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Subsections


Funktionenfolgen

Definition

Für $ A\subseteq\mathbb{R}$ betrachten wir Folgen von Funktionen in $ \mathbb{R}^{A}$ bzw. in $ C\left(A,\mathbb{R}\right)$ d.h. Abbildungen $ L\rightarrow\mathbb{R}^{A}$ $ L\subseteq\mathbb{N}$ Indexmenge (unendlich) $ \left(f_{l}\right)_{l\in L}$. Jedes $ f_{l}$ ist also eine Abbildung $ f_{l}:A\rightarrow\mathbb{R}$.


Konvergenz

Eine Folge $ \left(f_{l}\right)_{l\in L}$ von Funktionen konvergiert punktweise gegen eine Funktion $ f$, falls gilt

$\displaystyle \forall x\in A:\lim_{l\in L}f_{l}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Eine Folge $ \left(f_{l}\right)_{l\in L}$ konvergiert gleichmäßig gegen $ f$ , falls folgendes gilt. Zu jedem $ \varepsilon>0$ gibt es ein $ n\in\mathbb{N}$ so, dass für alle $ x\in A$ und alle $ l\in L$ mit $ l\ge n$ gilt $ \left\vert f_{l}\left(x\right)-f\left(x\right)\right\vert\le\varepsilon$. Mit Quantoren:

$\displaystyle {\scriptstyle \forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall...
...l\ge n:\left\vert f_{l}\left(x\right)-f\left(x\right)\right\vert\le\varepsilon}$

Potenzreihe

Sei $ \left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge. Betrachte die stetige Funktion $ p_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ auf $ \mathbb{R}.$ Die Funktionenfolge $ \left(p_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ heißt formale Potenzreihe

und man schreibt kurz dafür $ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=\left(p_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ .

Setze $ L=\limsup_{n}\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert}$ bzw. $ L=\infty$ falls es keinen größten Häufungspunkt gibt. Setze weiter $ R=\frac{1}{L}$ falls $ L\neq0,L\neq\infty$ sonst $ R=\infty$ für $ L=0$ und $ R=0$ für $ L=\infty$. $ R$ heißt Konvergenzradius der Potzenzreihe.

Für $ \left\vert x\right\vert<R$ ist die Reihe $ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ absolut konvergent, und die Funktionsfolge $ p_{n}:x\mapsto\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$ ist gleichmäßig konvergent auf $ \left\{ x\in\mathbb{R}\vert-r<x<r\right\} $ für $ r<R$. Somit ist $ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ eine stetige Funktion für $ \left\vert x\right\vert<R$.

Für $ \left\vert x\right\vert>R$ divergiert die Potenzreihe.


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Marco Möller 14:31:11 17.12.2005