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Subsections

Differentiation

Stetige Fortsetzung

Sei $ A\subseteq B\subseteq\mathbb{R}$. Für $ f\in C\left(B,\mathbb{R}\right)$ betrachte die Einschränkung $ f\vert _{A}:A\rightarrow\mathbb{R}:a\mapsto f\left(a\right)$ mit $ f\vert _{A}\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$. D.h. wir haben eine lineare Abbildung $ C\left(B,\mathbb{R}\right)\rightarrow C\left(A,\mathbb{R}\right):f\mapsto f\vert _{A}$.

Umgekehrte Fragestellung: gegeben $ g\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$, gibt es $ f\in C\left(B,\mathbb{R}\right)$ mit $ f\vert _{A}=g$? Dieses $ f$ wird als stetige Fortsetzung von $ g$ bezeichnet.

Häufungspunkt von Mengen

Wenn es eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n\in L}$ in $ A\backslash\left\{ b\right\} $ gibt mit $ \lim_{n}a_{n}=b$ dann heißt $ b$ Häufungspunkt der Menge $ A$.

Stetige Fortsetzung in Punkt

Ist $ b\in\mathbb{R}$ und $ A\subseteq\mathbb{R}$ und $ B=A\cup\left\{ b\right\} $, und gibt es eine Folge $ \left(a_{n}\right)_{n\in L}$ in $ A$ mit $ \lim_{n}a_{n}=b$, dann hat jedes $ f\in C\left(A,\mathbb{R}\right)$ höchstens eine stetige Fortsetzung auf $ B=A\cup\left\{ b\right\} $ mit $ f\left(b\right)=\lim_{n\in L}f\left(a_{n}\right)$.

differenzierbar

Sei $ U\subseteq\mathbb{R}$ offen, $ f\in C\left(U\rightarrow\mathbb{R}\right)$ und $ x_{0}\in U$ Die Funktion $ f$ heißt differenzierbar in $ x_{0}$, falls es ein $ \varepsilon>0$ gibt, so dass für die Funktion

$\displaystyle \left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\backslash\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{R}:h\mapsto\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$

eine stetige Fortsetzung

$\displaystyle p:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow\mathbb{R}$

existiert. $ p\left(0\right)$ nennt man die Ableitung von $ f$ im Punkt $ x_{0}$. Man schreibt hierfür

$\displaystyle p\left(0\right)=f'\left(x_{0}\right)=\dot{f}\left(x_{0}\right)=\left.\frac{df}{dx}\right\vert _{x=x_{0}}=\frac{df}{dx}\left(x_{0}\right)$

differenzierbar Umformulierung

Sei $ U\subseteq\mathbb{R}$ offen, $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, und $ x_{0}\in U$. Dann ist $ f$ in $ x_{0}$ differenzierbar genau dann, wenn es eine Konstante $ c\in\mathbb{R}$ gibt und eine stetige Funktion $ \varphi:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)$ mit $ \varphi\left(0\right)=0$

$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+c\cdot h+\varphi\left(h\right)\cdot h$

für $ \left\vert h\right\vert<\varepsilon$. Dann gilt $ f'\left(x_{0}\right)=c$

Ableitung / stetig differenzierbar

Eine Funktion $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ heißt differenzierbar, falls sie in jedem Punkt $ x\in U$ differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion

$\displaystyle f':x\mapsto f'\left(x\right)$

(erste) Ableitung von $ f$.

Falls $ f'\left(x\right)$ auch stetig ist, heißt $ f$ stetig differenzierbar.

Rechenregeln

Seien $ f,g\in C\left(U,\mathbb{R}\right)$ und in $ x_{0}\in U$ differenzierbar. Sei $ c\in\mathbb{R}$. Dann sind die folgenden Funktionen ebenfalls in $ x_{0}$ differenzierbar:

  1. $ \left(f+g\right)'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)+g'\left(x_{0}\right)$
  2. $ \left(c\cdot f\right)'\left(x_{0}\right)=c\cdot f'\left(x_{0}\right)$
  3. Produktregel
    $ \left(f\cdot g\right)'\left(x_{0}\right)=f'\left(x_{0}\right)\cdot g\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)\cdot g'\left(x_{0}\right)$
  4. Leibnizregel
    $ \frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(f\cdot g\right)=\sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}}f^{\left(k\right)}g^{\left(n-k\right)}$
  5. $ \left(\frac{f}{g}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{f'\left(x_{0}\right)g\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)g'\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)^{2}}$
  6. $ \left(\frac{1}{g}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{-g'\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)^{2}}$
  7. Ableitung der Umkehrfunktion
    $ \left(f^{-1}\right)'\left(x\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$


Struktur der Ableitung

Es sei $ C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ die Menge aller (einmal) stetig differenzierbaren Funktionen auf $ U$. $ C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ ist ein reeller Vektorraum und ein Ring (bzgl. Produkt), also eine reelle Algebra.

