrix $\left(n\times n\right)$, setze \[
h\left(u,v\right)=\sum_{i,j=1}^{n}u_{i}a_{ij}v_{j}=u^{T}Av\]
Das ist eine Bilinearform. Sie ist symmetrisch genau dann, wenn $A$
symmetrisch ist, d.h. $A=A^{T}$($a_{ij}=a_{ji}$ für alle $i,j$).
\item Sei $f\left(x\right)=\left\langle x,x\right\rangle =x^{T}Ax$ mit
$A$ symmetrisch eine Abbildung. Dann gilt\\
$df\left(x\right)\left(h\right)=2x^{T}Ah=2h^{T}Ax$
\item \emph{Standard Skalarprodukt}\index{Standard Skalarprodukt}\index{Skalarprodukt}:\\
Mit $A=1$ (Einheitsmatrix, $a_{ij}=\delta_{ij}$) ist $h\left(u,v\right)=\sum_{j=1}^{n}u_{i}v_{i}=u^{T}v$
ein inneres Produkt.
\end{itemize}

\subsubsection{Norm zu innerem Produkt}

Sei $V$ ein reeller Vektroraum, $h$ ein inneres Produkt. Setze $\left\Vert v\right\Vert =\sqrt{h\left(v,v\right)}$,
das ist eine Norm auf $V$.


\subsubsection{Inneres Produkt zu Norm}

Sei $\left\Vert .\right\Vert $ eine Norm auf $V$. Falls es hierzu
ein inneres Produkt gibt, lässt es sich wie folgt beschreiben:\begin{eqnarray*}
h\left(u,v\right) & = & \frac{1}{2}\left(\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}-\left\Vert u\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}\right)\\
 & = & \frac{1}{4}\left(\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}-\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Falls der Ausdruck auf der rechten Seite kein inneres Produkt ist,
gibt es zu dieser Norm keins.
\item Als Kiterium auf Gültigkeit der Parallelogrammungleichung achten.
\item zu der $\left\Vert .\right\Vert _{1}$ Norm gibt es kein inneres Produkt
\end{itemize}

\subsubsection{Cauchy-Schwarz-Ungleichung\index{Cauchy-Schwarz-Ungleichung}}

Ist $h$ ein inneres Produkt auf $V$, so gilt \[
\left|h\left(u,v\right)\right|\le\sqrt{h\left(u,u\right)}\sqrt{h\left(v,v\right)}\]


Die klassische Form lautet\[
\left|\sum_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}\right|\le\sqrt{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}\cdot\sqrt{\sum_{k=1}^{n}v_{k}^{2}}\]



\subsubsection{reeller Hilbert-Raum}

Ist h ein inneres Produkt auf $V$, und ist V in der zugehörigen Metrik
vollständig, dann heißt $\left(V,h\right)$ \emph{reeller Hilber-Raum\index{reeller Hilbert-Raum}\index{Hilbert-Raum}}.

\begin{itemize}
\item jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum.
\item z.B. $\left(\mathbb{R}^{n},\left(x,y\right)\mapsto x^{T}y\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Beispiel für einen unendlich dimensionalen Hilbert Raum}

Sei $l^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ der Raum aller Folgen $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$
in $\mathbb{R}$ mit folgender Eigenschaft:\[
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}^{2}\textrm{ konvergiert}\]


Dies sind die quadratisch summierbaren Folgen. Das innere Produkt
ist wie folgt definiert\[
h\left(a,b\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}b_{k}\]


Dies ist ein unendlich dimensionaler Hilbert-Raum.


\subsubsection{Parallelogrammgleichung}

Sei $V$ ein Normierter Vektorraum. $\left\Vert .\right\Vert $ wird
genau dann von einem Inneren Produkt induziert, wenn die \emph{Parallelogrammgleichung\index{Parallelogrammgleichung}}
gilt\[
\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}+\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}=2\left\Vert u\right\Vert ^{2}+2\left\Vert v\right\Vert ^{2}\]



\subsubsection{Weitere Ungleichungen\index{Ungleichungen}}

\begin{itemize}
\item Umgekehrte Dreiecksungleichung\\
$\left|\left\Vert u\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}\right|\le\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}$
\item $\left\Vert u+v\right\Vert +\left\Vert u-v\right\Vert \ge\left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert $
\end{itemize}

\section{Stetige Funktionen\index{stetige Funktionen}}


\subsection{Stetige Funktionen}


\subsubsection{Stetigkeit}

Seien $\left(X,d_{x}\right)$ und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische
Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Wir sagen \emph{$f$ ist
stetig in $x\in X$}, falls folgendes gilt:

Für jede Folge $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$ in $X$ mit Grenzwert
$\lim_{j\in J}x_{j}=x$ soll gelten $\lim_{j\in J}f\left(x_{j}\right)=f\left(x\right)$:\[
\lim_{j\in J}f\left(x_{j}\right)=f\left(\lim_{j\in J}x_{j}\right)\]


Falls $f$ in jedem Punkt $x\in X$ stetig ist, so heißt \emph{$f$
stetig}\index{stetig}. Es sei $C\left(X,Y\right)=\left\{ f:X\rightarrow Y|f\textrm{ ist stetig}\right\} $

\begin{itemize}
\item Für $Y=\mathbb{R}$ und $X\subseteq\mathbb{R}$ ist das genau der
Stetigkeitsbegriff wie in \vref{sub:Stetigkeit R^1}.
\item $X=V$ Vektorraum mit Norm $\left\Vert .\right\Vert $, $f\left(v\right)=\left\Vert v\right\Vert $,
$f:V\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig. Normen sind also stetige Funktionen.
\item $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $u\in X$, $f\left(x\right)=d\left(x,u\right)$
ist stetig.
\item $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $\mathbb{Z}=X\times X$ mit Metrik
$d_{z}\left(\left(u_{1},u_{2}\right),\left(v_{1},v_{2}\right)\right)=d\left(u_{1},v_{1}\right)+d\left(u_{2},v_{2}\right)$.
Damit ist $X\times X=\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}:\left(x_{1},x_{2}\right)\mapsto d_{z}\left(x_{1},x_{2}\right)$
stetig.
\end{itemize}

\subsubsection{L-Lipschitz-stetig}

Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ zwischen Metrischen Räumen heißt
\emph{L-Lipschitz-stetig\index{Lipschitz-stetig}\index{L-Lipschitz-stetig}}
für $L\in\mathbb{R}$, falls $d_{y}\left(f\left(u\right),f\left(v\right)\right)\le L\cdot d_{x}\left(u,v\right)$
für alle $u,v\in X$.

\begin{itemize}
\item Falls $f$ stetig differenzierbar ist, gilt\[
{\scriptstyle L\le\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert =\sup\left\{ \left\Vert Df\left(x\right)\left(h\right)\right\Vert |x,h\in X,\left\Vert h\right\Vert \le1\right\} }\]

\item Jede Lipschitzstetige Funktion ist insbesondere eine $C^{1}$-Funktion
\item Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.
\item entspricht Erweiterung der gleichmäßigen Stetigkeit aus \vref{sub:gleichm=E4=DFig-stetig}.
\item Skalarprodukt mit einem festen Vektor $t$ ist lipschitzstetig mit
Lipschitzkonstante $L=\left\Vert t\right\Vert _{\infty}$
\item Integraloperator ist lipschitzstetig
\item Endlichdimensionale lineare Abbildungen sind Lipschitzstetig mit der
Operatornorm
\end{itemize}

\subsubsection{Eigenschaften von stetigen Funktionen}

Sind $\left(X,d_{x}\right)$, $\left(Y,d_{y}\right)$, $\left(Z,d_{z}\right)$
metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ und $g:Y\rightarrow Z$, $f,g$
stetig. Dann ist auch $g\circ f:X\rightarrow Z,x\mapsto g\left(f\left(x\right)\right)$
stetig.

Ist $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, so ist $C\left(X,\mathbb{R}\right)$
ein Vektorraum und ein Ring. Für $f,g\in C\left(X,\mathbb{R}\right)$,
$r\in\mathbb{R}$ sind folgende Funktionen wieder stetig:

\begin{enumerate}
\item $f+g:x\mapsto f\left(x\right)+g\left(x\right)$
\item $f\cdot g:x:\mapsto f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$
\item $r\cdot f:x\mapsto r\cdot f\left(x\right)$
\item $f\circ g:x\mapsto f\left(g\left(x\right)\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{$\varepsilon-\delta$-Kriterum für Stetigkeit}

Eine Abbilung $f:X\rightarrow Y$ zwischen den metrischen Räumen $\left(X,d_{x}\right)$
und $\left(Y,d_{y}\right)$ ist stetig in $x\in X$ genau dann, wenn
gilt: Zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein ein $\delta>0$, so dass
aus $d_{x}\left(x,u\right)<\delta$ folgt $d_{y}\left(f\left(x\right),f\left(u\right)\right)<\varepsilon$.\[
{\scriptstyle \forall x:\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall u:\: d_{x}\left(x,u\right)<\delta\Rightarrow d_{y}\left(f\left(x\right),f\left(u\right)\right)<\varepsilon}\]


Dies ist äquivalten zu: $f$ ist genau dann stetig in $x\in X$, wenn
es für jede offene $\varepsilon$-Kugel $B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)$
um $f\left(x\right)$ eine offene $\delta$-Kugel $B_{\delta}\left(x\right)$
um $x$ mit $f\left(B_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)$
gibt.\[
\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:f\left(B_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)\]



\subsubsection{Besondere Stetige Funktionen}

\begin{description}
\item [Normen\index{Norm}]sind stetige Funktionen
\item [Determinanten\index{Determinante}]sind stetige Funktionen
\end{description}

\subsection{Lineare Abbildungen}


\subsubsection{Lineare Abbildung und Stetigkeit}

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$ und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$
normierte Räume, sei $f:V\rightarrow W$ linear. Die folgenden Aussagen
sind äquivalent.

