Sei . Für betrachte die Einschränkung mit . D.h. wir haben eine lineare Abbildung .
Umgekehrte Fragestellung: gegeben , gibt es mit ? Dieses wird als stetige Fortsetzung von bezeichnet.
Wenn es eine Folge in gibt mit dann heißt Häufungspunkt der Menge .
Ist und und , und gibt es eine Folge in mit , dann hat jedes höchstens eine stetige Fortsetzung auf mit .
Sei offen, und Die Funktion heißt differenzierbar in , falls es ein gibt, so dass für die Funktion
Sei offen, stetig, und . Dann ist in differenzierbar genau dann, wenn es eine Konstante gibt und eine stetige Funktion mit
Eine Funktion heißt differenzierbar, falls sie in jedem Punkt differenzierbar ist. Dann heißt die Funktion
Falls auch stetig ist, heißt stetig differenzierbar.
Seien und in differenzierbar. Sei . Dann sind die folgenden Funktionen ebenfalls in differenzierbar:
Es sei die Menge aller (einmal) stetig differenzierbaren Funktionen auf . ist ein reeller Vektorraum und ein Ring (bzgl. Produkt), also eine reelle Algebra.
Die folgenden Abbildungen
Sei , und offen, stetig mit . Falls in differenzierbar und falls in differenzierbar ist, so ist die Verknüpfung in differenzierbar, mit Ableitung
Die stetige Funktion sei streng monoton und in differenzierbar mit . Dann ist die Umkehrfunktion in differenzierbar, und es gilt
Ist stetig differenzierbar, dann ist auch stetig differenzierbar.
heißt Extremum (Minimum / Maximum) von , falls bzw. für alle im Definitionsbereich gilt.
Wenn (auf offener Menge definiert) in ein Extremum hat, dann gilt (notwendige Bedingung).
Ist zweimal stetig differenzierbar, , und gilt und (), so gibt es , so dass ( ) für alle mit gilt. Man sagt, hat in ein striktes lokales Minimum (Maximum).
Ist stetig differenzierbar und ist (), dann gibt es , so dass auf dem Teilintervall streng monoton steigend (fallend) ist.
Sei stetig und sei differenzierbar. Weiter gelte .
Dann gibt es ein mit und
Sei stetig, sei differenzierbar.
Dann gibt es ein mit
Sei offen. Ist (d.h. ist stetig differenzierbar), so kann man auf differenzierbarkeit untersuchen. Falls stetig differenzierbar ist, schreibt man für die zweite Ableitung.
Induktiv definiert man so -mal stetig differenzierbare Funktionen. ist der Vektrorraum der -mal stetig differenzierbaren Funktionen. Man setzt
solche Funktionen heißen glatte Funktionen.
Setze . Hiermit gilt: