Stetige Funktionen

Stetigkeit

Seien $\left(X,d_{x}\right)$ und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Wir sagen $f$ ist stetig in $x\in X$, falls folgendes gilt:

Für jede Folge $\left(x_{j}\right)_{j\in J}$ in $X$ mit Grenzwert $\lim_{j\in J}x_{j}=x$ soll gelten $\lim_{j\in J}f\left(x_{j}\right)=f\left(x\right)$:

$$\lim_{j\in J}f\left(x_{j}\right)=f\left(\lim_{j\in J}x_{j}\right)$$

Falls $f$ in jedem Punkt $x\in X$ stetig ist, so heißt $f$ stetig. Es sei $C\left(X,Y\right)=\left\{ f:X\rightarrow Y\vert f\textrm{ ist stetig}\right\}$

• Für $Y=\mathbb{R}$ und $X\subseteq\mathbb{R}$ ist das genau der Stetigkeitsbegriff wie in sub:Stetigkeit R^1.
• $X=V$ Vektorraum mit Norm $\left\Vert .\right\Vert$, $f\left(v\right)=\left\Vert v\right\Vert$, $f:V\rightarrow\mathbb{R}$ ist stetig. Normen sind also stetige Funktionen.
• $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $u\in X$, $f\left(x\right)=d\left(x,u\right)$ ist stetig.
• $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $\mathbb{Z}=X\times X$ mit Metrik $d_{z}\left(\left(u_{1},u_{2}\right),\left(v_{1},v_{2}\right)\right)=d\left(u_{1},v_{1}\right)+d\left(u_{2},v_{2}\right)$. Damit ist $X\times X=\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}:\left(x_{1},x_{2}\right)\mapsto d_{z}\left(x_{1},x_{2}\right)$ stetig.

L-Lipschitz-stetig

Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ zwischen Metrischen Räumen heißt L-Lipschitz-stetig für $L\in\mathbb{R}$, falls $d_{y}\left(f\left(u\right),f\left(v\right)\right)\le L\cdot d_{x}\left(u,v\right)$ für alle $u,v\in X$.

• Falls $f$ stetig differenzierbar ist, gilt
  $${\scriptstyle L\le\left\Vert Df\left(x\right)\right\Vert =\sup\le... ...\left(h\right)\right\Vert \vert x,h\in X,\left\Vert h\right\Vert \le1\right\} }$$

• Jede Lipschitzstetige Funktion ist insbesondere eine $C^{1}$-Funktion
• Lipschitz-stetige Funktionen sind stetig.
• entspricht Erweiterung der gleichmäßigen Stetigkeit aus sub:gleichm=E4=DFig-stetig.
• Skalarprodukt mit einem festen Vektor $t$ ist lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $L=\left\Vert t\right\Vert _{\infty}$
• Integraloperator ist lipschitzstetig
• Endlichdimensionale lineare Abbildungen sind Lipschitzstetig mit der Operatornorm

Eigenschaften von stetigen Funktionen

Sind $\left(X,d_{x}\right)$, $\left(Y,d_{y}\right)$, $\left(Z,d_{z}\right)$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ und $g:Y\rightarrow Z$, $f,g$ stetig. Dann ist auch $g\circ f:X\rightarrow Z,x\mapsto g\left(f\left(x\right)\right)$ stetig.

Ist $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, so ist $C\left(X,\mathbb{R}\right)$ ein Vektorraum und ein Ring. Für $f,g\in C\left(X,\mathbb{R}\right)$, $r\in\mathbb{R}$ sind folgende Funktionen wieder stetig:

1. $f+g:x\mapsto f\left(x\right)+g\left(x\right)$
2. $f\cdot g:x:\mapsto f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$
3. $r\cdot f:x\mapsto r\cdot f\left(x\right)$
4. $f\circ g:x\mapsto f\left(g\left(x\right)\right)$

$\varepsilon -\delta$-Kriterum für Stetigkeit

Eine Abbilung $f:X\rightarrow Y$ zwischen den metrischen Räumen $\left(X,d_{x}\right)$ und $\left(Y,d_{y}\right)$ ist stetig in $x\in X$ genau dann, wenn gilt: Zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein ein $\delta>0$, so dass aus $d_{x}\left(x,u\right)<\delta$ folgt $d_{y}\left(f\left(x\right),f\left(u\right)\right)<\varepsilon$.

$${\scriptstyle \forall x:\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:\for... ...delta\Rightarrow d_{y}\left(f\left(x\right),f\left(u\right)\right)<\varepsilon}$$

Dies ist äquivalten zu: $f$ ist genau dann stetig in $x\in X$, wenn es für jede offene $\varepsilon$-Kugel $B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)$ um $f\left(x\right)$ eine offene $\delta$-Kugel $B_{\delta}\left(x\right)$ um $x$ mit $f\left(B_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)$ gibt.

$$\forall\varepsilon>0:\exists\delta>0:f\left(B_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq B_{\varepsilon}\left(f\left(x\right)\right)$$

Besondere Stetige Funktionen

Normen

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Determinanten

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