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Definition
Sei
. Eine Folge von Elementen
von Elementen aus konvergiert in ,
falls sie gegen ein Element konvergiert.
Es sei
eine Abbildung. Wir sagen
ist stetig im Punkt , falls folgendes
gilt: Für jede Folge
, die in gegen
konvergiert, gilt
.
Äquivalent dazu ist
Falls in jedem Punkt stetig ist, heißt stetig.
- Bei stetigen Funktionen gilt:
- Eine Funktion
ist stetig
genau dann, wenn man ``ihr Schaubild ohne Abzusetzen zeichnen kann''.
Für
sei
die Menge aller
Abbildungen
. Für
und
schreibe
-
-
-
Mit 1. und 3. ist
ein reeller Vektorraum, die Vektoren
sind Funktionen. Mit 1. und 2. ist
ein kommutativer
Ring (das Einselement ist die Funktion ). Beides zusammen
sagt, dass
eine (kommutative und assoziative) reelle
Algebra ist.
Sei
, und sei
die Menge aller stetigen Funktionen auf .
ist eine reelle Algebra.
gleichmäßig stetig
Sei
. Eine Abbildung
heißt gleichmäßig
stetig genau dann, wenn es zu jedem
ein
gibt, so dass für alle
mit
gilt
.
Mit Quantoren:
- Alle gleichmäßig stetigen Funktionen sind auch stetig
- Alle stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind gleichmäßig
stetig
- gleichmäßige Stetigkeit besagt anschaulich in etwa, dass die Steigung
der Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich endlich ist.
- nicht mit gleichmäßiger Konvergenz verwechseln!
- Eine Polynomfunktion ist eine Abbildung
der Form
. Polynomfunktionen
sind stetig.
-
ist stetig
- Die Wurzelfunktion ist stetig. Für
mit
wobei
die
Umkehrfunktion von ist.
- Die -Funktion ist stetig. Siehe sub:Funktionalgleichung-der-Exponentialfunktion.
Sind
und
stetig,
und gilt
, so ist die Hintereinanderausführung
(Komposition)
ebenfalls stetig. Schreibe für die Komposition
Ist
, betrachte die Einschränkungsabbildung
'' eingeschränkt auf '' mit
Dies ist eine lineare Abbildung denn
und
gilt. Einschränkungen
von stetigen Funktionen sind stetig.
Zwischenwertsatz
Sei
ein (abgeschlossnes endliches) Intervall.
Sei
stetig. Zu jeder Zahl zwischen
und
gibt es ein mit
. Mit Quantoren:
- Mithilfe der Einschränkung kann dieser Satz auch Erweitert werden
aus das Intervall
Umkehrfunktion
Sei
ein (abgeschlossenes endliches) Intervall,
stetig und streng monoton wachsend (bzw.
fallend), d.h.
(bzw.
). Dann hat
eine stetige Umkehrfunktion
.
D.h.
und
.
Satz von Weierstrass
Sei
ein (abgeschlossenes endliches) Intervall
und
stetig. Dann ist
ebenfalls ein endliches abgeschlossenes Intervall.
- Dieses besitzt folglich im Intervall ein Minimum und ein
Maximum.
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Marco Möller 14:31:11 17.12.2005