Relationen

Relationen sind Eigenschaften von Elementen von Mengen bzw. von $n$-Tupeln. Sie sind entweder erfüllt oder nicht erfüllt. Diese Eigenschaft wird repräsentiert durch das Element sein in einer entsprechenden Teilmenge oder nicht Element sein.

Einstellige Relationen

Eine einstellige Relation einer Menge $X$ ist eine Teilmenge $R\subseteq X$, schreibe $R\left(x\right)$ für $x\in R$.

zweistellige Relationen

Eine Teilmenge $R\subseteq X\times Y$ heißt zweistellige Relation. Schreibe $xRy$ falls $\left(x,y\right)\in R$.

Eine zeistellige Relation $R\subseteq X^{2}$ heißt

reflexiv

falls $\forall x\in X:xRx$

symmetrisch

falls $xRy\Rightarrow yRx$

transitiv

falls $xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$

Äquivalenzrelation

falls sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

• Die Menge $\left[x\right]=\left[x\right]_{R}=\left\{ y\in X\vert xRy\right\}$ heißt Äquivalentzklasse von $x$. Setze $X/R=\left\{ \left[x\right]_{R}\vert x\in X\right\}$, gesprochen ``$X$ mod $R$'', ist die Menge aller Äquivalenzklassen.

Ordnungsrelationen

siehe sub:(Ordnungs-)-Relationen

$n$-stellige Relationen

Eine Teilmenge $R\subseteq X_{1}\times\ldots\times x_{n}$ heißt $n$-stellige Relation. Schreibe $R\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ falls $\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in R$.