endlichdimensionale Räume

Verhältnis zwischen Normen

Sei $\left\Vert .\right\Vert$ eine Norm auf $\mathbb{R}^{n}$. Dann gibt es eine Zahl $r>0$ so, dass für alle $v\in\mathbb{R}^{n}$ mit $\left\Vert v\right\Vert _{1}=1$ gilt $\left\Vert v\right\Vert \ge r$.

Stetigkeit der Identiät zwischen Räumen mit verschiedenen Normen

Sei $\left\Vert .\right\Vert$ eine Norm auf $\mathbb{R}^{n}$. Dann ist die Identität $\textrm{id}:\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert \right)\rightarrow\left(\mathbb{R}^{n},\left\Vert .\right\Vert _{1}\right)$ stetig.

Fundamentalsatz über endlich-dimensionale normierte Räume

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$ normierte Räume, sei $f:V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Falls $V$ endliche Dimension hat, ist $f$ stetig.

Lipschitzstetigkeit einer endlichdimensionalen linearen Abbildung

Zu einer reellen $m\times n$-Matrix $A=\left(a_{jk}\right)_{jk}$ betrachten wir die ineare Abbildung $\varphi_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}:x\mapsto Ax$. Mit

$$L=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{jk}\right)^{2}}$$

gilt, das $\varphi_{A}$ eine $L$-Lipschitz-stetige Abbildung bezüglich der $2$-Normen auf $\mathbb{R}^{n}$und $\mathbb{R}^{m}$ ist.

• siehe auch sub:linear_R^n_stetig

Äquivalenz von Normen

Sei $V$ ein Vektorraum, $\left\Vert .\right\Vert$, $\left\Vert .\right\Vert '$ seien Normen auf $V$. Die Normen heißen äquivalent, falls es Zahlen $r,R\in\mathbb{R}$ gibt, so dass

$$\left\Vert v\right\Vert \le r\left\Vert v\right\Vert '\textrm{ und }\left\Vert v\right\Vert '\le R\left\Vert v\right\Vert$$

für alle $v\in V$. Äquivalente Normen leifern den gleichen Konvergenzbegriff.

• Auf jedem endlich-dimensionalen Vektorraum sind alle Normen äquivalent (z.B. $\mathbb{R}^{n}$)
• Die entsprechenden Metrischen Räume sind also topologisch äquivalent. Siehe auch sub:topologische-=C4quivalenz.

Fixpunkt

Ist $f:X\rightarrow X$ eine Abbildung und gilt $f\left(x\right)=x$ für ein $x\in X$, so heißt $x$ Fixpunkt von $f$.

• Ist $f$ linear, so ist 0 ein Fixpunkt

Banachs Fixpunktsatz

Sei $\left(X,d\right)$ ein vollständiger metrischer Raum, $f:X\rightarrow X$ sei $L$-Lipschitzstetig für ein $L<1$. Dann hat $f$ genau einen Fixpunkt.

Genauer gilt: ist $x_{0}\in X$ ein beliebiger Punkt, $x_{j+1}=f\left(x_{j}\right)$ rekursiv, so gilt $\lim_{j\in\mathbb{N}}x_{j}=w$ ist der gesuchte Fixpunkt.

• Abschätzen des Fehlers bei Abbruch der Iteration an der $l$-ten Stelle
  $d\left(x_{l},w\right)\le\frac{L^{l}}{1-L}\cdot d\left(x_{0},x_{1}\right)$
• $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$ hat den Fixpunkt $\sqrt{2}$