Normierte Räume

Norm und Metrik

Sei $V$ ein reeller Vektorraum (über dem Körper $\mathbb{R}$) (belibiger Dimension - auch unendlich). Eine Norm auf $V$ ist eine Abbildung $\left\Vert .\right\Vert :V\rightarrow\mathbb{R},v\mapsto\left\Vert v\right\Vert$ mit folgenden Eigenschaften für alle $u,v\in V$ und alle $r\in\mathbb{R}$:

1. $\left(N1\right)$ $\left\Vert v\right\Vert \ge0$, $\left\Vert v\right\Vert =0\Leftrightarrow v=0$
2. $\left(N2\right)$ $\left\Vert r\cdot v\right\Vert =\left\vert r\right\vert\cdot\left\Vert v\right\Vert$
3. $\left(N3\right)$ $\left\Vert u+v\right\Vert \le\left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert$

Sei $\left(V,\left\Vert .\right\Vert \right)$ ein normierter Vektorraum. Setze $d\left(u,v\right)=\left\Vert u-v\right\Vert$. Dann ist $d$ eine Metrik auf $V$.

Besondere Normen

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$ und $v=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\in V$.

p-Norm

$\left\Vert v\right\Vert _{p}=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\left\vert v_{i}\right\vert^{p}}$

• für $p=\infty$ setze $\left\Vert v\right\Vert _{\infty}=\textrm{max}_{1\le i\le\infty}\left\{ \left\vert x_{i}\right\vert\right\}$

  1-Norm

  $\left\Vert v\right\Vert _{1}=\left\vert v_{1}\right\vert+\left\vert v_{2}\right\vert+\ldots+\left\vert v_{n}\right\vert$

  2-Norm

  $\left\Vert v\right\Vert _{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\ldots+v_{n}^{2}}$

  Supremumsnorm / $\infty$-Norm

  $\left\Vert v\right\Vert _{\infty}=\max\left\{ \left\vert v_{1}\right\vert,\lef... ...ht\vert,\left\vert v_{2}\right\vert,\ldots,\left\vert v_{n}\right\vert\right\}$

Im $\mathbb{R}^{n}$ gilt

$$\left\Vert u\right\Vert _{1}\ge\left\Vert u\right\Vert _{2}\ge\left\Vert u\right\Vert _{\infty}\ge\frac{1}{n}\left\Vert u\right\Vert _{1}$$

• Diese drei Normen liefern also den gleichen Konvergenzbegriff auf dem $\mathbb{R}^{n}$. D.h. wenn eine Cauchy-Folge bezüglich einem der Begriffe konvergiert, dann auch bezüglich der anderen.

Banach-Raum

Ein Banach-Raum ist ein vollständiger normierter Raum.

• $\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{1}\right)$, $\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{2}\right)$, $\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{\infty}\right)$ sind Banachräume
• $\mathbb{R}^{n}$ ist bezüglich jeder Norm ein Banachraum
• Bezüglich $\left\Vert .\right\Vert _{\infty}$ bilden $B\left(A,\mathbb{R}\right),C\left(A,\mathbb{R}\right),R\left(A,\mathbb{R}\right)$ Banachräume

(symmetrische) Bilinearform, inneres Produkt

Sei $V$ ein reeller Vektorraum, $h:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ eine Abbildung. Falls gilt:

1. $h\left(u+v,w\right)=h\left(u,w\right)+h\left(v,w\right)$
2. $h\left(u,v+w\right)=h\left(u,v\right)+h\left(u,w\right)$
3. $h\left(r\cdot u,w\right)=r\cdot h\left(u,w\right)=h\left(u,r\cdot w\right)$

so heißt $h$ Bilinearform.

Falls zusätzlich gilt: $h\left(u,v\right)=h\left(v,u\right)$ für alle $u,v$, so heißt $h$ symmetrische Bilinearform.

Wenn $h$ symmetrisch ist, und wenn $h\left(u,u\right)>0$ ist für alle $u\neq0$, so heißt $h$ inneres Produkt.