\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig
\item Es existiert ein $v\in V$ so dass $f$ in $v$ stetig ist 
\item $f$ ist $L$-Lipschitzstetig für eine Zahl $L$
\item Es gibt eine Zahl $L\in\mathbb{R}$ so, dass $\left\Vert f\left(v\right)\right\Vert _{W}\le L$
für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert _{V}\le1$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Operatornorm, Vektorraum der linearen stetigen Abbildungen}

Es sei $f:U\rightarrow V$ eine lineare stetige Abbildung zwischen
normierten Räumen. Wir definieren die \emph{Operatornorm\index{Operatornorm}}
von $f$ durch\[
\left\Vert f\right\Vert =\sup\left\{ \left\Vert f\left(u\right)\right\Vert _{V}|\left\Vert u\right\Vert _{U}\le1\right\} \]


Die Menge \[
\mathcal{L}\left(U,V\right)=\left\{ f:U\rightarrow V|f\textrm{ ist linear und stetig}\right\} \]
 ist ein Vektorraum, und die Operratornorm$\left\Vert .\right\Vert $
ist eine Norm darauf.

\begin{itemize}
\item $\left\Vert f\left(u\right)\right\Vert _{V}\le\left\Vert f\right\Vert \left\Vert u\right\Vert _{U}$
gilt für alle $u\in U$.
\item Die kleinste Lipschitzkonstante ist die Operatornorm
\item Wenn $f$ symmetrisch und $V=W$ dann gilt \[
\left\Vert f\right\Vert =\max\left\{ \left|\lambda\right||\lambda\textrm{ ist Eigenwert von }f\right\} \]

\end{itemize}

\subsubsection{Vollständigkeit}

Sein $\left(U,\left\Vert .\right\Vert _{U}\right)$ und $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$
normierte Räume, und ist $V$ vollständig (d.h. Banachraum), so ist
$\mathcal{L}\left(U,V\right)$ auch vollständig.

\begin{itemize}
\item Für alle $U$ ist $U*=\mathcal{L}\left(U,\mathbb{R}\right)$ ein Banachraum.
Diesen Raum nennt man auch \emph{Dualraum\index{Dualraum}} von $U$.
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:linear_R^n_stetig}endlichdimensionale Vektorräume}

Sei $\left(V,\left\Vert .\right\Vert \right)$ ein normierter Vektorraum,
$f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow V$ sei linear. Dann ist $f$ stetig
bezgl. der $\left\Vert .\right\Vert _{1}$-Norm auf $\mathbb{R}^{n}$.

\begin{itemize}
\item siehe auch \vref{sub:Lipschitzstetigkeit-einer-endlichdimensionalen}
\end{itemize}

\subsection{endlichdimensionale Räume}


\subsubsection{Verhältnis zwischen Normen}

Sei $\left\Vert .\right\Vert $ eine Norm auf $\mathbb{R}^{n}$. Dann
gibt es eine Zahl $r>0$ so, dass für alle $v\in\mathbb{R}^{n}$ mit
$\left\Vert v\right\Vert _{1}=1$ gilt $\left\Vert v\right\Vert \ge r$.


\subsubsection{Stetigkeit der Identiät zwischen Räumen mit verschiedenen Normen}

Sei $\left\Vert .\right\Vert $ eine Norm auf $\mathbb{R}^{n}$. Dann
ist die Identität $\textrm{id}:\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert \right)\rightarrow\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{1}\right)$
stetig.


\subsubsection{Fundamentalsatz über endlich-dimensionale normierte Räume}

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$
normierte Räume, sei $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Falls
$V$ endliche Dimension hat, ist $f$ stetig.


\subsubsection{\label{sub:Lipschitzstetigkeit-einer-endlichdimensionalen}Lipschitzstetigkeit
einer endlichdimensionalen linearen Abbildung}

Zu einer reellen $m\times n$-Matrix $A=\left(a_{jk}\right)_{jk}$
betrachten wir die ineare Abbildung $\varphi_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}:x\mapsto Ax$.
Mit \[
L=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{jk}\right)^{2}}\]
gilt, das $\varphi_{A}$ eine $L$-Lipschitz-stetige Abbildung bezüglich
der $2$-Normen auf $\mathbb{R}^{n}$und $\mathbb{R}^{m}$ ist.

\begin{itemize}
\item siehe auch \vref{sub:linear_R^n_stetig}
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:=C4quivalenz-von-Normen}Äquivalenz von Normen}

Sei $V$ ein Vektorraum, $\left\Vert .\right\Vert $, $\left\Vert .\right\Vert '$
seien Normen auf $V$. Die Normen heißen \emph{äquivalent\index{äquivalent}},
falls es Zahlen $r,R\in\mathbb{R}$ gibt, so dass\[
\left\Vert v\right\Vert \le r\left\Vert v\right\Vert '\textrm{ und }\left\Vert v\right\Vert '\le R\left\Vert v\right\Vert \]
 für alle $v\in V$. Äquivalente Normen leifern den gleichen Konvergenzbegriff. 

\begin{itemize}
\item Auf jedem endlich-dimensionalen Vektorraum sind \emph{alle} Normen
äquivalent (z.B. $\mathbb{R}^{n}$)
\item Die entsprechenden Metrischen Räume sind also topologisch äquivalent.
Siehe auch \vref{sub:topologische-=C4quivalenz}.
\end{itemize}

\subsubsection{Fixpunkt}

Ist $f:X\rightarrow X$ eine Abbildung und gilt $f\left(x\right)=x$
für ein $x\in X$, so heißt $x$ \emph{Fixpunkt\index{Fixpunkt}}
von $f$.

\begin{itemize}
\item Ist $f$ linear, so ist $0$ ein Fixpunkt
\end{itemize}

\subsubsection{Banachs Fixpunktsatz\index{Banachs Fixpunktsatz}}

Sei $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum, $f:X\rightarrow X$
sei $L$-Lipschitzstetig für ein $L<1$. Dann hat $f$ \emph{genau
einen Fixpunkt}.

Genauer gilt: ist $x_{0}\in X$ ein beliebiger Punkt, $x_{j+1}=f\left(x_{j}\right)$
\emph{rekursiv}, so gilt $\lim_{j\in\mathbb{N}}x_{j}=w$ ist der gesuchte
Fixpunkt.

\begin{itemize}
\item Abschätzen des Fehlers bei Abbruch der Iteration an der $l$-ten Stelle\\
$d\left(x_{l},w\right)\le\frac{L^{l}}{1-L}\cdot d\left(x_{0},x_{1}\right)$
\item $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$ hat den Fixpunkt $\sqrt{2}$
\end{itemize}

\section{Offene Mengen, Offene Abbildungen, Kurven, Skalarfelder}


\subsection{Mengen}


\subsubsection{Offen}

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $U\subseteq X$
heißt \emph{offen in $X$\index{offen}}, falls gilt: zu jedem $u\in U$
gibt es ein $\varepsilon>0$ mit $B_{\varepsilon}\left(u\right)\subseteq U$.

\begin{itemize}
\item Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von Systemen offener
Mengen sind wieder offen
\item Offene Intervalle auf $\mathbb{R}$ sind offene Mengen
\item $\emptyset\subseteq X$ ist stets offen in $X$
\item $X$ ist stets offen in $X$
\end{itemize}

\subsubsection{offene Abbildung}

Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ wird als \emph{offen\index{offen}}
bezeichnet, falls für eine $U\subseteq V$ offen gilt das auch $f\left(U\right)\subseteq W$
wieder offen ist.


\subsubsection{Abgeschlossen}

Eine Teilmenge $A\subseteq X$ eines metrischen Raumes $\left(X,d\right)$
heißt \emph{abgeschlossen\index{abgeschlossen}}, wenn für jede Folge
von Elementen $\left(a_{j}\right)_{j\in J}\subseteq A$ mit Grenzwert
$x\in X$ gilt $x\in A$.

\begin{itemize}
\item Siehe auch \vref{sub:Vollst=E4ndigkeitR^n}
\end{itemize}

\subsubsection{Satz über offene und Abgeschlossen Mengen}

Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $U\subseteq X$. Dann sind
gleichwertig:

\begin{enumerate}
\item $U$ ist offen in $X$
\item $X\backslash U=\left\{ x\in X|x\notin U\right\} =A$ ist abgeschlossen
in $X$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Es gibt Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind in $X$,
z.B. sind sowohl $\emptyset,X$ abgeschlossene als auch offene Mengen
in $X$
\item Es gibt Mengen, die weder offen, noch abgeschlossen sind, z.B. $\left(0,1\right]\subseteq\mathbb{R},\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$
\end{itemize}

\subsubsection{Stetigkeit über offenen und abgeschlossenen Mengen}

Seien $\left(X,d_{x}\right)$und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische
Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig
\item für alle offenen $U\subseteq Y$ ist $f^{-1}\left(U\right)\subseteq X$
offen
\item für alle abgeschlossenen $A\subseteq Y$ ist $f^{-1}\left(A\right)\subseteq X$
abgeschlossen
\end{enumerate}

\subsubsection{Abschluss}

Für $S\subseteq X$ setzte \[
\overline{S}=\bigcap\left\{ A\subseteq X|A\textrm{ ist abgeschlossen und }S\subseteq A\right\} \]
$\overline{S}$ ist abgeschlossen und $\overline{S}$ ist die kleinste
abgeschlossene Menge in $X$, die $S$ enthält. $\overline{S}$ besteht
(abgesehen von $S=\emptyset$ mit $\overline{S}=\emptyset$) genau
aus den Grenzwerten konvergenter Folgen in $S$. $\overline{S}$ heißt
\emph{Abschluss\index{Abschluss}} von $S$.

\begin{itemize}
\item $\overline{A}=A\cup\partial A$
\item $A°\subseteq A\subseteq\overline{A}$ 
\item $A°\cap\partial A=\emptyset$
\end{itemize}

