Cauchy Folgen

Definition

Sei $R$ ein angeordneter Ring oder Körper (z.B. $R=\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$). Eine Folge $\left(c_{i}\right)_{i\in I}$ in $R$ heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge falls es zu jedem $\varepsilon\in R$ mit $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\left\vert c_{l}-c_{m}\right\vert\leq\varepsilon$ für alle $l,m\geq n$.

$$\forall0<\varepsilon\in R:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l,m\geq n:\left\vert c_{l}-c_{m}\right\vert\leq\varepsilon$$

• Eine Folge in $\mathbb{R}$ (bzw. einem Körper mit der Supremumseigenschaft) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
• Cauchy Folgen sind immer beschränkt.

Vollständig

Der angeordnete Ring / Körper heißt (folgen-) vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in $R$ auch konvergent ist.

• Wenn $R$ die Supremumseigenschaft hat, ist $R$ auch vollständig.
• $\mathbb{Z},\mathbb{R}$ sind vollständig
• $\mathbb{Q}$ ist nicht vollständig