• Ein Inneres Produkt ist positiv definit.
• Eine symmetrisch positiv definite Bilinearform ist ein Inneres Produkt.
• Sei $V=\mathbb{R}^{n}$, $A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}$ eine quadratische Matrix $\left(n\times n\right)$, setze
  $$h\left(u,v\right)=\sum_{i,j=1}^{n}u_{i}a_{ij}v_{j}=u^{T}Av$$
  Das ist eine Bilinearform. Sie ist symmetrisch genau dann, wenn $A$ symmetrisch ist, d.h. $A=A^{T}$( $a_{ij}=a_{ji}$ für alle $i,j$).
• Sei $f\left(x\right)=\left\langle x,x\right\rangle =x^{T}Ax$ mit $A$ symmetrisch eine Abbildung. Dann gilt
  $df\left(x\right)\left(h\right)=2x^{T}Ah=2h^{T}Ax$
• Standard Skalarprodukt:
  Mit $A=1$ (Einheitsmatrix, $a_{ij}=\delta_{ij}$) ist $h\left(u,v\right)=\sum_{j=1}^{n}u_{i}v_{i}=u^{T}v$ ein inneres Produkt.

Norm zu innerem Produkt

Sei $V$ ein reeller Vektroraum, $h$ ein inneres Produkt. Setze $\left\Vert v\right\Vert =\sqrt{h\left(v,v\right)}$, das ist eine Norm auf $V$.

Inneres Produkt zu Norm

Sei $\left\Vert .\right\Vert$ eine Norm auf $V$. Falls es hierzu ein inneres Produkt gibt, lässt es sich wie folgt beschreiben:

$$h\left(u,v\right) = \frac{1}{2}\left(\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}-\left\Vert u\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}\right)$$

$$= \frac{1}{4}\left(\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}-\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}\right)$$

• Falls der Ausdruck auf der rechten Seite kein inneres Produkt ist, gibt es zu dieser Norm keins.
• Als Kiterium auf Gültigkeit der Parallelogrammungleichung achten.
• zu der $\left\Vert .\right\Vert _{1}$ Norm gibt es kein inneres Produkt

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Ist $h$ ein inneres Produkt auf $V$, so gilt

$$\left\vert h\left(u,v\right)\right\vert\le\sqrt{h\left(u,u\right)}\sqrt{h\left(v,v\right)}$$

Die klassische Form lautet

$$\left\vert\sum_{k=1}^{n}u_{k}v_{k}\right\vert\le\sqrt{\sum_{k=1}^{n}u_{k}^{2}}\cdot\sqrt{\sum_{k=1}^{n}v_{k}^{2}}$$

reeller Hilbert-Raum

Ist h ein inneres Produkt auf $V$, und ist V in der zugehörigen Metrik vollständig, dann heißt $\left(V,h\right)$ reeller Hilber-Raum.

• jeder Hilbert-Raum ist ein Banach-Raum.
• z.B. $\left(\mathbb{R}^{n},\left(x,y\right)\mapsto x^{T}y\right)$

Beispiel für einen unendlich dimensionalen Hilbert Raum

Sei $l^{2}\left(\mathbb{R}\right)$ der Raum aller Folgen $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $\mathbb{R}$ mit folgender Eigenschaft:

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}^{2}\textrm{ konvergiert}$$

Dies sind die quadratisch summierbaren Folgen. Das innere Produkt ist wie folgt definiert

$$h\left(a,b\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}b_{k}$$

Dies ist ein unendlich dimensionaler Hilbert-Raum.

Parallelogrammgleichung

Sei $V$ ein Normierter Vektorraum. $\left\Vert .\right\Vert$ wird genau dann von einem Inneren Produkt induziert, wenn die Parallelogrammgleichung gilt

$$\left\Vert u+v\right\Vert ^{2}+\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}=2\left\Vert u\right\Vert ^{2}+2\left\Vert v\right\Vert ^{2}$$

Weitere Ungleichungen

• Umgekehrte Dreiecksungleichung
  $\left\vert\left\Vert u\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}\right\vert\le\left\Vert u-v\right\Vert ^{2}$
• $\left\Vert u+v\right\Vert +\left\Vert u-v\right\Vert \ge\left\Vert u\right\Vert +\left\Vert v\right\Vert$