\subsubsection{Inneres}

Wir betrachten einen metrischen Raum $X$. Das \emph{Innere\index{Inneres}}
$A°=\bigcup\left\{ U\subseteq X|U\textrm{ offen und }U\subseteq S\right\} $
von $A$ ist offen (das ist das \emph{offene Innere von $A$\index{offene Innere}).
$A°$ ist die größte offene Teilmenge von $S$.}

\begin{itemize}
\item $A°$ ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen von $A$
\item Alternative Schreibweise:\\
${{\circ\atop A}}=A°$
\end{itemize}

\subsubsection{Rand}

Wir betrachten einen metrischen Raum $X$. Der \emph{Rand}\index{Rand}
$\partial A$ einer Menge $A$ ist die Menge aller Punkte $p\in X$
für die jede offene $\varepsilon$-Kugel $B_{\varepsilon}\left(p\right)=\left\{ x\in X|d\left(p,x\right)<\varepsilon\right\} $
sowol Elemente aus $A$ als auch Elemente aus $X\backslash A$ enthält.\[
{\scriptstyle \partial A=\left\{ v\in X|\forall\varepsilon>0:\exists a\in A,x\in X\backslash A:d\left(v,a\right)<\varepsilon\wedge d\left(v,x\right)<\varepsilon\right\} }\]


\begin{itemize}
\item $\partial S=\overline{S}\backslash S°$
\end{itemize}

\subsubsection{kompakte Mengen}

Ein Metrischer Raum $\left(X,d\right)$ heißt \emph{kompakt\index{kompakt}},
falls jede Folge $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $X$ eine
konvergente Teilfolge hat.

\begin{itemize}
\item In $\mathbb{R}^{n}$ ist eine Teilmenge $X$ genau dann kompakt wenn
sie abgeschlossen und beschränkt bzgl. $\left\Vert .\right\Vert $
ist
\item Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, und $A\subseteq X$ ist
kompakt, dann ist $A$ abgeschlossen und beschränkt
\item Es sei $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von einem kompakten Raum
$X$, dann ist $A$ kompakt
\item Es sei $f:X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, dann ist das Bild
$f\left(K\right)$ einer kompakten Menge $K\subseteq X$ wieder kompakt
\item Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$auf
einer kompakten Teilmenge $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ ist Lipschitz-stetig
\item Das Kreuzprodukt von abgeschlossenen Intervallen ist kompakt:\\
$\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq\mathbb{R}^{n}$
ist kompakt
\end{itemize}

\subsubsection{Satz von Baire}

Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum und vollständig, sei $\left\{ S_{n}|n\in\mathbb{N}\right\} $
eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen in $X$. Falls $X=\bigcup\left\{ S_{n}|n\in\mathbb{N}\right\} $,
so gibt es ein $l\in\mathbb{N},$ ein $x\in X$ und ein $\varepsilon>0$
so, dass $B_{\varepsilon}\left(x\right)\subseteq S_{l}$ (d.h. $S_{l}°\neq\emptyset$).


\subsubsection{Satz von der offenen Abbildung}

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$ und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$
Banachräume, $f:V\rightarrow W$ sei linear, stetig und surjektiv.
Dann ist $f$ offen.


\subsubsection{Umkehrabbildung}

Ist $f:V\rightarrow W$ stetig, linear und bijektiv, dann ist $f$
offen.

Sei $g$ die \emph{Umkehrabbildung\index{Umkehrabbildung}} von $f$,
dann ist $g$ linear und \emph{stetig\index{stetig}}.


\subsubsection{Verschiedene Aspekte der Stetigkeit}

Es sei $X,Y$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung.
Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

\begin{enumerate}
\item $f$ ist stetig
\item Das Urbild $f^{-1}\left(O\right)$ jeder offenen Menge $O\subseteq Y$
ist wieder offen
\item Das Urbild $f^{-1}\left(A\right)$ jeder abgeschlossenen Menge $A\subseteq Y$
ist wieder abgeschlossen
\item $f\left(\overline{A}\right)\subseteq\overline{f\left(A\right)}$ für
alle Teilmengen $A\subseteq X$
\item $\overline{f^{-1}\left(B\right)}\subseteq f^{-1}\left(\overline{B}\right)$
für alle Teilmengen $B\subseteq Y$
\end{enumerate}

\subsection{Kurven}


\subsubsection{Definition}

Sei $V$ ein normierter Raum (z.B. $\mathbb{R}^{n}$) mit euklidischer
Norm. Sei $J\subseteq\mathbb{R}$ ein Intervall (offen, abgeschlossen,
halboffen oder $J=\mathbb{R}$). Ein \emph{Weg\index{Weg}} in $V$
ist eine stetige Abbildung\begin{eqnarray*}
c:J & \rightarrow & V\\
t & \mapsto & c\left(t\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item \emph{Kurve\index{Kurve}} ist ein äquivalenter Begriff zu Weg
\end{itemize}

\subsubsection{Peano-Kurve}

Eine \emph{Peano-Kurve\index{Peano-Kurve}} ist eine Raumfüllende
Kurve $\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]^{2}$. Sei
$f:\mathbb{R}\rightarrow\left[0,1\right]$ eine stetige $2$-periodische
Funktion mit \begin{eqnarray*}
f\left(t\right) & = & \begin{cases}
0 & 0\le t<\frac{1}{3}\\
3\left(t-\frac{1}{3}\right) & \frac{1}{3}\le t<\frac{2}{3}\\
1 & \frac{2}{3}\le t\le1\end{cases}\\
f\left(t\right) & = & f\left(t+2\right)\end{eqnarray*}


Da $f$ auf $\left(1,2\right)$ nicht benötigt wird spielt die Definiton
dort keine Rolle. Seien weiter $x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
und $y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ zwei (Koordinaten)-Funktionen
mit\begin{eqnarray*}
x\left(t\right) & = & \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f\left(3^{2n-1}t\right)\\
y\left(t\right) & = & \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f\left(3^{2n}t\right)\end{eqnarray*}


Dann ist $\gamma\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$eine
stetige und surjektive Abbildung.

\begin{itemize}
\item $\gamma$ ist nicht injektiv. Jeder Punkt bis auf $\left(0,0\right)$
und $\left(1,1\right)$ wird genau 2mal getroffen.
\end{itemize}

\subsubsection{Wegzusammenhang}

Ein (metrischer) Raum $X$ heißt \emph{wegzusammenhängend}, falls
sich je zwei Punkte $x,y\in X$ durch einen Weg in $X$ verbinden
lassen.

\begin{itemize}
\item stetige Bilder wegzusammenhängender Räume sind wieder wegzusammenhängend
\end{itemize}

\subsubsection{Geschwindigkeit, differenzierbar}

Sei $J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall, $c:J\rightarrow V$
eine Kurve, $t_{0}\in J$. Dann gibt es $\varepsilon>0$ so, dass
$\left(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right)\subseteq J$.

Falls es eine stetige Abbildung $p:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow V$
gibt, so dass $\frac{c\left(t\right)-c\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}=p\left(t-t_{0}\right)$
gilt für $t\neq t_{0},$ so heißt $\dot{c}\left(t_{0}\right)=p\left(0\right)$
\emph{Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}} oder \emph{Tangentialvektor\index{Tangentialvektor}}
der Kurve zur Zeit $t_{0}$. $c$ ist somit in $t_{0}$ \emph{differenzierbar\index{differenzierbar}.}

Falls $c$ in \emph{jedem} $t\in J$ differenzierbar ist, heißt $c$
\emph{differenzierbar\index{differenzierbar}}, falls zusätzlich $t\mapsto\dot{c}\left(t\right)$
stetig ist, so heißt $c$ \emph{stetig differenzierbar\index{stetig differenzierbar}}
oder \emph{$C^{1}$-Kurve}\index{C1-Kurve}.

\begin{itemize}
\item Die Funktion $p$ ist (wenn sie existiert) eindeutig bestimmt, denn
für $t\neq t_{0}$ gilt $p\left(t-t_{0}\right)=\frac{c\left(t\right)-c\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}$
und $p\left(0\right)=\lim_{n}p\left(\frac{1}{n}\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Satz über Differenzierbarkeit}

Ist $V=\mathbb{R}^{n},c\left(t\right)=\left(c_{1}\left(t\right),\ldots,c_{n}\left(t\right)\right)$,
so ist $c$ genau dann (stetig) differenzierbar, wenn jedes einzelne
$c_{j}$ (stetig) differenzierbar ist, und $\dot{c}\left(t\right)=\left(\dot{c}_{1}\left(t\right),\ldots,\dot{c}_{n}\left(t\right)\right)$.


\subsubsection{Beschleunigung}

Falls $c$ $C^{1}$-Kurve ist, und falls $\dot{c}$ (stetig) differenzierbar
ist, schreibe $\ddot{c}$ für die zweite Ableitung. $\ddot{c}\left(t\right)$
heißt \emph{Beschleunigung\index{Beschleunigung}} zur Zeit $t$.


