Kurven

Definition

Sei $V$ ein normierter Raum (z.B. $\mathbb{R}^{n}$) mit euklidischer Norm. Sei $J\subseteq\mathbb{R}$ ein Intervall (offen, abgeschlossen, halboffen oder $J=\mathbb{R}$). Ein Weg in $V$ ist eine stetige Abbildung

$$c:J \rightarrow V$$

$$t \mapsto c\left(t\right)$$

• Kurve ist ein äquivalenter Begriff zu Weg

Peano-Kurve

Eine Peano-Kurve ist eine Raumfüllende Kurve $\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]^{2}$. Sei $f:\mathbb{R}\rightarrow\left[0,1\right]$ eine stetige $2$-periodische Funktion mit

$$f\left(t\right) = \begin{cases} 0 & 0\le t<\frac{1}{3}\\ 3\left(t-\frac{1}{3}\... ...c{1}{3}\le t<\frac{2}{3}\\ 1 & \frac{2}{3}\le t\le1\end{cases}$$

$$f\left(t\right) = f\left(t+2\right)$$

Da $f$ auf $\left(1,2\right)$ nicht benötigt wird spielt die Definiton dort keine Rolle. Seien weiter $x:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ und $y:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ zwei (Koordinaten)-Funktionen mit

$$x\left(t\right) = \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f\left(3^{2n-1}t\right)$$

$$y\left(t\right) = \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f\left(3^{2n}t\right)$$

Dann ist $\gamma\left(t\right)=\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)$eine stetige und surjektive Abbildung.

• $\gamma$ ist nicht injektiv. Jeder Punkt bis auf $\left(0,0\right)$ und $\left(1,1\right)$ wird genau 2mal getroffen.

Wegzusammenhang

Ein (metrischer) Raum $X$ heißt wegzusammenhängend, falls sich je zwei Punkte $x,y\in X$ durch einen Weg in $X$ verbinden lassen.

• stetige Bilder wegzusammenhängender Räume sind wieder wegzusammenhängend

Geschwindigkeit, differenzierbar

Sei $J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall, $c:J\rightarrow V$ eine Kurve, $t_{0}\in J$. Dann gibt es $\varepsilon>0$ so, dass $\left(t_{0}-\varepsilon,t_{0}+\varepsilon\right)\subseteq J$.

Falls es eine stetige Abbildung $p:\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\rightarrow V$ gibt, so dass $\frac{c\left(t\right)-c\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}=p\left(t-t_{0}\right)$ gilt für $t\neq t_{0},$ so heißt $\dot{c}\left(t_{0}\right)=p\left(0\right)$ Geschwindigkeit oder Tangentialvektor der Kurve zur Zeit $t_{0}$. $c$ ist somit in $t_{0}$ differenzierbar.

Falls $c$ in jedem $t\in J$ differenzierbar ist, heißt $c$ differenzierbar, falls zusätzlich $t\mapsto\dot{c}\left(t\right)$ stetig ist, so heißt $c$ stetig differenzierbar oder $C^{1}$-Kurve.

• Die Funktion $p$ ist (wenn sie existiert) eindeutig bestimmt, denn für $t\neq t_{0}$ gilt $p\left(t-t_{0}\right)=\frac{c\left(t\right)-c\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}}$ und $p\left(0\right)=\lim_{n}p\left(\frac{1}{n}\right)$

Satz über Differenzierbarkeit

Ist $V=\mathbb{R}^{n},c\left(t\right)=\left(c_{1}\left(t\right),\ldots,c_{n}\left(t\right)\right)$, so ist $c$ genau dann (stetig) differenzierbar, wenn jedes einzelne $c_{j}$ (stetig) differenzierbar ist, und $\dot{c}\left(t\right)=\left(\dot{c}_{1}\left(t\right),\ldots,\dot{c}_{n}\left(t\right)\right)$.

Beschleunigung

Falls $c$ $C^{1}$-Kurve ist, und falls $\dot{c}$ (stetig) differenzierbar ist, schreibe $\ddot{c}$ für die zweite Ableitung. $\ddot{c}\left(t\right)$ heißt Beschleunigung zur Zeit $t$.

Rechenregeln für Kurven

$J\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall.

1. $c,d:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurven
   $c+d=e:t\mapsto c\left(t\right)+d\left(t\right)$
   $\dot{e}=\dot{c}+\dot{d}$
2. $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve
   $f:J\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion
   $e=c\cdot f:t\mapsto c\left(t\right)\cdot f\left(t\right)$
   $\dot{e}\left(t\right)=\dot{c}\left(t\right)\cdot f\left(t\right)+c\left(t\right)\cdot f'\left(t\right)$
3. Umparameterisierung von $c$
   $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve
   $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion mit $f\left(I\right)\subseteq J$
   $e=c\circ f:t\mapsto c\left(f\left(t\right)\right)$
   $\dot{e}\left(t\right)=\dot{c}\left(f\left(t\right)\right)\cdot f'\left(t\right)$
4. $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve
   $f:V\rightarrow W$ stetig und linear
   $e=f\circ c$ ist $C^{1}$-Kurve
   $\dot{e}\left(t\right)=f\left(\dot{c}\left(t\right)\right)$

differenzieren auf abgeschlossenen Intervall

Ist $c:\left[a,b\right]\rightarrow V$ Kurve. Falls es ein $r>0$ gibt, eine (stetig) differenzierbare Kurve $\tilde{c}:\left(a-r,b+r\right)\rightarrow V$ mit $c\left(t\right)=\tilde{c}\left(t\right)$ für alle $t\in\left[a,b\right]$, so heißt $c$ (stetig) differenzierbar auf $\left[a,b\right]$, setze $\dot{c}\left(t\right)=\dot{\tilde{c}}\left(t\right)$ für $t\in\left[a,b\right]$.

• Bislang waren ableitungen nur auf offenen Intervallen definiert. Hier wird das ganze auf abgeschlossene erweitert.

Bogenlänge

Sei $c:\left[a,b\right]\rightarrow V$ stetig differenzierbar. Die Bogenlänge von $c$ ist $L\left(c\right)=\int_{a}^{b}\left\Vert \dot{c}\left(t\right)\right\Vert dt$.

Umparameterisierung und Bogenlänge

Ist $c:J\rightarrow V$ $C^{1}$-Kurve, $J=\left[a,b\right]$, ist $\varphi:I\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion streng monoton wachsend (d.h. $\varphi'\left(t\right)>0$ für alle $t$), $I=\left[u,v\right]$ mit $\varphi\left(u\right)=a$, $\varphi\left(v\right)=b$. Dann gilt

$$L\left(c\right)=L\left(c\circ\varphi\right)$$

• Die Kurvenlänge ändert sich nicht bei streng monotonen Umparameterisierungen.