Folgen

Folge

Es sei $I\subseteq\mathbb{N}$ eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung $c:I\rightarrow\mathbb{R},i\mapsto c\left(i\right)=c_{i}$. $I$ ist die Indexmenge der Folge, die Zahlen $c_{i}$ heißen Folgenglieder der Folge. Schreibe auch $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$.

• $c_{i}=r$ ist eine konstante Folge

Konvergenz

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ konvergiert gegen eine Zahl $r$, falls es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\left\vert c_{l}-r\right\vert\leq\varepsilon$ für alle $l\in I$ mit $l\geq n$ gilt. Mit Quantoren ausgedrückt:

$$\lim_{i\in I}c_{i}=r\Leftrightarrow$$

$${\scriptstyle \forall\varepsilon\in\mathbb{R},\varepsilon>0:\exis... ...\mathbb{N}:\forall l\in I,l\geq n:\left\vert c_{l}-r\right\vert\leq\varepsilon}$$

Für diesen Grenzwert $r$ schreiben wir

$$\lim_{i\in I}c_{i}=r$$

Eine Folge mit dem Grenzwert 0 nennen wir Nullfolge.

• Wenn eine Folge konvergiert, nennt man sie konvergent, anderenfalls divergent.
• Eine Folge konvergiert gegen höchstens eine Zahl
• Für Grenzwert auch andere Schreibweisen gebräuchlich: $\lim_{i\rightarrow\infty}c_{i}=r$
• Umformulierung des Satzes: $\lim_{i\in I}c_{i}=r\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon\i... ...s n\in\mathbb{N}:\forall l\geq n:\left\vert c_{l}-r\right\vert\leq k\varepsilon$
• Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt

Beschränkt

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ heißt beschränkt, falls es Zahlen $k,K\in\mathbb{R}$ gibt mit $k\leq c_{i}\leq K$ für alle $i\in I$. Äquivalent dazu: Es gibt ein $l\in\mathbb{R}$ mit $\left\vert c_{i}\right\vert\leq l$ für alle $i\in I$.

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Monotonie

Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ heißt

• monoton wachsend falls $c_{i}\leq c_{j}$
• streng monoton wachsend falls $c_{i}<c_{j}$
• monoton fallend falls $c_{i}\geq c_{j}$
• streng monoton fallend falls $c_{i}>c_{j}$

für alle $i<j$ gilt.

Ist die Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ monoton wachsend (fallend) und beschränkt, dann konvergiert sie.

• Bei monoton wachsenden konvergenten Folgen gilt $\lim_{i\in I}c_{i}=\sup\left\{ c_{i}\vert i\in I\right\}$
• Bei monoton fallenden konvergenten Folgen gilt $\lim_{i\in I}c_{i}=\inf\left\{ c_{i}\vert i\in I\right\}$

Kombination von Folgen

Seien $\left(a_{n}\right)_{n\in I}$ und $\left(b_{n}\right)_{n\in I}$ konvergent mit $\lim_{n\in I}a_{n}=a$ und $\lim_{n\in I}b_{n}=b$. Betrachte die Summenfolge $\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in I}$ und Produktfolge $\left(a_{n}b_{n}\right)_{n\in I}$. Es gilt

$$\lim_{n\in I}\left(a_{n}+b_{n}\right) = a+b$$

$$\lim_{i\in I}\left(a_{n}b_{n}\right) = ab$$

Falls $a\neq0\neq a_{n}$ für alle $n\in I$ gilt, folgt

$$\lim_{n\in I}\left(\frac{1}{a_{n}}\right)=\frac{1}{a}$$

• Die Menge der konvergenten Folgen $\mathcal{F}$ bildet einen Vektorraum. Die Grenzwertbildung ist ein lineares Funktional auf $\mathcal{F}$, das heist, dass $\lim:\mathcal{F}\rightarrow\mathbb{R}$ eine lineare Abbildung ist.

Häufungspunkt

Eine Zahl $r$ heißt Häufungspunkt der Folge $\left(c_{n}\right)_{n\in I}$, falls für jedes $\varepsilon>0$ die Menge $\left\{ n\in I\vert\left\vert c_{n}-r\right\vert\leq\varepsilon\right\}$ unendlich ist.

• Jeder Grenzwert ist ein Häufungspunkt
• Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert.
• Eine Zahl $r$ ist Häufungspunkt der Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ genau dann, wenn es eine Teilfolge gibt, die gegen $r$ konvergiert.

Teilfolge

Ist $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ eine Folge, und ist $J\subseteq I$ unendlich, so heißt die Folge $\left(c_{j}\right)_{j\in J}$ Teilfolge der urspünglichen Folge.

Satz von Bolzano - Weierstrass

Jede beschränkte Folge auf einem Ring / Körper der die Supremumseigenschaft erfüllt (z.B. $\mathbb{R}$) hat mindestens einen Häufungspunkt.

• Jede beschränkte Folge hat eine konvergente Teilfolge

Größter / Kleinster Häufungspunkt

Der größte Häufungspunkt der beschränkten Folge $\left(c_{n}\right)_{n\in I}$ nennt man Limes superior:

$$\limsup_{i\in I}c_{i}=\overline{\lim}_{i\in I}c_{i}$$

Der kleinste Häufungspunkt heißt Limes inferior:

$$\liminf_{i\in I}c_{i}=\underline{\lim}_{i\in I}c_{i}$$

• Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.
  $$\lim_{i\in I}c_{i}\Rightarrow\liminf_{i\in I}c_{i}=\limsup_{i\in I}c_{i}$$

Wichtige Folgen

Harmonische Folge

$\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ $\lim_{n}\frac{1}{n}=0$

Konstante Folge

$\left(k\right)_{i\in\mathbb{N}}$ $\lim_{n}k=k$

geometrische Folge

$\left(q^{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\wedge\left\vert q\right\vert<1$ $\lim_{n}q^{k}=0$