\subsubsection{Rechenregeln für Kurven}

$J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall.

\begin{enumerate}
\item $c,d:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurven\\
$c+d=e:t\mapsto c\left(t\right)+d\left(t\right)$\\
$\dot{e}=\dot{c}+\dot{d}$
\item $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve\\
$f:J\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion\\
$e=c\cdot f:t\mapsto c\left(t\right)\cdot f\left(t\right)$\\
$\dot{e}\left(t\right)=\dot{c}\left(t\right)\cdot f\left(t\right)+c\left(t\right)\cdot f'\left(t\right)$
\item \emph{Umparameterisierung\index{Umparameterisierung}} von $c$\\
$c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve\\
$f:I\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion mit $f\left(I\right)\subseteq J$\\
$e=c\circ f:t\mapsto c\left(f\left(t\right)\right)$\\
$\dot{e}\left(t\right)=\dot{c}\left(f\left(t\right)\right)\cdot f'\left(t\right)$
\item $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve\\
$f:V\rightarrow W$ stetig und linear\\
$e=f\circ c$ ist $C^{1}$-Kurve\\
$\dot{e}\left(t\right)=f\left(\dot{c}\left(t\right)\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{differenzieren auf abgeschlossenen Intervall}

Ist $c:\left[a,b\right]\rightarrow V$ Kurve. Falls es ein $r>0$
gibt, eine (stetig) differenzierbare Kurve $\tilde{c}:\left(a-r,b+r\right)\rightarrow V$
mit $c\left(t\right)=\tilde{c}\left(t\right)$ für alle $t\in\left[a,b\right]$,
so heißt $c$ (stetig) differenzierbar auf $\left[a,b\right]$, setze
$\dot{c}\left(t\right)=\dot{\tilde{c}}\left(t\right)$ für $t\in\left[a,b\right]$.

\begin{itemize}
\item Bislang waren ableitungen nur auf offenen Intervallen definiert. Hier
wird das ganze auf abgeschlossene erweitert.
\end{itemize}

\subsubsection{Bogenlänge}

Sei $c:\left[a,b\right]\rightarrow V$ stetig differenzierbar. Die
\emph{Bogenlänge\index{Bogenlänge}} von $c$ ist $L\left(c\right)=\int_{a}^{b}\left\Vert \dot{c}\left(t\right)\right\Vert dt$.


\subsubsection{Umparameterisierung und Bogenlänge}

Ist $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve, $J=\left[a,b\right]$, ist
$\varphi:I\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion streng monoton
wachsend (d.h. $\varphi'\left(t\right)>0$ für alle $t$), $I=\left[u,v\right]$
mit $\varphi\left(u\right)=a$, $\varphi\left(v\right)=b$. Dann gilt
\[
L\left(c\right)=L\left(c\circ\varphi\right)\]


\begin{itemize}
\item Die Kurvenlänge ändert sich nicht bei streng monotonen Umparameterisierungen.
\end{itemize}

\subsection{Skalarfelder}


\subsubsection{Differential}

Sei $V$ ein normierter Raum, $U\subseteq V$ offen, sei $f:U\rightarrow\mathbb{R}$
stetig. Sei $x_{o}\in U$. Wir sagen $f$ ist \emph{differenzierbar\index{differenzierbar}}
im Punkt $x_{0}$, falls es $r>0$ gibt, eine stetige Funktion $\lambda:B_{r}\left(0\right)\rightarrow\mathbb{R}$,
und eine stetige lineare Abbildung $g:V\rightarrow\mathbb{R}$, so
dass gilt: $\lambda\left(0\right)=0$ und \[
f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=\lambda\left(h\right)\left\Vert h\right\Vert +g\left(h\right)\]
 für alle $h$ mit $\left\Vert h\right\Vert <r$.

Dann heißt $df\left(x_{0}\right)=g$ \emph{Ableitung\index{Ableitung}}
oder \emph{Differential\index{Differential}} von $f$ in $x_{o}$.

Falls $f$ in jedem Punkt $x\in U$ differenzierbar, so heißt $f$
\emph{differenzierbar\index{differenzierbar}}, falls die Abbildung\begin{eqnarray*}
U & \rightarrow & V*=\mathcal{L}\left(V,\mathbb{R}\right)\\
x & \mapsto & df\left(x\right)\end{eqnarray*}
stetig ist, heißt $f$ \emph{stetig differenzierbar} oder $G^{1}$-Funktion.

\begin{itemize}
\item Falls $f$ in $x_{0}$ die Bedingungen der Definition erfüllt, so
ist $df\left(x_{0}\right)$ \emph{eindeutig} durch $f$ bestimmt.
\item Das Differential $df\left(x_{0}\right)$ ist eine Lineare Abbildung
$V\rightarrow\mathbb{R}$, d.h. $df\left(x_{0}\right)$liegt im Dualraum\index{Dualraum}
$V*=\mathcal{L}\left(V,\mathbb{R}\right)$. Das ist ebenfalls ein
normierter Raum, sogar ein Banachraum.
\item $V*$ trägt die Operatornorm $\left\Vert df\left(x\right)\right\Vert =\sup\left\{ \left\Vert df\left(x\right)\left(h\right)\right\Vert |\left\Vert h\right\Vert \le1\right\} $
\item $\left(x,h\right)\mapsto df\left(x\right)\left(h\right)$ ist stetig
\end{itemize}

\subsubsection{Kettenregel 1\index{Kettenregel}}

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion,
$J\subseteq\mathbb{R}$ offen, $c:J\rightarrow V$ stetig differenzierbare
Kurve mit $c\left(J\right)\subseteq U$. Dann ist $g=f\circ c$ mit\begin{eqnarray*}
g:J & \rightarrow & \mathbb{R}\\
t & \mapsto & f\left(c\left(t\right)\right)\end{eqnarray*}
 ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung\[
g'\left(t\right)=df\left(c\left(t\right)\right)\left(\dot{c}\left(t\right)\right)\]



\subsubsection{Kettenregel 2\index{Kettenregel}}

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion,
$J\subseteq\mathbb{R}$ offen, $c:J\rightarrow\mathbb{R}$ reelle
Funktion mit $f\left(U\right)\subseteq J$. Dann ist $g=c\circ f$
mit\begin{eqnarray*}
g:U & \rightarrow & \mathbb{R}\\
t & \mapsto & c\left(f\left(t\right)\right)\end{eqnarray*}
 ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung\[
dg\left(u\right)\left(h\right)=c'\left(f\left(u\right)\right)\cdot df\left(u\right)\left(h\right)\]



\subsubsection{Richtungsableitung}

Ist $v\in V$, so heißt \[
D_{V}f\left(x\right)=df\left(x\right)\left(v\right)\]
 \emph{Richtungsableitung\index{Richtungsableitung}} von $f$ an
der Stelle $x$ in Richtung $v$.


\subsubsection{Partielle Ableitung}

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$, $v=e_{i}$. Dann ist \[
df\left(x\right)\left(e_{i}\right)=D_{e_{i}}f\left(x\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x\right)\]
 die $i$-te partielle Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{i}$.

\begin{itemize}
\item Man kann schreiben \[
\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(x+t\cdot e_{i}\right)-f\left(x\right)}{t}\]

\item Die $i$-te Partielle Ableitung erhält man, indem man $v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_{n}$
als konstanten behandelt und formal nach $v_{i}$ ableitet.
\end{itemize}

\subsubsection{Rechenregeln des Differentials}

Sei $U\subseteq V$ offen, $C^{1}\left(U\right)$ die Menge aller
stetig differenzierbaren Funktionen auf $U$. Das ist ein reeller
Vektorraum und ein Ring, also eine reelle Algebra. Es gilt:

\begin{enumerate}
\item $d\left(f+g\right)=df+dg$
\item $d\left(r\cdot f\right)=r\cdot df$
\item Leipnitzregel\\
$d\left(f\cdot g\right)=df\cdot g+dg\cdot f$
\end{enumerate}

\subsubsection{Affine Abbildung}

Ist $f:V\rightarrow\mathbb{R}$ linear und stetig, $t\in V$, so ist
die Abbildung $g:v\mapsto t+f\left(v\right)$ stetig differenzierbar,
und $dg\left(u\right)\left(v\right)=f\left(v\right)$.


\subsubsection{Gradient}

Für $U\subset\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion
betrachte den \emph{Gradienten\index{Gradienten}}\begin{eqnarray*}
\textrm{grad}\left(f\right)\left(u\right) & = & \nabla f\left(u\right)\\
 & = & \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\left(u\right),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\left(u\right)\right)\end{eqnarray*}


Das innere Produkt auf $\mathbb{R}^{n}$ mit $\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$.
Dann gilt:\[
\left\langle \nabla f\left(u\right),h\right\rangle =df\left(u\right)\left(h\right)\]


\begin{itemize}
\item Wenn $h$ ein inneres Produkt auf $V$ ist, so definiert man den Gradienten
über die Gleichung\[
df\left(u\right)\left(v\right)=h\left(\nabla f\left(u\right),v\right)\]

\end{itemize}

\subsubsection{Kriterium für stetige Differenzierbarkeit}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$
stetig. Dann ist $f$ stetig differenzierbar genau dann, wenn alle
partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(u\right)$
existieren und stetig in $u$ sind.

Für das Differential gilt dann\[
df\left(u\right)\left(h\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(u\right)h_{i}=\left\langle \nabla f\left(u\right),h\right\rangle \]



\section{Differentialrechnung in Vektorräumen}


\subsection{Ableitung}


\subsubsection{Definition}

Seien $V,W$ normierte Räume, $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$
stetig, sei $u\in U$.

