Ist ein (kommutativer) Ring, eine nichtleere Teilmenge mit
Dann ist der Faktorring mit mit den Verknüpfungen
Setze . Sei und mit den Verknüpfungen
ist ein Körper, d.h. wir können dividieren.
Sei , gesucht: mit . Es gilt, dass d.h. ist keine Nullfolge. Insbesondere ist für fast alle . Setze . Dann ist für fast alle . Also ist diese das gesuchte Inverse zu .
Sei
Seien die positiven reellen Zahlen. . Damit gilt
Wir definieren eine Ordnung ``'' auf durch: . Dann ist ein angeordneter Körper und es gelten die Eigenschaften aus sub:angeordneterRing/Koerper.
ist archimedisch, d.h für jedes lässt sich ein finden, so dass gilt.
hat die Supremumseigenschaft, d.h. jede beschränkte Teilmenge von hat auch eine kleinste obere Schranke. Zu jedem findet man eine obere Schranke für mit für ein . Dann bilden die eine rationale Cauchy-Folge, und ist die kleinste obere Schranke für , das gesuchte Supremum.
Ist ein angeordneter Körper mit der Supremumseigenschaft, dann gibt es genau einen Isomorphismus . Dieser ist wie folgt definiert.