Ableitung

Definition

Seien $V,W$ normierte Räume, $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$ stetig, sei $u\in U$.

Wir sagen $f$ ist diferenzierbar in $u$, falls es eine lineare Abbildung $g:V\rightarrow W$ gibt, und eine stetige Abbildung $\lambda:B_{r}^{V}\left(0\right)\rightarrow W$ mit $\lambda\left(0\right)=0$, so dass gilt

$$f\left(u+h\right)-f\left(u\right)=g\left(h\right)+\lambda\left(h\right)\cdot\left\Vert h\right\Vert$$

für alle $h\in B_{r}^{V}\left(o\right)$, dabei sei $r>0$ so gewählt, dass $B_{r}^{V}\left(0\right)\subseteq U$. Die Funktion $g$ heißt Ableitung von $f$ in $u$, schreibe

$$g=Df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(V,W\right)$$

Falls $f$ in jedem Punkt $u\in U$ eine Ableitung hat, heißt $f$ differenzierbar. Falls zusätzlich die Abbildung

$$U \rightarrow \mathcal{L}\left(U,V\right)$$

$$u \mapsto Df\left(u\right)$$

stetig ist, heißt $f$ stetig differenzierbar oder $C^{1}$-Funktion.

• $g$ ist durch $f$ und $u$ eindeutig bestimmt.
• $Df\left(u\right)\left(h\right)=g\left(h\right)$
• $\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(x+t\cdot h\right)-f\left(x\right)}{t}=Df\left(x\right)\left(h\right)$

Überblick über verschiedene Ableitungsbegriffe

Sei $V$ ein reeller normierter Vektorraum und seien $J\subseteq\mathbb{R}$ und $U\subseteq V$ offen.

Analysis 1

$f:J\rightarrow\mathbb{R}$

• $Df\left(x\right)\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R},\mathbb{R}\right)\tilde{=}\mathbb{R}$
• $Df\left(x\right):v\mapsto v\cdot f'\left(x\right)$
• $Df\left(x\right)\left(1\right)=f'\left(x\right)$

Kurven

$c:J\rightarrow V$

• $Dc\left(t\right)\in\mathcal{L}\left(\mathbb{R},V\right)\tilde{=}V$
• $Dc\left(t\right):x\mapsto x\cdot\dot{c}\left(t\right)$
• $Dc\left(t\right)\left(1\right)=\dot{c}\left(t\right)$

reelle Funktionen

$f:U\rightarrow\mathbb{R}$

• $Df\left(u\right)=df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(U,\mathbb{R}\right)$
• in manchen Büchern wird zwischen $Df$ und $df$ nicht unterschieden

affine Abbildung

Ist $g:V\rightarrow W$ linear und stetig, $t\in V$ und $f\left(v\right)=t+g\left(v\right)$. Damit ist $f$ $C^{1}$-Funktion mit Ableitung $Df\left(u\right)=g$.

• für $g=t+Ax$ mit Matrix $A$ gilt:
  $Df\left(u\right)\left(v\right)=Av$

Struktur der Ableitungen

Sei $U\subseteq V$ offen, $V,W$ normierte Räume, $C^{1}\left(U,W\right)$ die Menge aller $C^{1}$ Abbildungen von $U$ nach $W$.

Dann ist $C^{1}\left(U,W\right)$ein reeller Vektorraum. Es gilt für alle $f,g\in C^{1}\left(U,W\right)$ und $r\in R$

1. $D\left(g+f\right)\left(u\right)=Dg\left(u\right)+Df\left(u\right)$
2. $D\left(r\cdot f\right)\left(u\right)=r\cdot Df\left(u\right)$

Jakobimatrix

Für $V=\mathbb{R}^{n},W=\mathbb{R}^{m}$, $U\subseteq V$ offen und $f:U\rightarrow V$ mit $f\left(u\right)=\left(f_{1}\left(u\right),\ldots,f_{m}\left(u\right)\right)\in\mathbb{R}^{m}$. Wenn $f$ $C^{1}$-Funktion ist, so auch $f_{1},\ldots,f_{m}$ mit $f\left(u\right)=\sum_{k=1}^{m}e_{k}f_{k}\left(u\right)$. Für die Ableitung gilt dann mit $v=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$

$$Df\left(u\right):\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}$$

$$Df\left(u\right):v \mapsto {\scriptstyle \left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_{1}}{\partial ... ...{k=1}^{n}\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{k}}\left(u\right)\cdot v_{k}\right)}$$

$$= \left(\left\langle \nabla f_{1}\left(u\right),v\right\rangle ,\ldots,\left\langle \nabla f_{n}\left(u\right),v\right\rangle \right)$$

$$= \left[Df\left(u\right)\right]\cdot v$$

mit

$$\left[Df\left(u\right)\right]=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\par... ...f_{m}}{\partial x_{n}}\left(u\right)\end{array}\right)\in\mathbb{R}^{m\times n}$$

$\left[Df\left(u\right)\right]$ wird als Jakobimatrix von $Df\left(u\right)$ bezeichnet.