Wir sagen $f$ ist \emph{diferenzierbar\index{diferenzierbar}} in
$u$, falls es eine lineare Abbildung $g:V\rightarrow W$ gibt, und
eine stetige Abbildung $\lambda:B_{r}^{V}\left(0\right)\rightarrow W$
mit $\lambda\left(0\right)=0$, so dass gilt\[
f\left(u+h\right)-f\left(u\right)=g\left(h\right)+\lambda\left(h\right)\cdot\left\Vert h\right\Vert \]
 für alle $h\in B_{r}^{V}\left(o\right)$, dabei sei $r>0$ so gewählt,
dass $B_{r}^{V}\left(0\right)\subseteq U$. Die Funktion $g$ heißt
\emph{Ableitung\index{Ableitung}} von $f$ in $u$, schreibe \[
g=Df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(V,W\right)\]


Falls $f$ in jedem Punkt $u\in U$ eine Ableitung hat, heißt $f$
\emph{differenzierbar\index{differenzierbar}}. Falls zusätzlich die
Abbildung\begin{eqnarray*}
U & \rightarrow & \mathcal{L}\left(U,V\right)\\
u & \mapsto & Df\left(u\right)\end{eqnarray*}
 stetig ist, heißt $f$ stetig differenzierbar oder $C^{1}$-Funktion\index{C1-Funktion}.

\begin{itemize}
\item $g$ ist durch $f$ und $u$ eindeutig bestimmt.
\item $Df\left(u\right)\left(h\right)=g\left(h\right)$
\item $\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(x+t\cdot h\right)-f\left(x\right)}{t}=Df\left(x\right)\left(h\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Überblick über verschiedene Ableitungsbegriffe}

Sei $V$ ein reeller normierter Vektorraum und seien $J\subseteq\mathbb{R}$
und $U\subseteq V$ offen.

\begin{description}
\item [Analysis~1]$f:J\rightarrow\mathbb{R}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $Df\left(x\right)\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\tilde{=}\mathbb{R}$
\item $Df\left(x\right):v\mapsto v\cdot f'\left(x\right)$
\item $Df\left(x\right)\left(1\right)=f'\left(x\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [Kurven]$c:J\rightarrow V$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $Dc\left(t\right)\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R},V\right)\tilde{=}V$
\item $Dc\left(t\right):x\mapsto x\cdot\dot{c}\left(t\right)$
\item $Dc\left(t\right)\left(1\right)=\dot{c}\left(t\right)$
\end{itemize}
\begin{description}
\item [reelle~Funktionen]$f:U\rightarrow\mathbb{R}$
\end{description}
\begin{itemize}
\item $Df\left(u\right)=df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(U,\mathbb{R}\right)$
\item in manchen Büchern wird zwischen $Df$ und $df$ nicht unterschieden
\end{itemize}

\subsubsection{affine Abbildung}

\label{sub:affine-Abbildung}Ist $g:V\rightarrow W$ linear und stetig,
$t\in V$ und $f\left(v\right)=t+g\left(v\right)$. Damit ist $f$
$C^{1}$-Funktion mit Ableitung $Df\left(u\right)=g$.

\begin{itemize}
\item für $g=t+Ax$ mit Matrix $A$ gilt:\\
$Df\left(u\right)\left(v\right)=Av$
\end{itemize}

\subsubsection{Struktur der Ableitungen}

Sei $U\subseteq V$ offen, $V,W$ normierte Räume, $C^{1}\left(U,W\right)$
die Menge aller $C^{1}$ Abbildungen von $U$ nach $W$.

Dann ist $C^{1}\left(U,W\right)$ein reeller Vektorraum. Es gilt für
alle $f,g\in C^{1}\left(U,W\right)$ und $r\in R$

\begin{enumerate}
\item $D\left(g+f\right)\left(u\right)=Dg\left(u\right)+Df\left(u\right)$
\item $D\left(r\cdot f\right)\left(u\right)=r\cdot Df\left(u\right)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Jakobimatrix}

Für $V=\mathbb{R}^{n},W=\mathbb{R}^{m}$, $U\subseteq V$ offen und
$f:U\rightarrow V$ mit $f\left(u\right)=\left(f_{1}\left(u\right),\ldots,f_{m}\left(u\right)\right)\in\mathbb{R}^{m}$.
Wenn $f$ $C^{1}$-Funktion ist, so auch $f_{1},\ldots,f_{m}$ mit
$f\left(u\right)=\sum_{k=1}^{m}e_{k}f_{k}\left(u\right)$. Für die
Ableitung gilt dann mit $v=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$\begin{eqnarray*}
Df\left(u\right):\mathbb{R}^{n} & \rightarrow & \mathbb{R}^{m}\\
Df\left(u\right):v & \mapsto & {\scriptstyle \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}}\left(u\right)\cdot v_{k},\ldots,\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{k}}\left(u\right)\cdot v_{k}\right)}\\
 & = & \left(\left\langle \nabla f_{1}\left(u\right),v\right\rangle ,\ldots,\left\langle \nabla f_{n}\left(u\right),v\right\rangle \right)\\
 & = & \left[Df\left(u\right)\right]\cdot v\end{eqnarray*}


mit

\[
\left[Df\left(u\right)\right]=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\left(u\right) & \ldots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}\left(u\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}\left(u\right) & \ldots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}\left(u\right)\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}\]


$\left[Df\left(u\right)\right]$ wird als \emph{Jakobimatrix}\index{Jakobimatrix}
von $Df\left(u\right)$ bezeichnet.


\subsubsection{Kettenregel}

Sind $X,Y,Z$ normierte Räume, $U\subseteq X$ offen, $V\subseteq Y$
offen, $f:U\rightarrow Y$ und $g:V\rightarrow Z$ $C^{1}$-Funktionen
mit $f\left(U\right)\subseteq V$. Dann ist $g\circ f:U\rightarrow Z:u\mapsto g\left(f\left(u\right)\right)$
ebenfalls $C^{1}$-Funktion und\[
D\left(g\circ f\right)\left(u\right)=Dg\left(f\left(u\right)\right)\circ Df\left(u\right)\]



\subsubsection{Höhere Ableitungen}

Ist $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$ $C^{1}$-Funktion.
Dann ist $Df:U\rightarrow\mathcal{L}\left(V,W\right)$ stetig. Falls
$Df$ ebenfalls $C^{1}$-Funktion ist, heißt $f$ \emph{zweimal stetig
differenzierbar\index{zweimal stetig differenzierbar}} oder $C^{2}$-Funktion.
Schreibe $D\left(Df\right)=D^{2}f$ für die zweite Ableitung.

Entsprechend definiert man $k$-mal stetig differenzierbare Funktionen,
$D^{k}f=k$-te Ableitung. Man erhält Vektorräume $C^{k}\left(U,W\right)=\left\{ f:U\rightarrow W|f\: k\textrm{-mal stetig differenzierbar}\right\} $.


\subsubsection{Bilinearität der zweiten Ableitung}

$f\left(u\right)\in W$ sei ein Vektor und $Df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(V,W\right)$
lineare Abbildung. Betrachte die zweite Ableitung $D^{2}f\in\mathcal{L}\left(V,\mathcal{L}\left(V,W\right)\right)$.

Es gilt \begin{eqnarray*}
D^{2}f\left(u\right):V\times V & \rightarrow & W\\
\left(x,y\right) & \mapsto & D^{2}\left(u\right)\left(x\right)\left(y\right)=D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)\\
D^{2}f:U\times V\times V & \rightarrow & W\end{eqnarray*}


$D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)$ ist linear in $x$ uns $y$
und somit eine bilineare Abbildung.

Für $J\subseteq\mathbb{R}$ offen und $f:J\rightarrow\mathbb{R}$
gilt $D^{2}f\left(u\right)=\left(\left(x,y\right)\mapsto x\cdot y\cdot f''\left(u\right)\right)$.

\begin{itemize}
\item Potentiale sind die verallgemeinerung von Stammfunktionen
\end{itemize}

\subsubsection{Hesse-Matrix}

$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$. Für
die zweite Ableitung gilt\begin{eqnarray*}
D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right) & = & \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{l}\partial x_{k}}\left(u\right)\right)\left(\begin{array}{c}
y_{1}\\
\vdots\\
y_{n}\end{array}\right)\\
 & = & x^{T}Hf\left(u\right)y\end{eqnarray*}
Die Matrix \begin{eqnarray*}
Hf\left(u\right) & = & \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{l}\partial x_{k}}\left(u\right)\right)_{k,l=1}^{n}\\
 & = & \left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{1}}\left(u\right) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}\left(u\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}\left(u\right) & \ldots & \frac{\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}\left(u\right)\end{array}\right)\end{eqnarray*}
 heißt Hessematrix von $f$ in $u$.

\begin{itemize}
\item Für $f\in C^{2}$ gilt $Hf\left(u\right)=Hf\left(u\right)^{T}$
\end{itemize}

\subsubsection{Vertauschbarkeit von Ableitungen}

Ist $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ eine $C^{2}$-Funktion
und $u\in U$, so gilt \[
D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)=D^{2}f\left(u\right)\left(y,x\right)\]
für alle $x,y\in V$. Das heißt $D^{2}f\left(u\right)$ ist eine symmetrische
Bilinearform.

\begin{itemize}
\item Die partiellen Ableitungen einer $C^{2}$-Funktion im $\mathbb{R}^{n}$
gilt\[
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(u\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(u\right)\]

\item Die Hessematrix $Hf\left(u\right)$ ist symmetrisch\[
Hf\left(u\right)=Hf\left(u\right)^{T}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Potentiale}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$
sei eine $C^{1}$-Funktion. Frage: gibt es $F:U\rightarrow\mathbb{R}$
mit $\nabla F=f$? Wenn ja, so heißt $F$ \emph{Potential\index{Potential}}
zum Feld $f$).

Falls es ein Potential $F$ passend zu $f$ gibt, gilt ist $F$ eine
$C^{2}$-Funktion. Es muss also für $f$ gelten\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(u\right)=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\left(u\right)\]


Im $\mathbb{R}^{3}$ ist diese notwendige Bedingung äquivalent mit
\emph{Rotation} von $f=0$\index{rot}\index{Rotation}\[
\textrm{rot}\left(f\right)=\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\\
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}\\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\end{array}\right)=0\]


Falls $U$ \emph{sternförmig\index{sternförmig}} ist, sind diese
Bedingung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.

Sternförmig bedeutet, das es einen ausgezeichneten Punkt im Raum gibt,
von dem aus man alle anderen Punkte mit in der Menge liegenden Verbindungsgraden
erreichen kann.


\subsubsection{Besondere Ableitungen}

\begin{description}
\item [Affine~Abbildung]siehe \vref{sub:affine-Abbildung}
\item [Bilineare~Abbildung]$f\left(x,y\right)$ sei bilinear\\
$Df\left(x,y\right)\left(v,w\right)=f\left(x,w\right)+f\left(v,y\right)$
\item [Inneres~Produkt]$f\left(x\right)=\left\langle x,x\right\rangle =x^{T}Ax$
mit $A=A^{T}$ \\
$Df\left(x\right)\left(v\right)=2x^{T}Av$
\end{description}

\subsection{Lokale Extrema reeller Funktionen}


\subsubsection{Extrema}

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, $f:X\rightarrow\mathbb{R}$
stetig. Wir sagen $f$ hat in $x\in X$ ein \emph{Maximum\index{Maximum}}
/ \emph{Minimum\index{Minimum}}, falls für alle $z\in X$ gilt $f\left(x\right)\ge f\left(z\right)$
(bzw. $f\left(x\right)\le f\left(z\right)$). Falls zusätzlich für
$z\neq x$ stets gilt $f\left(x\right)>f\left(z\right)$ (bzw. $f\left(x\right)<f\left(z\right)$),
so spricht man von einem \emph{strikten Maximum\index{stiktes Maximum}\index{stiktes Minimum}}
(oder Minmum).

