Skalarfelder

Differential

Sei $V$ ein normierter Raum, $U\subseteq V$ offen, sei $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Sei $x_{o}\in U$. Wir sagen $f$ ist differenzierbar im Punkt $x_{0}$, falls es $r>0$ gibt, eine stetige Funktion $\lambda:B_{r}\left(0\right)\rightarrow\mathbb{R}$, und eine stetige lineare Abbildung $g:V\rightarrow\mathbb{R}$, so dass gilt: $\lambda\left(0\right)=0$ und

$$f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=\lambda\left(h\right)\left\Vert h\right\Vert +g\left(h\right)$$

für alle $h$ mit $\left\Vert h\right\Vert <r$.

Dann heißt $df\left(x_{0}\right)=g$ Ableitung oder Differential von $f$ in $x_{o}$.

Falls $f$ in jedem Punkt $x\in U$ differenzierbar, so heißt $f$ differenzierbar, falls die Abbildung

$$U \rightarrow V*=\mathcal{L}\left(V,\mathbb{R}\right)$$

$$x \mapsto df\left(x\right)$$

stetig ist, heißt $f$ stetig differenzierbar oder $G^{1}$-Funktion.

• Falls $f$ in $x_{0}$ die Bedingungen der Definition erfüllt, so ist $df\left(x_{0}\right)$ eindeutig durch $f$ bestimmt.
• Das Differential $df\left(x_{0}\right)$ ist eine Lineare Abbildung $V\rightarrow\mathbb{R}$, d.h. $df\left(x_{0}\right)$liegt im Dualraum $V*=\mathcal{L}\left(V,\mathbb{R}\right)$. Das ist ebenfalls ein normierter Raum, sogar ein Banachraum.
• $V*$ trägt die Operatornorm $\left\Vert df\left(x\right)\right\Vert =\sup\left\{ \left\Vert df\left(x\right)\left(h\right)\right\Vert \vert\left\Vert h\right\Vert \le1\right\}$
• $\left(x,h\right)\mapsto df\left(x\right)\left(h\right)$ ist stetig

Kettenregel 1

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion, $J\subseteq\mathbb{R}$ offen, $c:J\rightarrow V$ stetig differenzierbare Kurve mit $c\left(J\right)\subseteq U$. Dann ist $g=f\circ c$ mit

$$g:J \rightarrow \mathbb{R}$$

$$t \mapsto f\left(c\left(t\right)\right)$$

ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung

$$g'\left(t\right)=df\left(c\left(t\right)\right)\left(\dot{c}\left(t\right)\right)$$

Kettenregel 2

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion, $J\subseteq\mathbb{R}$ offen, $c:J\rightarrow\mathbb{R}$ reelle Funktion mit $f\left(U\right)\subseteq J$. Dann ist $g=c\circ f$ mit

$$g:U \rightarrow \mathbb{R}$$

$$t \mapsto c\left(f\left(t\right)\right)$$

ebenfalls stetig differenzierbar, mit Ableitung

$$dg\left(u\right)\left(h\right)=c'\left(f\left(u\right)\right)\cdot df\left(u\right)\left(h\right)$$

Richtungsableitung

Ist $v\in V$, so heißt

$$D_{V}f\left(x\right)=df\left(x\right)\left(v\right)$$

Richtungsableitung von $f$ an der Stelle $x$ in Richtung $v$.

Partielle Ableitung

Sei $V=\mathbb{R}^{n}$, $v=e_{i}$. Dann ist

$$df\left(x\right)\left(e_{i}\right)=D_{e_{i}}f\left(x\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x\right)$$

die $i$-te partielle Ableitung von $f$ an der Stelle $x_{i}$.

• Man kann schreiben
  $$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(x+t\cdot e_{i}\right)-f\left(x\right)}{t}$$

• Die $i$-te Partielle Ableitung erhält man, indem man $v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_{n}$ als konstanten behandelt und formal nach $v_{i}$ ableitet.

Rechenregeln des Differentials

Sei $U\subseteq V$ offen, $C^{1}\left(U\right)$ die Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen auf $U$. Das ist ein reeller Vektorraum und ein Ring, also eine reelle Algebra. Es gilt:

1. $d\left(f+g\right)=df+dg$
2. $d\left(r\cdot f\right)=r\cdot df$
3. Leipnitzregel
   $d\left(f\cdot g\right)=df\cdot g+dg\cdot f$

Affine Abbildung

Ist $f:V\rightarrow\mathbb{R}$ linear und stetig, $t\in V$, so ist die Abbildung $g:v\mapsto t+f\left(v\right)$ stetig differenzierbar, und $dg\left(u\right)\left(v\right)=f\left(v\right)$.

Gradient

Für $U\subset\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion betrachte den Gradienten

$$\textrm{grad}\left(f\right)\left(u\right) = \nabla f\left(u\right)$$

$$= \left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\left(u\right),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{n}}\left(u\right)\right)$$

Das innere Produkt auf $\mathbb{R}^{n}$ mit $\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$. Dann gilt:

$$\left\langle \nabla f\left(u\right),h\right\rangle =df\left(u\right)\left(h\right)$$

• Wenn $h$ ein inneres Produkt auf $V$ ist, so definiert man den Gradienten über die Gleichung
  $$df\left(u\right)\left(v\right)=h\left(\nabla f\left(u\right),v\right)$$

Kriterium für stetige Differenzierbarkeit

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann ist $f$ stetig differenzierbar genau dann, wenn alle partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(u\right)$ existieren und stetig in $u$ sind.

Für das Differential gilt dann

$$df\left(u\right)\left(h\right)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\p... ...l x_{i}}\left(u\right)h_{i}=\left\langle \nabla f\left(u\right),h\right\rangle$$