Sei ein metrischer Raum, stetig. Wir sagen hat in ein Maximum / Minimum, falls für alle gilt (bzw. ). Falls zusätzlich für stets gilt (bzw. ), so spricht man von einem strikten Maximum (oder Minmum).
Falls es eine Kugel gibt, so dass auf ein (striktes) Maximum oder Minimum hat, so spricht man von einem lokalen (strikten) Maximum / Minimum.
(strikte) (lokale) Maxima und Minima werden allgemein als (strikte) (lokale) Extrema bezeichnet.
Sei offen, normierter Raum, sei eine -Funktion. Falls in ein (lokales) Extremum hat, so gilt (Nullabbildung). Falls , ist das gleichbedeutend mit (Nullvektor).
Die Punkte mit heißen kritische Punkte von .
Falls in ein lokales Maximum hat, gilt
falls in ein lokales Minimum hat, gilt
Eine symmetrische Bilinearform heißt
Ist -Funktion, so gilt
Falls es ein gibt, so dass für alle mit , so gibt es so, dass für alle .
Sei offen, eine -Funktion, sei ein kritischer Punkt von .
Falls es ein gibt, so dass für alle mit gilt, so hat in ein striktes lokales Minimum.
Falls es ein gibt, so dass für alle mit gilt, so hat in ein striktes lokales Maximum.
Sei offen, -Funktion, mit . Falls die Hessematrix positiv definit ist, so hat in ein striktes lokales Minimum, falls negativ definit ist, so hat in ein striktes lokales Maximum.
Sei eine symmetrische -Matrix. Dann gibt es eine orthogonale Matrix (d.h. bzw. bzw. die Spalten von bilden eine Orthonormalbasis für ) so dass
Die Matrix ist positiv/negativ (semi)-definit genau dann, wenn es ist. Also:
Eine Symmetrische Matrix ist positiv definit genau dann, wenn für alle