Mengen

Offen

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $U\subseteq X$ heißt offen in $X$, falls gilt: zu jedem $u\in U$ gibt es ein $\varepsilon>0$ mit $B_{\varepsilon}\left(u\right)\subseteq U$.

• Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von Systemen offener Mengen sind wieder offen
• Offene Intervalle auf $\mathbb{R}$ sind offene Mengen
• $\emptyset\subseteq X$ ist stets offen in $X$
• $X$ ist stets offen in $X$

offene Abbildung

Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ wird als offen bezeichnet, falls für eine $U\subseteq V$ offen gilt das auch $f\left(U\right)\subseteq W$ wieder offen ist.

Abgeschlossen

Eine Teilmenge $A\subseteq X$ eines metrischen Raumes $\left(X,d\right)$ heißt abgeschlossen, wenn für jede Folge von Elementen $\left(a_{j}\right)_{j\in J}\subseteq A$ mit Grenzwert $x\in X$ gilt $x\in A$.

• Siehe auch sub:Vollst=E4ndigkeitR^n

Satz über offene und Abgeschlossen Mengen

Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum, $U\subseteq X$. Dann sind gleichwertig:

1. $U$ ist offen in $X$
2. $X\backslash U=\left\{ x\in X\vert x\notin U\right\} =A$ ist abgeschlossen in $X$

• Es gibt Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind in $X$, z.B. sind sowohl $\emptyset,X$ abgeschlossene als auch offene Mengen in $X$
• Es gibt Mengen, die weder offen, noch abgeschlossen sind, z.B. $\left(0,1\right]\subseteq\mathbb{R},\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$

Stetigkeit über offenen und abgeschlossenen Mengen

Seien $\left(X,d_{x}\right)$und $\left(Y,d_{y}\right)$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Dann sind äquivalent:

1. $f$ ist stetig
2. für alle offenen $U\subseteq Y$ ist $f^{-1}\left(U\right)\subseteq X$ offen
3. für alle abgeschlossenen $A\subseteq Y$ ist $f^{-1}\left(A\right)\subseteq X$ abgeschlossen

Abschluss

Für $S\subseteq X$ setzte

$$\overline{S}=\bigcap\left\{ A\subseteq X\vert A\textrm{ ist abgeschlossen und }S\subseteq A\right\}$$

$\overline{S}$ ist abgeschlossen und $\overline{S}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge in $X$, die $S$ enthält. $\overline{S}$ besteht (abgesehen von $S=\emptyset$ mit $\overline{S}=\emptyset$) genau aus den Grenzwerten konvergenter Folgen in $S$. $\overline{S}$ heißt Abschluss von $S$.

• $\overline{A}=A\cup\partial A$
• $A°\subseteq A\subseteq\overline{A}$
• $A°\cap\partial A=\emptyset$

Inneres

Wir betrachten einen metrischen Raum $X$. Das Innere $A°=\bigcup\left\{ U\subseteq X\vert U\textrm{ offen und }U\subseteq S\right\}$ von $A$ ist offen (das ist das offene Innere von $A$). $A°$ ist die größte offene Teilmenge von $S$.

• $A°$ ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen von $A$
• Alternative Schreibweise:
  ${{\circ\atop A}}=A°$

Rand

Wir betrachten einen metrischen Raum $X$. Der Rand $\partial A$ einer Menge $A$ ist die Menge aller Punkte $p\in X$ für die jede offene $\varepsilon$-Kugel $B_{\varepsilon}\left(p\right)=\left\{ x\in X\vert d\left(p,x\right)<\varepsilon\right\}$ sowol Elemente aus $A$ als auch Elemente aus $X\backslash A$ enthält.

$${\scriptstyle \partial A=\left\{ v\in X\vert\forall\varepsilon>0:... ...h A:d\left(v,a\right)<\varepsilon\wedge d\left(v,x\right)<\varepsilon\right\} }$$

• $\partial S=\overline{S}\backslash S°$

kompakte Mengen

Ein Metrischer Raum $\left(X,d\right)$ heißt kompakt, falls jede Folge $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ in $X$ eine konvergente Teilfolge hat.

• In $\mathbb{R}^{n}$ ist eine Teilmenge $X$ genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt bzgl. $\left\Vert .\right\Vert$ ist
• Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, und $A\subseteq X$ ist kompakt, dann ist $A$ abgeschlossen und beschränkt
• Es sei $A$ eine abgeschlossene Teilmenge von einem kompakten Raum $X$, dann ist $A$ kompakt
• Es sei $f:X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, dann ist das Bild $f\left(K\right)$ einer kompakten Menge $K\subseteq X$ wieder kompakt
• Jede stetig differenzierbare reellwertige Funktion $\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$auf einer kompakten Teilmenge $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ ist Lipschitz-stetig
• Das Kreuzprodukt von abgeschlossenen Intervallen ist kompakt:
  $\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq\mathbb{R}^{n}$ ist kompakt

Satz von Baire

Sei $\left(X,d\right)$ metrischer Raum und vollständig, sei $\left\{ S_{n}\vert n\in\mathbb{N}\right\}$ eine Menge von abgeschlossenen Teilmengen in $X$. Falls $X=\bigcup\left\{ S_{n}\vert n\in\mathbb{N}\right\}$, so gibt es ein $l\in\mathbb{N},$ ein $x\in X$ und ein $\varepsilon>0$ so, dass $B_{\varepsilon}\left(x\right)\subseteq S_{l}$ (d.h. $S_{l}°\neq\emptyset$).

Satz von der offenen Abbildung

Seien $\left(V,\left\Vert .\right\Vert _{V}\right)$ und $\left(W,\left\Vert .\right\Vert _{W}\right)$ Banachräume, $f:V\rightarrow W$ sei linear, stetig und surjektiv. Dann ist $f$ offen.

Umkehrabbildung

Ist $f:V\rightarrow W$ stetig, linear und bijektiv, dann ist $f$ offen.

Sei $g$ die Umkehrabbildung von $f$, dann ist $g$ linear und stetig.

Verschiedene Aspekte der Stetigkeit

Es sei $X,Y$ metrische Räume, $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $f$ ist stetig
2. Das Urbild $f^{-1}\left(O\right)$ jeder offenen Menge $O\subseteq Y$ ist wieder offen
3. Das Urbild $f^{-1}\left(A\right)$ jeder abgeschlossenen Menge $A\subseteq Y$ ist wieder abgeschlossen
4. $f\left(\overline{A}\right)\subseteq\overline{f\left(A\right)}$ für alle Teilmengen $A\subseteq X$
5. $\overline{f^{-1}\left(B\right)}\subseteq f^{-1}\left(\overline{B}\right)$ für alle Teilmengen $B\subseteq Y$