Kettenregel

Sind $X,Y,Z$ normierte Räume, $U\subseteq X$ offen, $V\subseteq Y$ offen, $f:U\rightarrow Y$ und $g:V\rightarrow Z$ $C^{1}$-Funktionen mit $f\left(U\right)\subseteq V$. Dann ist $g\circ f:U\rightarrow Z:u\mapsto g\left(f\left(u\right)\right)$ ebenfalls $C^{1}$-Funktion und

$$D\left(g\circ f\right)\left(u\right)=Dg\left(f\left(u\right)\right)\circ Df\left(u\right)$$

Höhere Ableitungen

Ist $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$ $C^{1}$-Funktion. Dann ist $Df:U\rightarrow\mathcal{L}\left(V,W\right)$ stetig. Falls $Df$ ebenfalls $C^{1}$-Funktion ist, heißt $f$ zweimal stetig differenzierbar oder $C^{2}$-Funktion. Schreibe $D\left(Df\right)=D^{2}f$ für die zweite Ableitung.

Entsprechend definiert man $k$-mal stetig differenzierbare Funktionen, $D^{k}f=k$-te Ableitung. Man erhält Vektorräume $C^{k}\left(U,W\right)=\left\{ f:U\rightarrow W\vert f\: k\textrm{-mal stetig differenzierbar}\right\}$.

Bilinearität der zweiten Ableitung

$f\left(u\right)\in W$ sei ein Vektor und $Df\left(u\right)\in\mathcal{L}\left(V,W\right)$ lineare Abbildung. Betrachte die zweite Ableitung $D^{2}f\in\mathcal{L}\left(V,\mathcal{L}\left(V,W\right)\right)$.

Es gilt

$$D^{2}f\left(u\right):V\times V \rightarrow W$$

$$\left(x,y\right) \mapsto D^{2}\left(u\right)\left(x\right)\left(y\right)=D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)$$

$$D^{2}f:U\times V\times V \rightarrow W$$

$D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)$ ist linear in $x$ uns $y$ und somit eine bilineare Abbildung.

Für $J\subseteq\mathbb{R}$ offen und $f:J\rightarrow\mathbb{R}$ gilt $D^{2}f\left(u\right)=\left(\left(x,y\right)\mapsto x\cdot y\cdot f''\left(u\right)\right)$.

• Potentiale sind die verallgemeinerung von Stammfunktionen

Hesse-Matrix

$U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$. Für die zweite Ableitung gilt

$$D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right) = \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\left(\frac{\partial^{2}f}{\partia... ...\right)\right)\left(\begin{array}{c} y_{1}\\ \vdots\\ y_{n}\end{array}\right)$$

$$= x^{T}Hf\left(u\right)y$$

Die Matrix

$$Hf\left(u\right) = \left(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{l}\partial x_{k}}\left(u\right)\right)_{k,l=1}^{n}$$

$$= \left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial x_{1}\partial... ...\frac{\partial f}{\partial x_{n}\partial x_{n}}\left(u\right)\end{array}\right)$$

heißt Hessematrix von $f$ in $u$.

• Für $f\in C^{2}$ gilt $Hf\left(u\right)=Hf\left(u\right)^{T}$

Vertauschbarkeit von Ableitungen

Ist $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ eine $C^{2}$-Funktion und $u\in U$, so gilt

$$D^{2}f\left(u\right)\left(x,y\right)=D^{2}f\left(u\right)\left(y,x\right)$$

für alle $x,y\in V$. Das heißt $D^{2}f\left(u\right)$ ist eine symmetrische Bilinearform.

• Die partiellen Ableitungen einer $C^{2}$-Funktion im $\mathbb{R}^{n}$ gilt
  $$\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(u\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(u\right)$$

• Die Hessematrix $Hf\left(u\right)$ ist symmetrisch
  $$Hf\left(u\right)=Hf\left(u\right)^{T}$$

Potentiale

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ sei eine $C^{1}$-Funktion. Frage: gibt es $F:U\rightarrow\mathbb{R}$ mit $\nabla F=f$? Wenn ja, so heißt $F$ Potential zum Feld $f$).

Falls es ein Potential $F$ passend zu $f$ gibt, gilt ist $F$ eine $C^{2}$-Funktion. Es muss also für $f$ gelten

$$\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(u\right)=\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\left(u\right)$$

Im $\mathbb{R}^{3}$ ist diese notwendige Bedingung äquivalent mit Rotation von $f=0$

$$\textrm{rot}\left(f\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial ... ..._{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\end{array}\right)=0$$

Falls $U$ sternförmig ist, sind diese Bedingung nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend.

Sternförmig bedeutet, das es einen ausgezeichneten Punkt im Raum gibt, von dem aus man alle anderen Punkte mit in der Menge liegenden Verbindungsgraden erreichen kann.

Besondere Ableitungen

Affine Abbildung

siehe sub:affine-Abbildung

Bilineare Abbildung

$f\left(x,y\right)$ sei bilinear
$Df\left(x,y\right)\left(v,w\right)=f\left(x,w\right)+f\left(v,y\right)$

Inneres Produkt

$f\left(x\right)=\left\langle x,x\right\rangle =x^{T}Ax$ mit $A=A^{T}$
$Df\left(x\right)\left(v\right)=2x^{T}Av$