Mengen

In der Sprache der Mengenlehre gibt es nur ein fundamentales Zeichen: $\in$

• $\in$ ``ist Element von''
• $x\in y$ ``$x$ ist Element von $y$''
• $x\notin y$ ``$x$ ist nicht Element von $y$''

Vereinbarung: schreibe $A\subseteq X$ ($A$ ist Teilmenge von $X$) falls für jedes $a\in A$ gilt $a\in X$.

Mengen werden nach bestimmten Spielregeln gebaut, den Zermelo-Fraenkel-Axiomen (ZFC (c wie choice)):

1. $\left(Ex\right)$ Es gibt Mengen
2. $\left(Ext\right)$ Zwei Mengen sind gleich, falls sie die gleichen Elemente haben: $X\subseteq Y\wedge Y\subseteq X\Rightarrow X=Y$
3. $\left(Aus\right)$ Ist $X$ eine Menge, $\varphi$ eine Formel (Bedingung), so ist $\left\{ x\in X\vert\varphi\left(x\right)\textrm{ gilt}\right\}$ ebenfalls eine Menge (eine Teilmenge von $X$).
   • Die leere Menge ist definiert durch $\emptyset=\left\{ \right\} :=\left\{ x\in X\vert x\neq x\right\}$
   • Der Durchschnitt (Schnittmenge) $X\cap Y=\left\{ x\in X\vert x\in Y\right\}$
   • Disjunkt heißen zwei Mengen, wenn $X\cap Y=\emptyset$
   • Das Komplement $X\backslash Y=X-Y=\left\{ x\in X\vert x\notin Y\right\}$
   • Die symmetrische Differenz $A\triangle B=A\backslash B\cup B\backslash A$
4. $\left(Paar\right)$ Sind $X,Y$ Mengen, dann gibt es eine Menge $Z$, deren Elemente genau $X$ und $Y$ sind. (entsprechend mit mehr als 2 Mengen)
5. $\left(Ver\right)$ Ist $X$ eine Menge, so gibt es eine Menge $Z$, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von $X$ sind, $Z=\bigcup X=\left\{ z\vert\exists x\in X:z\in x\right\}$
   • Die Vereinigung von zwei Mengen lässt sich auch so schreiben: $X\cup Y=\bigcup\left\{ X,Y\right\}$
   • Für die Vereinigung von disjunkten Mengen $X,Y$ schreibe auch $X\dot{\cup}Y$
6. $\left(Pot\right)$ Ist X eine Menge, so gibt es eine Menge, deren Elemente genau die Teilmengen von $X$ sind, die Potenzmenge $\mathcal{P}\left(X\right)=\left\{ Y\vert Y\subseteq X\right\}$.
   • $\emptyset\in\mathcal{P}\left(X\right)$
   • $X\in\mathcal{P}\left(X\right)$
   • $\mathcal{P}\left(\emptyset\right)=\left\{ \emptyset\right\}$
   • Ist $X$ endlich mit $n$ Elementen, so hat die Potenzmenge $2^{n}$ Elemente
   • Ist $X$ endlich mit $n$ Elementen, so gibt es genau $\left({{n\atop k}}\right)$ $k$-elementige Mengen in der Potenzmenge von $X$ (bzw. $k$-elementige Teilmengen in $X$)
7. $\left(Fund\right)$ Es gibt keine bodenlosen Mengen. Ist $X$ eine nichtleere Menge, so gibt es ein $Y\in X$ mit $X\cap Y=\emptyset$
   • für keine Menge $X$ kann gelten $X\in X$
   • Die ``Russelmenge'' $R=\left\{ M\vert M\notin M\right\}$ ist nach den Axiomen keine Menge.
8. $\left(Inf\right)$ Es gibt unendliche Mengen.
9. $\left(Ers\right)$ Ist $\varphi\left(x,y\right)$ eine Formel, die einer Menge $x$ eine neue Menge $y$ zuordnet, und ist $X$ eine Menge, so ist auch $\left\{ y\vert x\in X\wedge\varphi\left(x,y\right)\right\}$ eine Menge.
10. $\left(Choice\right)$ Ist $X$ eine nichtleere Menge mit der Eigenschaft, dass alle Elemente von $X$ disjunkt sind, so gibt es eine Menge $Z$, die mit jedem Element von $X$ genau ein Element gemeinsam hat. (Teilweise umstrittenes Axiom)

Rechenregeln für Mengen

• Komplementbildung
  Sei $A\subseteq M$ dann ist $A^{c}=M\backslash A$
• Distributivgesetz
  $A\cap\left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup\left(A\cap C\right)$
  $A\cup\left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap\left(A\cup C\right)$
• de Morgan'sch Regel
  $\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
  $\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

Paare

Ein geordnetes Paar $\left(x,y\right)$ hat eine erste Komponente $x$ und eine zweite Komponente $y$. In der Sprache der Mengenlehre setzt man $\left(x,y\right)=\left\{ \left\{ x\right\} ,\left\{ x,y\right\} \right\}$. Es gilt $\left(x,y\right)=\left(x',y'\right)$ genau dann, wenn $x=x'$ und $y=y'$.

Das kartesische Produkt $X\times Y$ zweier Mengen $X,Y$ ist $\left\{ \left(x,y\right)\vert x\in X\wedge y\in Y\right\}$. Ist $X=Y$ schreibt man $X\times X=X^{2}=\left\{ \left(x_{1},x_{2}\right)\vert x_{1},x_{2}\in X\right\}$. Dieses lässt sich Iterrieren zu Produkten $\left(\ldots\left(X_{1}\times X_{2}\right)\times\ldots\right)\times X_{n}$. Die Klammern sind nicht wichtig, wir lassen sie weg. Ist $X=X_{1}=\ldots=X_{n}$, schreiben wir $X^{n}=\underbrace{X\times\ldots\times X}_{n-mal}$. Die Elemente dieser Menge heißen $n$-Tupel.

Intervalle

Sei $a,b\in\mathbb{R},a\le b$.

Die Menge $\left[a,b\right]=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a\le x\le b\right\}$ heißt abgeschlossenes endliches Intervall (abgeschlossenes beschränktes Inervall).

Die Menge $\left(a,b\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}\vert a<x<b\right\}$ heißt offenes endliches Intervall.

• andere Schreibweise auch gebäuchlich: $\left(a,b\right)=\left]a,b\right[$

$\varepsilon$-Umgebung

Für $\varepsilon>0$ heißt die Menge $U_{\varepsilon}\left(x\right)=\left(x-\varepsilon,x+\varepsilon\right)$ $\varepsilon$-Umgebung von $x$.

offene Menge

Eine Menge $X$ heißt offen, falls es zu jedem Punkt $x\in X$ eine $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon}\left(x\right)$ gibt, welche ganz in $X$ liegt. Mit Qantoren:

$$\forall x\in X\exists\varepsilon>0:U_{\varepsilon}\left(x\right)\subseteq X$$

• $\mathbb{R},\emptyset,\left(a,b\right),\left(a,b\right)\cup\left(c,d\right)$ sind offene Mengen
• $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\left[a,b\right]$ sind nicht offen