Kommutativer Ring

Gegeben sei eine Menge $R$. Wir nehmen an, es gibt in $R$ zwei spezielle Elemente, die 0 (Null) und $1$ (Eins) heißen. Weiter soll es auf $R$ zwei Verknüpfungen ``$+$'' (plus) und ``$*$'' (mal) geben, die jeweils zwei Elementen $x$ und $y$ in $R$ neue Elemente $x+y$ und $x*y$ in $R$ zuordnen. Wir nennen $\left(R,0,1,+,*\right)$ einen kommutativen Ring, falls die folgenden Rechenregeln für alle $x,y,z$ in $R$ gelten.

1. Kommutativgesetze
   $\left(K_{+}\right)\; x+y=y+x$
   $\left(K_{*}\right)\; x*y=y*x$
2. Assoziativgesetze
   $\left(A_{+}\right)\;\left(x+y\right)+z$= $x+\left(y+z\right)$
   $\left(A_{*}\right)\;\left(x*y\right)*z$= $x*\left(y*z\right)$
3. Distributivgesetze
   $\left(D\right)\; x*\left(y+z\right)=\left(x*y\right)+\left(x*z\right)$
   $\left(D\right)\;\left(x+y\right)*z=\left(x*z\right)+\left(y*z\right)$
4. Existens von Neutralelementen
   $\left(N_{+}\right)\; x+0=0+x=x$
   $\left(N_{*}\right)\;1*x=x*1=x$
5. Inverses Element
   $\left(I_{+}\right)\;$zu jedem $x$ gibt es genau ein $y$ mit $x+y=0$. Schreibe $y=-x$

• $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{Z},$ sind Beispiele für kommutative Ringe. $\mathbb{N}$ ist kein Ring.
• Falls $\left(K_{*}\right)$ nicht ausdrücklich verlangt wird, spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Rechenregeln

In einem kommutativen Ring gelten folgende Rechenregeln:

• Klammern werden nur geschrieben wenn sie nicht durch die Assoziativität überflüssig gemacht werden.
• $-\left(-x\right)=x$
• aus $x+y=x$ folgt $y=0$
• $0*x=0$
• $\left(-x\right)*y=-\left(x*y\right)=x*\left(-y\right)$