Trigonometrische Funktionen

Sinus und Cosinus

$$\cos\left(x\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{\left(2n\right)!}$$

$$= 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}+\ldots$$

$$\sin\left(x\right) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}$$

$$= x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\ldots$$

• sind konvergent für alle $x\in\mathbb{R}$
• $\cos\left(0\right)=1$
  $\sin\left(0\right)=0$
• $\cos\left(-x\right)=\cos\left(x\right)$
  $\sin\left(-x\right)=-\sin\left(x\right)$

Additionstheoreme

$$\sin\left(x+y\right) = \sin\left(x\right)\cos\left(y\right)+\cos\left(x\right)\sin\left(y\right)$$

$$\cos\left(x+y\right) = \cos\left(x\right)\cos\left(y\right)-\sin\left(x\right)\sin\left(y\right)$$

• $\cos^{2}\left(x\right)+\sin^{2}\left(x\right)=1$
• $\cos\left(2x\right)=2\cos^{2}\left(x\right)-1$
• $\cos\left(\arcsin\left(x\right)\right)=\sin\left(\arccos\left(x\right)\right)=\sqrt{1-x^{2}}$
• $\cos\left(x\right)'=-\sin\left(x\right)$
  $\sin\left(x\right)'=\cos\left(x\right)$

PI $\pi$

Die kleinste positive Nullstelle des Cosinus heißt per Definition $\frac{\pi}{2}$. Auf diese Weise definieren wir die Zahl $\pi\approx3,14519\ldots$

• $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$
  $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$
• $\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(x\right)$
  $\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x\right)$
• $\sin\left(x+\pi\right)=-\sin\left(x\right)$
  $\cos\left(x+\pi\right)=-\cos\left(x\right)$
• $\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)$
  $\cos\left(x+2\pi\right)=\cos\left(x\right)$

Hyperbolische Trigonometrische Funktionen

Cosinus Hyperbolicus

$${\scriptstyle \cosh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\exp\left(x\ri... ...+\exp\left(-x\right)\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}}$$

Sinus Hyperbolicus

$${\scriptstyle \sinh\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\exp\left(x\ri... ...p\left(-x\right)\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}}$$

• Haben ihre Namen auf grund Ihrer Ähnlichkeit zu der Sinus und Cosinusreihe
• Tangens Hyperbolicus: $\textrm{tanh}\left(x\right)=\frac{\sinh\left(x\right)}{\cosh\left(x\right)}$
• Cotangens Hyperbolicus: $\textrm{coth}\left(x\right)=\frac{\cosh\left(x\right)}{\sinh\left(x\right)}$
• Umkehrfunktionen: Arearfunktion existieren für alle Trigonometrischen Funktionen, da diese alle streng monoton und stetig sind (zumindest auf einem Teilintervall)
• $\forall n\in\mathbb{N}:\left(\sinh\left(x\right)+\cosh\left(x\right)\right)^{n}=\sinh\left(nx\right)+\cosh\left(nx\right)$
• $\cosh^{2}\left(x\right)-\sinh^{2}\left(x\right)=1$
• $1-\tanh^{2}\left(x\right)=\frac{1}{\cosh^{2}\left(x\right)}$
• $\textrm{arsinh}\left(x\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$
• $\forall x\in\left(-1,1\right):\textrm{artanh}\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
• $\sinh\left(x\right)'=\cosh\left(x\right)$
  $\cosh\left(x\right)'=\sinh\left(x\right)$
• $\cosh\left(\textrm{arcsinh}\left(x\right)\right)=\sqrt{x^{2}+1}$
  $\sinh\left(\textrm{arccosh}\left(x\right)\right)=\sqrt{x^{2}-1}$

Hermite-Polynome

Die sogenannten Hermite-Polynome $H_{n}$ sind auf ganz $\mathbb{R}$ definiert durch

$$H_{n}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}e^{x^{2}}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{-x^{2}}, n\in\mathbb{N}$$

wobei $\frac{d^{n}}{dx^{n}}f$ die $n$-te Ableitung von $f$ nach $x$ bezeichnet.

• $H_{0}=1$
  $H_{1}=2x$
  $H_{2}=4x^{2}-2$
  $H_{3}=8x^{3}-12x$
  $H_{4}=16x^{4}-48x^{2}+12$
• $H_{n+1}\left(x\right)=2xH_{n}\left(x\right)-H'_{n}\left(x\right)$
• $H_{n}'\left(x\right)=2nH_{n-1}\left(x\right)$
• $H_{n}''\left(x\right)-2xH_{n}'\left(x\right)+2nH_{n}\left(x\right)=0$
• Für $f_{n}\left(x\right)=H_{n}\left(x\right)e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ gilt $x^{2}f_{n}\left(x\right)-f_{n}''\left(x\right)=\left(2n+1\right)f_{n}\left(x\right)$
• Die $e$-Funktionen kürzen sich nach dem Ableiten herraus