Falls es eine Kugel $B_{r}\left(x\right)$ gibt, so dass $f$ auf
$B_{r}\left(x\right)$ ein (striktes) Maximum oder Minimum hat, so
spricht man von einem \emph{lokalen (strikten) Maximum / Minimum.}

(strikte) (lokale) Maxima und Minima werden allgemein als (\emph{strikte})
(lokale) \emph{Extrema}\index{strikte Extrema}\index{Extrema} bezeichnet.


\subsubsection{Kriterium für Extrema / kritische Punkte}

Sei $U\subseteq V$ offen, $V$ normierter Raum, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$
sei eine $C^{1}$-Funktion. Falls $f$ in $u\in U$ ein (lokales)
Extremum hat, so gilt $df\left(u\right)=0$ (Nullabbildung). Falls
$V=\mathbb{R}^{n}$, ist das gleichbedeutend mit $\nabla f\left(n\right)=0$
(Nullvektor).

Die Punkte $u\in U$ mit $df\left(u\right)=0$ heißen \emph{kritische
Punkte\index{kritische Punkte}} von $f$.


\subsubsection{notwendig für lokale Maxima und Minima}

Falls $f$ in $u$ ein \emph{lokales Maximum\index{Maximum}\index{lokales Maximum}}
hat, gilt\[
D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le0\]


falls $f$ in $u$ ein \emph{lokales Minimum\index{Minimum}\index{lokales Minimum}}
hat, gilt \[
D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge0\]
 für alle $v\in V$.

\begin{itemize}
\item Dies entspricht positiver bzw. negativer semidefinitheit von $D^{2}f\left(u\right)$.
\item Dies ist nur Notwendig, hinreichend ist erst die Definitheit ohne
das {}``Semi''.
\end{itemize}

\subsubsection{definit}

Eine symmetrische Bilinearform $h:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$
heißt

\begin{description}
\item [positiv~definit\index{positiv definit}\index{definit}]falls $h\left(v,v\right)>0$
für alle $v\neq0$ gilt
\item [positiv~semidefinit\index{positiv semidefinit}\index{semidefinit}]falls
$h\left(v,v\right)\ge0$ für alle $v\in V$ gilt
\item [negativ~definit\index{negatib definit}]falls $h\left(v,v\right)<0$
für alle $v\neq0$ gilt
\item [negativ~semidefinit\index{negativ semidefinit}]falls $h\left(v,v\right)\le0$
für alle $v\in V$
\end{description}
Falls keine dieser Eigenschaften zutrifft, heißt $h$ \emph{indefinit}\index{indefinit}.


\subsubsection{Entwickeln einer Funktion mit ihren Ableitungen}

Ist $\varphi:\left(-r,r\right)\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{2}$-Funktion,
so gilt \[
\varphi\left(t\right)=\varphi\left(0\right)+\varphi'\left(0\right)\cdot t+\int_{0}^{t}\varphi''\left(s\right)\left(t-s\right)ds\]



\subsubsection{Zweite Ableitung als Norm}

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$
für alle $v$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$, so gibt es $r>0$
so, dass $D^{2}f\left(\tilde{u}\right)\left(v,v\right)\ge\frac{\delta}{2}$
für alle $\tilde{u}\in B_{r}\left(u\right)$.

\begin{itemize}
\item Die Bedingung $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ besagt
folgendes: die Norm $\left\Vert v\right\Vert _{U}=\sqrt{D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)}$
ist äquivalent zur Norm, mit der wir auf $V$ angefangen haben. Weil
auf $\mathbb{R}^{n}$ alle Normen äquivalent sind, folgt dort (im
$\mathbb{R}^{n}$) die Existenz von $\delta$ schon, falls $D^{2}f\left(u\right)$
positiv definit ist.
\end{itemize}

\subsubsection{Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema}

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ eine $C^{2}$-Funktion,
sei $u$ ein kritischer Punkt von $f$.

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$
für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat
$f$ in $u$ ein striktes lokales Minimum.

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le-\delta$
für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat
$f$ in $u$ ein striktes lokales Maximum.


\subsubsection{Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema in endlicher Dimension}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$
$C^{2}$-Funktion, $u\in U$ mit $\nabla f\left(u\right)=0$. Falls
die Hessematrix $Hf\left(u\right)$ \emph{positiv definit} ist, so
hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Minimum, falls $Hf\left(u\right)$
negativ definit ist, so hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Maximum.


\subsubsection{Trägheitssatz von Silvester}

Sei $S\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische $n\times n$-Matrix.
Dann gibt es eine orthogonale Matrix $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$
(d.h. $UU^{T}=I_{n}$ bzw. $\sum_{k=1}^{n}u_{ik}u_{jk}=\delta_{ij}$
bzw. die Spalten von $U$ bilden eine Orthonormalbasis für $\mathbb{R}^{n}$)
so dass\[
D=U^{T}SU=\left(\begin{array}{ccc}
d_{1} &  & 0\\
 & \ddots\\
0 &  & d_{n}\end{array}\right)\]
eine Diagonalmatrix mit $d_{1}\ge d_{2}\ge\ldots\ge d_{n}$. Die Zahlen
$d_{1},\ldots,d_{n}$ heißen Eigenwerte von $S$.

Die Matrix $S$ ist positiv/negativ (semi)-definit genau dann, wenn
$D$ es ist. Also:

\begin{enumerate}
\item $S$ ist positiv definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}>0$
\item $S$ ist positiv semi definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}\ge0$
\item $S$ ist negativ definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}<0$
\item $S$ ist negativ semi definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}\le0$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item $\textrm{Spur}\left(D\right)=\textrm{Spur}\left(S\right)$\\
$\det\left(D\right)=\det\left(S\right)$
\item Für $n=2$ gilt:

\begin{enumerate}
\item $S$ ist positiv definit $\Leftrightarrow$$\det\left(S\right)>0$
und $\textrm{Spur}\left(S\right)>0$
\item $S$ ist negativ definit $\Leftrightarrow$ $\det\left(S\right)>0$
und $\textrm{Spur}\left(S\right)<0$
\end{enumerate}
\end{itemize}

\subsubsection{Hurwitz-Kriterium}

Eine Symmetrische Matrix $A$ ist positiv definit genau dann, wenn
für alle $k=1,\ldots,n$ \[
\det\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1k}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & \ldots & a_{kk}\end{array}\right)>0\]
 ist. Also die Determinanten aller quadratischen Ausschnitte aus der
Matrize $A$ die die obere Linke Ecke enthalten.


\subsection{Extrema mit Nebenbedingungen}


\subsubsection{\label{sub:Niveaumenge}Niveaumenge}

$U\subseteq V$ offen, $V$ Banachraum, $q:U\rightarrow\mathbb{R}$
$C^{1}$-Funktion. Für $r\in\mathbb{R}$ ist $M_{r}=\left\{ v\in U|q\left(v\right)=r\right\} =q^{-1}\left(r\right)$
die \emph{Niveaumenge\index{Niveaumenge}} zum Wert $r$.

Sei $H$ ein weiterer Banachraum, $u\in M_{r}$, $\varphi:B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)\rightarrow V$
sei $C^{1}$-Funktion. Wir sagen, $\varphi$ parameterisiert $M_{r}$
nahe $u$, falls es $\delta>0$ gibt, so dass $M_{r}\cap B_{\delta}^{V}\left(u\right)=\varphi\left(B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)\right)\cap B_{\delta}^{V}\left(u\right)$
und falls $D\varphi\left(x\right)$ injektiv ist für alle $x\in B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)$.

Falls $M_{r}$ in jedem Punkt $u\in M_{r}$ solch eine Parameterisierung
hat, heißt $M_{r}\subseteq U$ \emph{Hyperfläche\index{Hyperfläche}}
in $U$.

\begin{itemize}
\item Für $V=\mathbb{R}^{2}$ sind Niveaumengen \emph{Höhenlinien\index{Höhenlinien}}
auf dem Graphen der Funktion $q$.
\item Ich kann sozusagen eine Umgebung um den Nullpunkt eines Vektorraums
auf eine Niveaumenge abbilden.
\end{itemize}

\subsubsection{Existenz einer Parameterisierung }

Vorraussetzungen und Notation siehe \vref{sub:Niveaumenge}. Falls
$dq\left(u\right)\neq0$, so hat $M_{r}=q^{-1}\left(q\left(u\right)\right)$
eine Parameterisierung nahe $u$.


\subsubsection{Tangentialraum}

Voraussetzungen und Notation siehe \vref{sub:Niveaumenge}. Man nennt
$H=\ker\left(dq\left(u\right)\right)=T_{u}\left(M_{r}\right)$ Tangentialraum\index{Tangentialraum}
von $M_{r}$ in $u$.


\subsubsection{Extrema mit Nebenbedingung, Lagrange-Multiplikator}

Sei $U\subseteq V$ offen, $V$ Banachraum, $q:U\rightarrow\mathbb{R}$
$f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion, $M_{r}=q^{-1}\left(r\right)$.