Die folgenden Abbildungen

$\displaystyle \frac{d}{dx}:C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C\left(U,\mathbb{R}\right):f\mapsto f'$

$\displaystyle \left.\frac{d}{dx}\right\vert _{x=x_{0}}:C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow\mathbb{R}:f\mapsto f'\left(x_{0}\right)$

sind lineare Abbildungen.


Kettenregel

Sei $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$, $ g:V\rightarrow\mathbb{R}$ und $ U,V$ offen, $ f,g$ stetig mit $ f\left(U\right)\subseteq V$. Falls $ f$ in $ x_{0}$ differenzierbar und falls $ g$ in $ y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ differenzierbar ist, so ist die Verknüpfung $ g\circ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ in $ x_{0}$ differenzierbar, mit Ableitung

$\displaystyle \left(g\circ f\right)'\left(x_{0}\right)=g'\left(f\left(x_{0}\right)\right)\cdot f'\left(x_{0}\right)$


Ableitung der Umkehrfunktion II.78

Die stetige Funktion $ f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei streng monoton und in $ x_{0}\in\left(a,b\right)$ differenzierbar mit $ f'(x_{0})\neq0$. Dann ist die Umkehrfunktion $ f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\left[a,b\right]$ in $ f(x_{0})$ differenzierbar, und es gilt

$\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(f\left(x_{0}\right)\right)=\frac{1}{f'\left(x_{0}\right)}$

bzw.

$\displaystyle \left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}$

Ist $ f$ stetig differenzierbar, dann ist auch $ f^{-1}$ stetig differenzierbar.


Extrema

$ f\left(x_{0}\right)$ heißt Extremum (Minimum / Maximum) von $ f$, falls $ f\left(x\right)\ge f\left(x_{0}\right)$ bzw. $ f\left(x\right)\le f\left(x_{0}\right)$ für alle $ x$ im Definitionsbereich gilt.

Wenn $ f$ (auf offener Menge definiert) in $ x_{0}$ ein Extremum hat, dann gilt $ f'\left(x_{0}\right)=0$ (notwendige Bedingung).

striktes lokales Minimum / Maximum

Ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar, $ f:\left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$, und gilt $ f'\left(x_{0}\right)=0$ und $ f''\left(x_{0}\right)>0$ ($ <0$), so gibt es $ r>0$, so dass $ f\left(x_{0}\right)<f\left(x\right)$ ( $ >f\left(x\right)$) für alle $ x\neq x_{0}$ mit $ \left\vert x-x_{0}\right\vert<r$ gilt. Man sagt, $ f$ hat in $ x_{0}$ ein striktes lokales Minimum (Maximum).

Monotonie

Ist $ f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar und ist $ f'\left(x_{0}\right)=c>0$ ($ <0$), dann gibt es $ r>0$, so dass $ f$ auf dem Teilintervall $ \left(x_{0}-r,x_{0}+r\right)$ streng monoton steigend (fallend) ist.


Satz von Rolle

Sei $ f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig und $ f\vert _{\left(a,b\right)}$ sei differenzierbar. Weiter gelte $ f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

Dann gibt es ein $ x_{0}$ mit $ a<x_{0}<b$ und $ f'\left(x_{0}\right)=0$


Mittelwertsatz (MWS) der Differentialrechung

Sei $ f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, $ f\vert _{\left(a,b\right)}$ sei differenzierbar.

Dann gibt es ein $ x_{0}\in\left(a,b\right)$ mit

$\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(x_{0}\right)$


gerade und ungerade Funktionen


mehrfache Ableitung / glatte Funktionen

Sei $ U\subseteq\mathbb{R}$ offen. Ist $ f\in C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ (d.h. $ f$ ist stetig differenzierbar), so kann man $ f'\in C\left(U,\mathbb{R}\right)$ auf differenzierbarkeit untersuchen. Falls $ f'$ stetig differenzierbar ist, schreibt man $ \left(f'\right)'=f''$ für die zweite Ableitung.

Induktiv definiert man so $ k$-mal stetig differenzierbare Funktionen. $ C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)$ ist der Vektrorraum der $ k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen. Man setzt

$\displaystyle C^{\infty}\infty\left(U,\mathbb{R}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)$

solche Funktionen heißen glatte Funktionen.

Setze $ C\left(U,\mathbb{R}\right)=C^{0}\left(U,\mathbb{R}\right)$. Hiermit gilt:

$\displaystyle C^{0}\left(U,\mathbb{R}\right)\supsetneq C^{1}\left(U,\mathbb{R}\right)\supsetneq\ldots\supsetneq C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)$

Der Ableitungsoperator

$\displaystyle \frac{d}{dx}:f\mapsto f'$

$\displaystyle \frac{d}{dx}:C^{k+1}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C^{k}\left(U,\mathbb{R}\right)$

$\displaystyle \frac{d}{dx}:C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)\rightarrow C^{\infty}\left(U,\mathbb{R}\right)$

ist eine lineare Abbildung zwischen diesen Vektorräumen


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Marco Möller 14:31:11 17.12.2005