Lokale Extrema reeller Funktionen

Extrema

Sei $\left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Wir sagen $f$ hat in $x\in X$ ein Maximum / Minimum, falls für alle $z\in X$ gilt $f\left(x\right)\ge f\left(z\right)$ (bzw. $f\left(x\right)\le f\left(z\right)$). Falls zusätzlich für $z\neq x$ stets gilt $f\left(x\right)>f\left(z\right)$ (bzw. $f\left(x\right)<f\left(z\right)$), so spricht man von einem strikten Maximum (oder Minmum).

Falls es eine Kugel $B_{r}\left(x\right)$ gibt, so dass $f$ auf $B_{r}\left(x\right)$ ein (striktes) Maximum oder Minimum hat, so spricht man von einem lokalen (strikten) Maximum / Minimum.

(strikte) (lokale) Maxima und Minima werden allgemein als (strikte) (lokale) Extrema bezeichnet.

Kriterium für Extrema / kritische Punkte

Sei $U\subseteq V$ offen, $V$ normierter Raum, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ sei eine $C^{1}$-Funktion. Falls $f$ in $u\in U$ ein (lokales) Extremum hat, so gilt $df\left(u\right)=0$ (Nullabbildung). Falls $V=\mathbb{R}^{n}$, ist das gleichbedeutend mit $\nabla f\left(n\right)=0$ (Nullvektor).

Die Punkte $u\in U$ mit $df\left(u\right)=0$ heißen kritische Punkte von $f$.

notwendig für lokale Maxima und Minima

Falls $f$ in $u$ ein lokales Maximum hat, gilt

$$D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le0$$

falls $f$ in $u$ ein lokales Minimum hat, gilt

$$D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge0$$

für alle $v\in V$.

• Dies entspricht positiver bzw. negativer semidefinitheit von $D^{2}f\left(u\right)$.
• Dies ist nur Notwendig, hinreichend ist erst die Definitheit ohne das ``Semi''.

definit

Eine symmetrische Bilinearform $h:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ heißt

positiv definit

falls $h\left(v,v\right)>0$ für alle $v\neq0$ gilt

positiv semidefinit

falls $h\left(v,v\right)\ge0$ für alle $v\in V$ gilt

negativ definit

falls $h\left(v,v\right)<0$ für alle $v\neq0$ gilt

negativ semidefinit

falls $h\left(v,v\right)\le0$ für alle $v\in V$

Falls keine dieser Eigenschaften zutrifft, heißt $h$ indefinit.

Entwickeln einer Funktion mit ihren Ableitungen

Ist $\varphi:\left(-r,r\right)\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{2}$-Funktion, so gilt

$$\varphi\left(t\right)=\varphi\left(0\right)+\varphi'\left(0\right)\cdot t+\int_{0}^{t}\varphi''\left(s\right)\left(t-s\right)ds$$

Zweite Ableitung als Norm

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ für alle $v$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$, so gibt es $r>0$ so, dass $D^{2}f\left(\tilde{u}\right)\left(v,v\right)\ge\frac{\delta}{2}$ für alle $\tilde{u}\in B_{r}\left(u\right)$.

• Die Bedingung $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ besagt folgendes: die Norm $\left\Vert v\right\Vert _{U}=\sqrt{D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)}$ ist äquivalent zur Norm, mit der wir auf $V$ angefangen haben. Weil auf $\mathbb{R}^{n}$ alle Normen äquivalent sind, folgt dort (im $\mathbb{R}^{n}$) die Existenz von $\delta$ schon, falls $D^{2}f\left(u\right)$ positiv definit ist.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema

Sei $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ eine $C^{2}$-Funktion, sei $u$ ein kritischer Punkt von $f$.

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Minimum.

Falls es ein $\delta>0$ gibt, so dass $D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le-\delta$ für alle $v\in V$ mit $\left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Maximum.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema in endlicher Dimension

Sei $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{2}$-Funktion, $u\in U$ mit $\nabla f\left(u\right)=0$. Falls die Hessematrix $Hf\left(u\right)$ positiv definit ist, so hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Minimum, falls $Hf\left(u\right)$ negativ definit ist, so hat $f$ in $u$ ein striktes lokales Maximum.

Trägheitssatz von Silvester

Sei $S\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische $n\times n$-Matrix. Dann gibt es eine orthogonale Matrix $U\in\mathbb{R}^{n\times n}$ (d.h. $UU^{T}=I_{n}$ bzw. $\sum_{k=1}^{n}u_{ik}u_{jk}=\delta_{ij}$ bzw. die Spalten von $U$ bilden eine Orthonormalbasis für $\mathbb{R}^{n}$) so dass

$$D=U^{T}SU=\left(\begin{array}{ccc} d_{1} & & 0\\ & \ddots\\ 0 & & d_{n}\end{array}\right)$$

eine Diagonalmatrix mit $d_{1}\ge d_{2}\ge\ldots\ge d_{n}$. Die Zahlen $d_{1},\ldots,d_{n}$ heißen Eigenwerte von $S$.

Die Matrix $S$ ist positiv/negativ (semi)-definit genau dann, wenn $D$ es ist. Also:

1. $S$ ist positiv definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}>0$
2. $S$ ist positiv semi definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}\ge0$
3. $S$ ist negativ definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}<0$
4. $S$ ist negativ semi definit $\Leftrightarrow$ $d_{1},\ldots,d_{n}\le0$

• $\textrm{Spur}\left(D\right)=\textrm{Spur}\left(S\right)$
  $\det\left(D\right)=\det\left(S\right)$
• Für $n=2$ gilt:
  1. $S$ ist positiv definit $\Leftrightarrow$ $\det\left(S\right)>0$ und $\textrm{Spur}\left(S\right)>0$
  2. $S$ ist negativ definit $\Leftrightarrow$ $\det\left(S\right)>0$ und $\textrm{Spur}\left(S\right)<0$

Hurwitz-Kriterium

Eine Symmetrische Matrix $A$ ist positiv definit genau dann, wenn für alle $k=1,\ldots,n$

$$\det\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1k}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k1} & \ldots & a_{kk}\end{array}\right)>0$$

ist. Also die Determinanten aller quadratischen Ausschnitte aus der Matrize $A$ die die obere Linke Ecke enthalten.