Falls $u\in M_{r}$ ein Extremum von $f|_{M_{r}}$ ist (d.h. $u$
ist Extremum von $f$ mit Nebenbedingung $q\left(u\right)=r$) und
falls $dq\left(u\right)\neq0$, so gibt es ein $\lambda\in\mathbb{R}$
mit $df\left(u\right)=\lambda\cdot dg\left(u\right)$. $\lambda$
heißt \emph{Lagrange-Multiplikator\index{Lagrange-Multiplikator}}.
Für $V=\mathbb{R}^{n}$ bedeutet das $\nabla f\left(u\right)=\lambda\nabla q\left(u\right)$.

\begin{itemize}
\item Dies \emph{ersetzt} die Bedingung $Df\left(x\right)=0$
\end{itemize}

\subsubsection{Extrema auf kompakten Mengen}

Ist $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ abgeschlossen und beschränkt (also
Kompakt), ist $f:K\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, so hat $f$ auf
$K$ ein Maximum und ein Minimum.


\section{Mittelwertsatz und Satz von lokalen Inversen}


\subsection{Integrale}


\subsubsection{Raum der beschränkten Funktionen}

Sei $V$ ein Banachraum (= vollständiger normierter Raum), $J=\left[a,b\right]$.
Eine Funktion $f:J\rightarrow V$ heißt \emph{beschränkt}\index{beschränkt},
falls die Menge $\left\{ \left\Vert f\left(t\right)\right\Vert |t\in J\right\} $
beschränkt ist. Sei $B\left(J,V\right)$ die \emph{Menge aller beschränkter
Funktionen} $f:J\rightarrow V$. $B\left(J,V\right)$ ist ein reeller
Vektorraum. Setze $\left\Vert f\left(t\right)\right\Vert _{\infty}=\sup\left\{ \left\{ \left\Vert f\left(t\right)\right\Vert |t\in J\right\} \right\} $
(\emph{Supremum\index{Supremum}} von $f$). Damit wird $B\left(J,V\right)$
ein normierter Vektorraum.

\begin{itemize}
\item $B\left(J,V\right)$ ist ein Banachraum
\end{itemize}

\subsubsection{Stufenfunktion\index{Integrak}}

Eine Funktion $f\in B\left(J,V\right)$ heißt \emph{Stufenfunktion\index{Stufenfunktion}},
falls es Zahlen \[
a=s_{0}<s_{1}<\ldots<s_{n}=b\]
gibt, so dass $f|_{\left(s_{i},s_{i+1}\right)}=const.$ gilt. Die
Menge $\textrm{Step}\left(J,V\right)=\left\{ f:J\rightarrow V|f\textrm{ ist Stufenfunktion}\right\} $
ist ein Untervektorraum von $B\left(J,V\right)$.

Der Abschluss von $\textrm{Step}\left(J,V\right)$ in $B\left(J,V\right)$
besteht aus allen beschränkten Funktionen, die Grenzwerte (bzgl. $\left\Vert .\right\Vert _{\infty}$)
von Stufenfunktionen sind. Solche Funktionen heißen \emph{Regelfunktionen\index{Regelfunktionen}},
sie bilden einen Untervektorraum $R\left(J,V\right)\subseteq B\left(J,V\right)$.
Weil $B\left(J,V\right)$ vollständig ist, ist $R\left(J,V\right)$
ebenfalls vollständig.

Ist $f\in\textrm{Step}\left(J,V\right)$ bzgl. Zerlegung $a=s_{0}<s_{1}<\ldots<s_{n}=b$,
setze \[
\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{s_{i+1}+s_{i}}{2}\right)\left(s_{i+1}-s_{i}\right)\in V\]


Für eine Regelfunktion $f;J\rightarrow V$, die Grenzwert einer Folge
$\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ von Stufenfunktionen ist, setze\[
\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\lim_{i\in I}\int_{a}^{b}f_{i}\left(t\right)dt\]


\begin{itemize}
\item $J=\left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$, $V$ vollständiger Vektorraum\\
$\textrm{Step}\left(J,V\right)\subseteq R\left(J,V\right)\subseteq B\left(J,V\right)$
\item Integrieren ist eine Lineare Abbildung:\\
$\int_{a}^{b}\left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right)dt=\int_{a}^{b}\left(f\left(t\right)\right)dt+\int_{a}^{b}\left(g\left(t\right)\right)dt$\\
$\int_{a}^{b}\left(\lambda\cdot g\left(t\right)\right)dt=\lambda\cdot\int_{a}^{b}\left(g\left(t\right)\right)dt$
\item $\left\Vert \int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right\Vert \le\int_{a}^{b}\left\Vert f\left(t\right)\right\Vert dt\le\int_{a}^{b}\left\Vert f\right\Vert _{\infty}dt=\left(b-a\right)\cdot\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$
\item Stetige Funktionen sind Regelfunktionen\\
$C\left(J,V\right)\subseteq R\left(J,V\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Lineare Abbildung und Integral}

Ist $\varphi:V\rightarrow\mathbb{R}$ linear und stetig, so gilt \[
\varphi\left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right)=\int_{a}^{b}\varphi\left(f\left(t\right)\right)dt\]


Im $\mathbb{R}^{n}$ mit $f:J\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ und\[
f\left(t\right)=\left(f_{1}\left(t\right),\ldots,f_{n}\left(t\right)\right)so\]
gilt\[
\int_{a}^{b}\left(t\right)dt=\left(\int_{a}^{b}f_{1}\left(t\right)dt,\ldots,\int_{a}^{b}f_{n}\left(t\right)dt\right)\]


Sind $V,W$ Banachräume, dann gilt für $\varphi:V\rightarrow W$ linear
und stetig \[
\varphi\left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right)=\int_{a}^{b}\varphi\left(f\left(t\right)\right)dt\]


Insbesondere: Sind $X,Y$ Banachräume, $f:J\rightarrow\underbrace{\mathcal{L}\left(X,Y\right)}_{Banachraum}$
Regelfunktion, so gilt für jedes $x\in X$\[
\left(\int_{a}^{b}f\left(s\right)ds\right)\left(x\right)=\int_{a}^{b}f\left(s\right)\left(x\right)ds\]
denn die Abbildung $f\left(s\right)\mapsto f\left(s\left(x\right)\right)$
ist linear.


\subsubsection{Ableitung eines Integrals}

Ist $f:J\rightarrow V$ stetig, $t_{0}\in\left(a,b\right)=J$, so
ist \[
c\left(t\right)=\int_{t_{0}}^{t}f\left(s\right)ds\]
 eine $C^{1}$-Kurve, mit Ableitung $\dot{c}\left(t\right)=f\left(t\right)$.
Für $t<t_{0}$ ist $\int_{t_{0}}^{t}f\left(s\right)ds=-\int_{t}^{t_{0}}f\left(s\right)ds$.

\begin{itemize}
\item Für eine $C^{1}$-Kurve gilt insbesondere\\
$c\left(t_{1}\right)-c\left(t_{0}\right)=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\dot{c}\left(s\right)ds$
\end{itemize}

\subsubsection{Mittelwertsatz\index{Mittelwertsatz der Integralrechnung} der Integralrechnung
in Vektorräumen}

Seien $V,W$ Banachräume, $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$
$C^{1}$-Abbildung. Sei $u\in U$ und $v\in V$ so, dass $u+v\cdot s\in U$
für alle $s\in\left[0,1\right]$. Dann gilt\begin{eqnarray*}
f\left(u+v\right)-f\left(u\right) & = & \int_{0}^{1}Df\left(u+v\cdot s\right)\left(v\right)ds\\
 & = & \left(\int_{0}^{1}Df\left(u+v\cdot s\right)ds\right)\left(v\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Sind $V,W$ Banachräume, $u\in U\subseteq V$, $U$ offen, $u+h\in B_{r}\left(u\right)\subseteq U$,
so gilt\[
{\scriptstyle \left\Vert f\left(u+h\right)-f\left(u\right)\right\Vert \le\left\Vert h\right\Vert \cdot\sup\left\{ Df\left(u+h\cdot t\right)|0\le t\le1\right\} }\]
falls $\left\{ u+v\cdot s|s\in\left[0,1\right]\right\} \subseteq U$
\end{itemize}

\subsection{Invertieren von Funktionen}


\subsubsection{von Neumannsche Reihe\index{Neumannsche Reihe}\index{von Neumannsche Reihe}\index{Invers}
- Inverses}

Sei $V$ ein Banachraum, $f\in\mathcal{L}\left(V,V\right)$ mit $\left\Vert f\right\Vert <1$.
Dann hat die lineare Abbildung $\left(\textrm{id}_{v}-f\right):v\mapsto v-f\left(v\right)$
ein stetiges Inverses nämlich\[
\left(\textrm{id}_{V}-f\right)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}f^{k}\]
mit $f^{0}:=\textrm{id}_{V}$ und $f^{k}=\underbrace{f\circ f\circ\ldots\circ f}_{k-\textrm{mal}}$. 


\subsubsection{Gruppe von invertierbaren linearen Abbildungen}

Sei $V$ ein Banachraum, \[
Gl\left(V\right)=\left\{ f\in\mathcal{L}\left(V,V\right)|f\textrm{ hat stetiges Inverses}\right\} \]
Dann ist $Gl\left(V\right)$ eine Gruppe (bzgl Komposition von Abbildungen
und \emph{offen} in $\mathcal{L}\left(V,V\right)$.\index{Gl(V)}

\begin{itemize}
\item Die Abbildungen $\left(g,h\right)\mapsto g\circ h$ und $g\mapsto g^{-1}$
sind stetig in $Gl\left(V\right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Satz vom lokalen Inversen\index{lokales Inverses}\index{Invers}}

Sei $V,W$ Banachräume, $U\subseteq V$ offen $f:U\rightarrow W$
$C^{1}$-Funktion, $u\in U$. Falls $Df\left(u\right):V\rightarrow W$
bijektiv ist, dann gibt es $r>0$ eine $C^{1}$-Funktion $g:B_{r}^{W}\left(f\left(u\right)\right)\rightarrow V$,
so dass \begin{eqnarray*}
\left(g\circ f\right)\left(v\right) & = & v\\
\left(f\circ g\right)\left(w\right) & = & w\end{eqnarray*}
an Stellen wo dieses Sinn macht gilt (Definitionsbereiche!).

\begin{itemize}
\item Nahe bei $u$ lässt sich die Gleichung $f\left(v\right)=w$ eindeutig
und stetig differenzierbar nach $v$ auflösen.
\end{itemize}

\subsubsection{Notation für implizite Funktionen}

Sind $X,Y,Z$ Banachräume, $U\subset X,V\subset Y$ offen. \begin{eqnarray*}
f:U\times V & \rightarrow & Z\\
f\left(x,y\right) & = & z\end{eqnarray*}
sei $C^{1}$-Funktion, so ist $Df\left(x,y\right):X\times Y\rightarrow Z$
linear. Schreibe für $a\in X,b\in Y$\begin{eqnarray*}
Df\left(x,y\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\end{array}\right) & = & \left(D_{1}f\left(x,y\right),D_{2}f\left(x,y\right)\right)\left(\begin{array}{c}
a\\
b\end{array}\right)\\
 & = & D_{1}f\left(x,y\right)\left(a\right)+D_{2}f\left(x,y\right)\left(b\right)\end{eqnarray*}


\begin{itemize}
\item Diese Schreibeise geht auf die Verwendung von Blockmatrizen zurück
\end{itemize}

\subsubsection{Satz über implizite Funktionen}

Seien $X,Y,Z$ Banachräume, $U\subseteq X,V\subseteq Y$ offen, $f:U\times V\rightarrow Z$
sei $C^{1}$-Funktion, sei $\left(u,v\right)\in U\times V$.

