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Subsections

Stetigkeit


Definition

Sei $ A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Folge von Elementen $ \left(a_{n}\right)_{n\in I}$ von Elementen aus $ A$ konvergiert in $ A$, falls sie gegen ein Element $ a\in A$ konvergiert.

Es sei $ f:A\rightarrow\mathbb{R}$ eine Abbildung. Wir sagen $ f$ ist stetig im Punkt $ a\in A$, falls folgendes gilt: Für jede Folge $ \left(a_{n}\right)_{n\in I}$, die in $ A$ gegen $ a$ konvergiert, gilt $ \lim_{n\in I}f\left(a_{n}\right)=f\left(a\right)$.

Äquivalent dazu ist

$\displaystyle {\scriptstyle \forall a\in A:\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:U_{\delta}\left(a\right)\subseteq U_{\varepsilon}\left(f\left(a\right)\right)}$

Falls $ f$ in jedem Punkt $ a\in A$ stetig ist, heißt $ f$ stetig.

Reelle Algebren

Für $ A\subseteq\mathbb{R}$ sei $ \mathbb{R}^{A}$ die Menge aller Abbildungen $ A\rightarrow\mathbb{R}$. Für $ f,g\in\mathbb{R}^{A}$ und $ r\in\mathbb{R}$ schreibe

  1. $ f+g:x\mapsto f\left(x\right)+g\left(x\right)$
  2. $ f\cdot g:x\mapsto f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$
  3. $ r\cdot f:x\mapsto r\cdot f\left(x\right)$
Mit 1. und 3. ist $ \mathbb{R}^{A}$ ein reeller Vektorraum, die Vektoren sind Funktionen. Mit 1. und 2. ist $ \mathbb{R}^{A}$ ein kommutativer Ring (das Einselement ist die Funktion $ x\mapsto1$). Beides zusammen sagt, dass $ \mathbb{R}^{A}$eine (kommutative und assoziative) reelle Algebra ist.

stetige Funktionen

Sei $ A\subseteq\mathbb{R}$, und sei $ C\left(A,\mathbb{R}\right)$ die Menge aller stetigen Funktionen auf $ A$.

$\displaystyle C\left(A,\mathbb{R}\right)=\left\{ f\in\mathbb{R}^{A}\vert f\textrm{ ist stetig}\right\} $

$ C\left(A,\mathbb{R}\right)$ ist eine reelle Algebra.


gleichmäßig stetig

Sei $ A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Abbildung $ f:A\rightarrow\mathbb{R}$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn es zu jedem $ \varepsilon>0$ ein $ \delta>0$ gibt, so dass für alle $ u,v\in\left[a,b\right]$ mit $ \left\vert u-v\right\vert\le\delta$ gilt $ \left\vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\right\vert\le\varepsilon$. Mit Quantoren:

$\displaystyle {\scriptstyle \forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\forall u,v\in...
...\Rightarrow\left\vert f\left(u\right)-f\left(v\right)\right\vert\le\varepsilon}$

Beispiele für stetige Funktionen

Kompostion von Funktionen

Sind $ f:A\rightarrow\mathbb{R}$ und $ g:B\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, und gilt $ f\left(A\right)\subseteq B$, so ist die Hintereinanderausführung (Komposition)

$\displaystyle A\rightarrow^{f}B\rightarrow^{g}\mathbb{R}$

ebenfalls stetig. Schreibe für die Komposition $ g\circ f:x\mapsto g\left(f\left(x\right)\right)$

Einschränkung

Ist $ B\subseteq A\subseteq\mathbb{R}$, betrachte die Einschränkungsabbildung

$\displaystyle \mathbb{R}^{A}\rightarrow\mathbb{R}^{B},f\mapsto f\vert _{B}$

''$ f$ eingeschränkt auf $ B$'' mit

$\displaystyle f\vert _{B}:B\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto f\left(x\right)$

Dies ist eine lineare Abbildung denn $ \left(f+g\right)\vert _{B}=f\vert _{B}+g\vert _{B}$ und $ \left(f\cdot g\right)\vert _{B}=f\vert _{B}\cdot g\vert _{B}$ gilt. Einschränkungen von stetigen Funktionen sind stetig.


Zwischenwertsatz

Sei $ I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossnes endliches) Intervall. Sei $ f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Zu jeder Zahl $ y$ zwischen $ f\left(a\right)$ und $ f\left(b\right)$ gibt es ein $ x\in I$ mit $ f\left(x\right)=y$. Mit Quantoren:

$\displaystyle \forall y\in\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]:\exists x\in I:f\left(x\right)=y$


Umkehrfunktion

Sei $ I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossenes endliches) Intervall, $ f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend), d.h. $ r<s\Rightarrow f\left(r\right)<f\left(s\right)$ (bzw. $ r>s\Rightarrow f\left(r\right)>f\left(s\right)$). Dann hat $ f$ eine stetige Umkehrfunktion $ g:\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]\rightarrow I$. D.h. $ g\circ f=id_{I}$ und $ f\circ g=id_{\left[f\left(a\right),f\left(b\right)\right]}$.


Satz von Weierstrass

Sei $ I=\left[a,b\right]$ ein (abgeschlossenes endliches) Intervall und $ f:I\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann ist $ f\left(I\right)=J$ ebenfalls ein endliches abgeschlossenes Intervall.


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Marco Möller 14:31:11 17.12.2005