Integral

Integral für Stufenfunktionen

Für eine Stufenfunktion $f$

$$f\left(x\right)=\begin{cases} y_{k} & \textrm{falls }a_{k}<x<a_{k+1}\\ w_{k} & \textrm{falls }x=a_{k}\end{cases}$$

bzgl. einer Zerlegung $Z$

$$Z=\left\{ a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b\right\}$$

definieren wir das Integral folgendermaßen:

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right) dx=\sum_{k=0}^{r-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)y_{k}$$

• $w_{k}$ spielen für das Integral keine Rolle
• Für $Z'\supseteq Z$ Verfeinerung, kommt für das Integral über $f$ bzgl. $Z'$ der gleiche Wert heraus.
• Das Integrieren ist eine lineare Abbildung. Es gilt also:
  • $\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
  • $\int_{a}^{b}\lambda f\left(x\right)dx=\lambda\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$
  • Achtung, für Produkte gilt dies nicht
• Sind $f,g$ Stufenfunktionen und gilt $\forall x\in\left[a,b\right];h_{1}\left(x\right)\le h_{2}\left(x\right)$ dann folgt: $\int_{a}^{b}h_{1}\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}h_{2}\left(x\right)dx$
• $\int_{a}^{b}\left(f-g\right)\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x... ...ft(x\right)\right\vert dx\le\left\Vert f-g\right\Vert _{\infty}\left(b-a\right)$

Regelfunktionen

Eine beschränkte Funktion $f$ heißt Regelfunktion, falls es eine Folge von Stufenfunktionen $f_{n}$ gibt, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Wir sagen dann, diese Stufenfunktion approximiert die Regelfunktion $f$. Es sei $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)<B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ die Menge aller Regelfunktionen.

• $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ ist ein (Folgen-)Vollständiger normierter Vektorraum (bzgl. $\vert\vert _{\cdot} \vert\vert _{\infty}$)
• falls $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$und $\left(g_{n}\right)_{n\in L}$ Folgen in $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$, die die gleiche Regelfunktion approximieren, so gilt $\lim_{n}\left\Vert f_{n}-g_{n}\right\Vert _{\infty}=0$
• Alle stetigen Funktionen auf endlich abgeschlossenen Intervallen sind Regelfunktionen:
  $C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
• Ist ein Ring bzg. Addition und Multiplikation.

Integral allgemein

Ist $f$ eine Regelfunktion und $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen $f$ konvergiert. Wir setzen

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{n}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx$$

• Dieser Grenzwert existiert
• Ist unabhängig von der konkreten Wahl der Stufenfunktion
• Dieser Ausdruck heißt Riemann-Integral von $f$, es gibt noch weitere Integraldefinitionen
• Sind $f,g$ Regelfunktionen mit $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$ für alle $x\in\left[a,b\right]$, so gilt $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$

Stufenfunktionsfolge zu gegebener stetiger Funktion

Die Menge

$${\scriptstyle Z_{n}=\left\{ a_{0}=a<a_{1}=a+\frac{b-a}{n}<a_{2}=a+2\frac{b-a}{n}<\ldots<a_{n}=b\right\} \subseteq\left[a,b\right]}$$

nennt sich eine äquidistante Zerlegung der Intervalls $\left[a,b\right]$. Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Die Funktionsfolge

$$f_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a_{k}\right)\chi_{\left[a_{k},a_{k+1}\right)}\left(x\right)$$

von Stufenfunktionen konvergiert gleichmäßig gegen $f$, d.h. $\lim_{n}\left\Vert f-f_{n}\right\Vert _{\infty}=0$.

Das Integral ist hiermit also:

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\lim_{n}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right)$$

• Dies ist keine praktikabele Methode zum symbolischen errechnen des Integrals, aber es ist eine Basis für numerische Verfahren.
• für manche Funktionen können auch andere Zerlegungen von Vorteil sein

Eigenschaften des Riemann-Integrals

Sei $f,g\in R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $\lambda\in\mathbb{R}$. Dann gilt:

$$\int_{a}^{b}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$$

$$\int_{a}^{b}\lambda f\left(x\right)dx=\lambda\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\left\vert\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\vert\le\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x\right)\right\vert dx$$

$$\le\int_{a}^{b}\left\Vert f\right\Vert _{\infty}dx=\left\Vert f\right\Vert _{\infty}\left(b-a\right)$$

Mittelwertsatz (MWS) der Integralrechnung

Sei $p\in R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $f\in C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und es gelte $p\left(x\right)\ge0$ für alle $x\in\left[a,b\right]$. Dann gibt es $t\in\left[a,b\right]$ mit

$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)p\left(x\right)dx=f\left(t\right)\int_{a}^{b}p\left(x\right)dx$$

• $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(t\right)\left(b-a\right)$ mit $t\in\left(a,b\right)$

Hierarchie von Funktionsräumen

• Die Pfeile $A\rightarrow B$ deuten an, dass $A\le B$ ($A$ ein Untervektrorraum von $B$ ist)
• $\left\{ \textrm{konstante Funktionen}\right\} =C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\cap\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$
• Bis auf den Raum der konstanten Funktionen sind dies alles unendlichdimensionale Vektorräume
• Zwischen $B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ und $R\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ liegen noch weitere integrierbare Funktionen, allerdings mit anderen Integraldefinitionen.
• Alle Vektorräume bis auf $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ sind vollständig bezüglich $\left\Vert \cdot\right\Vert _{\infty}$