Falls $D_{2}f\left(u,v\right):Y\rightarrow Z$ ein Isomorphismus ist,
so gibt es $\hat{U}\subseteq U$ offen, $g:\hat{U}\rightarrow V$
$C^{1}$-Funktion mit $g\left(u\right)=v$, so dass $f\left(x,g\left(x\right)\right)=f\left(u,v\right)$
gilt für alle $x\in\hat{U}$.

\begin{itemize}
\item Man kann die Gleichung $f\left(x,y\right)=const$ nahe $u$ nach $y$
auflösen
\item Isomorphismus $\Leftrightarrow$ $\det\left(\left[D_{2}f\left(x,v\right)\right]\right)\neq0$
\item Wenn ich die Gleichung $f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=k$ nach
$x_{i}$ auflösen will, muss ich testen, ob $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\neq0$
ist. Falls $f$ vektorwertig ist, muss dieses für jedes $f_{i}$ aus
$f=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)$ gelten.
\end{itemize}

\subsubsection{Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matizen}

Ist $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ symmetrisch (d.h. $A=A^{T}$), so
gibt es eine Orthonormalbasis $b_{1},\ldots,b_{n}$ des $\mathbb{R}^{n}$
aus Eigenvektoren von $A$. Bzgl. dieser Basis hat $A$ also Diagonalgestalt
mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.

\begin{itemize}
\item Dies ist \emph{nur} über $\mathbb{R}$ richtig, nicht z.B. über $\mathbb{Q}$
\end{itemize}

\subsubsection{Ableitung einer Impliziten Funktion}

Sei $F:V\times W\rightarrow Z$ differenzierbare Funktion, $g:V\rightarrow W$
ebenfalls differenzierbar und es gelte $f\left(x,g\left(x\right)\right)=0$
für alle $x\in V$. An allen anderen Punkten $x_{0}\in V$ an denen
$D_{2}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)$ invertierbar ist gilt
\[
Dg\left(x_{0}\right)=-D_{2}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)^{-1}D_{1}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)\]


\begin{itemize}
\item Geht auch, wenn $f\left(x,g\left(x\right)\right)=c$ für festes $c\in Z$
ist.
\end{itemize}

\section{Funktionenreihen}


\subsection{Taylorreihe}


\subsubsection{Definition}

Ist $f$ eine unendlich oft differenzierbare Funktion (glatt), betrachte
ihre \emph{Taylorreihe}\index{Taylorreihe}\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{\left(n\right)}\left(0\right)x^{n}\]
 im Entwicklungspunkt $0$.

Falls $f$ Potenzreihe ist, stimmt sie mit ihrer Taylorreihe überein.

\begin{itemize}
\item Die Taylorreihe liefert nicht immer die richtige Funktionsreihe zurück
\end{itemize}

\subsubsection{\label{sub:Taylor-endlich}Entwicklung mit endlicher Summe}

Sei $U\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall, $x_{0}\in U$. Dann
gilt auf einem Intervall $\left(x_{0}-r,x_{0}+r\right)\subseteq U$\[
f\left(x_{0}+t\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}f^{\left(i\right)}\left(x_{0}\right)t^{i}+R_{n+1}\left(t\right)\]
 mit \[
R_{n+1}\left(t\right)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{t}\left(t-s\right)^{n}f^{\left(n+1\right)}\left(x_{0}+s\right)ds\]


falls $f\in C^{n+1}\left(U,\mathbb{R}\right)$. 


\subsubsection{Fehlerabschätzung}

Ist $f\in C^{n+1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ wie in \vref{sub:Taylor-endlich},
so gibt es $\eta:\left(-r,r\right)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig mit
$\eta\left(0\right)=0$ und \[
f\left(x_{0}+t\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}f^{\left(i\right)}\left(0\right)t^{i}+\eta\left(t\right)t^{n}\]



\subsubsection{Vektorwertige Funktionen}

$U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$ $C^{n+1}$-Funktion.\begin{eqnarray*}
f\left(u+h\right) & = & f\left(u\right)+Df\left(u\right)\left(h\right)+\frac{1}{2}D^{2}f\left(u\right)\left(h,h\right)\\
 &  & +\ldots+\frac{1}{n!}D^{n}f\left(u\right)\left(\underbrace{h,\ldots,h}_{n-\textrm{mal}}\right)\\
 &  & +R_{n+1}\left(h\right)\end{eqnarray*}
mit\[
{\scriptstyle R_{n+1}\left(h\right)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}D^{n+1}f\left(u+h\cdot s\right)\left(\underbrace{h,\ldots,h}_{n+1-\textrm{mal}}\right)\left(1-s\right)^{n}ds}\]



\subsection{Fourierreihe}


\subsubsection{Orthonormalsystem}

Sei $\left(V,h\right)$ Hilbertraum (d.h. $V$ ist Vollständig, bzgl
Norm $\left\Vert v\right\Vert =\sqrt{h\left(v,v\right)}$). Eine Teilmenge
$B\subseteq V$, $B=\left\{ b_{i}|i\in I\right\} $ heißt \emph{Orthonormalsystem}\index{Orthonormalsystem}
(ONS\index{ONS}), falls \[
h\left(b_{i},b_{j}\right)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & \textrm{falls }i=j\\
0 & \textrm{sonst}\end{cases}\]


Ein ONS heißt \emph{vollständig\index{vollständig}}, fallss der von
$B$ erzeugte Unterraum $W=\textrm{span}\left(B\right)$ \emph{dicht\index{dicht}}
ist, d.h. falls $\overline{W}=V$.

\begin{itemize}
\item Jeder Hilbertraum hat ein vollständiges ONS
\end{itemize}

\subsubsection{Fourrierkoeffizienten}

ISt $v\in V$ und ist $B$ vollständiges ONS, so heißen die Zahlen
$v_{i}=h\left(v,b_{i}\right)$ \emph{Fourierkoeffizienten\index{Fourierkoeffizienten}}
von $V$. Für $I=\mathbb{N}$ konvergiert dann\[
v=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}v_{k}\]
gegen $v$.


\subsubsection{Fourierentwicklung mit Trigonometrischen Funktionen}

Sei $V=C\left(\left[-\pi,\pi\right],\mathbb{R}\right)$ und $h\left(f,g\right)=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(s\right)g\left(s\right)ds$
ist inneres Produkt auf $V$. Leider ist $V$ \emph{kein} Hilbertraum,
aber er lässt sich zu einem Hilbertraum $\left(\hat{V},\hat{h}\right)$
vervollständigen (Dafür würde man einen anderen Integralbegriff benötigen).

Betrachte\begin{eqnarray*}
b_{0}\left(t\right) & = & \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\\
b_{2k}\left(t\right) & = & \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos\left(kt\right)\\
b_{2k+1}\left(t\right) & = & \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin\left(kt\right)\end{eqnarray*}


Die Menge $\left\{ b_{k}|k\in\mathbb{N}\right\} $ist ein vollständiges
ONS.

Für $f\in\hat{V}$ (insbesondere für $f\in V$) betrachte die Fourierkoeffizienten
\[
h\left(f,b_{n}\right)=f_{n}=\int_{-\pi}^{\pi}f\left(s\right)b_{n}\left(s\right)ds\]
die zugehörige Fourierreihe ist\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\left(t\right)f_{k}\]
 sie konvergiert in $\hat{v}$ gegen $f$ bzgl. der durch $\hat{h}$
gegebenen Norm.

\begin{itemize}
\item Das bedeutet i.a. keine punktweise Konvergenz der Fourierreihe gegen
die Funktion.
\item Sägezahn\index{Sägezahn}, konvergiert punktweise\[
\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\left(\left(2k+1\right)\cdot t\right)}{\left(2k+1\right)^{2}}\]

\item Rechteck\index{Rechteck}, konvergiert gleichmässig\[
f\left(t\right)=\textrm{sign}\left(t\right)=\begin{cases}
1 & \textrm{für }t>0\\
0 & \textrm{für }t=0\\
-1 & \textrm{für }t<0\end{cases}\]
\[
f\left(t\right)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\left(\left(2k+1\right)\cdot t\right)}{2k+1}\]

\end{itemize}

\subsubsection{Konvergenzkriterium}

Ist $f\in C\left(\left[-\pi,\pi\right],\mathbb{R}\right)$ Lipschitzstetig
(insbesondere $C^{1}$-Funktion), so konvergiert die Fourierreihe
\emph{punktweise} gegen $f$.

Ist $f$ sogar $C^{2}$-Funktion, dann konvergiert die Fourrierreihe
\emph{gleichmässig} gegen $f$.

\printindex{}
\end{document}