Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung und Stetigkeit

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$ und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$ normierte Räume, sei $f:V\rightarrow W$ linear. Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

1. $f$ ist stetig
2. Es existiert ein $v\in V$ so dass $f$ in $v$ stetig ist
3. $f$ ist $L$-Lipschitzstetig für eine Zahl $L$
4. Es gibt eine Zahl $L\in\mathbb{R}$ so, dass $\left\Vert f\left(v\right)\right\Vert _{W}\le L$ für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert _{V}\le1$.

Operatornorm, Vektorraum der linearen stetigen Abbildungen

Es sei $f:U\rightarrow V$ eine lineare stetige Abbildung zwischen normierten Räumen. Wir definieren die Operatornorm von $f$ durch

$$\left\Vert f\right\Vert =\sup\left\{ \left\Vert f\left(u\right)\right\Vert _{V}\vert\left\Vert u\right\Vert _{U}\le1\right\}$$

Die Menge

$$\mathcal{L}\left(U,V\right)=\left\{ f:U\rightarrow V\vert f\textrm{ ist linear und stetig}\right\}$$

ist ein Vektorraum, und die Operratornorm $\left\Vert .\right\Vert$ ist eine Norm darauf.

• $\left\Vert f\left(u\right)\right\Vert _{V}\le\left\Vert f\right\Vert \left\Vert u\right\Vert _{U}$ gilt für alle $u\in U$.
• Die kleinste Lipschitzkonstante ist die Operatornorm
• Wenn $f$ symmetrisch und $V=W$ dann gilt
  $$\left\Vert f\right\Vert =\max\left\{ \left\vert\lambda\right\vert\vert\lambda\textrm{ ist Eigenwert von }f\right\}$$

Vollständigkeit

Sein $\left(U,\left\Vert .\right\Vert _{U}\right)$ und $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$ normierte Räume, und ist $V$ vollständig (d.h. Banachraum), so ist $\mathcal{L}\left(U,V\right)$ auch vollständig.

• Für alle $U$ ist $U*=\mathcal{L}\left(U,\mathbb{R}\right)$ ein Banachraum. Diesen Raum nennt man auch Dualraum von $U$.

endlichdimensionale Vektorräume

Sei $\left(V,\left\Vert .\right\Vert \right)$ ein normierter Vektorraum, $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow V$ sei linear. Dann ist $f$ stetig bezgl. der $\left\Vert .\right\Vert _{1}$-Norm auf $\mathbb{R}^{n}$.

• siehe auch sub:Lipschitzstetigkeit-einer-endlichdimensionalen