Für betrachten wir Folgen von Funktionen in bzw. in d.h. Abbildungen Indexmenge (unendlich) . Jedes ist also eine Abbildung .
Eine Folge von Funktionen konvergiert punktweise gegen eine Funktion , falls gilt
Eine Folge konvergiert gleichmäßig gegen , falls folgendes gilt. Zu jedem gibt es ein so, dass für alle und alle mit gilt . Mit Quantoren:
Sei eine Folge. Betrachte die stetige Funktion auf Die Funktionenfolge heißt formale Potenzreihe
und man schreibt kurz dafür .
Setze bzw. falls es keinen größten Häufungspunkt gibt. Setze weiter falls sonst für und für . heißt Konvergenzradius der Potzenzreihe.
Für ist die Reihe absolut konvergent, und die Funktionsfolge ist gleichmäßig konvergent auf für . Somit ist eine stetige Funktion für .
Für divergiert die Potenzreihe.