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Subsections

Lokale Extrema reeller Funktionen

Extrema

Sei $ \left(X,d\right)$ ein metrischer Raum, $ f:X\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Wir sagen $ f$ hat in $ x\in X$ ein Maximum / Minimum, falls für alle $ z\in X$ gilt $ f\left(x\right)\ge f\left(z\right)$ (bzw. $ f\left(x\right)\le f\left(z\right)$). Falls zusätzlich für $ z\neq x$ stets gilt $ f\left(x\right)>f\left(z\right)$ (bzw. $ f\left(x\right)<f\left(z\right)$), so spricht man von einem strikten Maximum (oder Minmum).

Falls es eine Kugel $ B_{r}\left(x\right)$ gibt, so dass $ f$ auf $ B_{r}\left(x\right)$ ein (striktes) Maximum oder Minimum hat, so spricht man von einem lokalen (strikten) Maximum / Minimum.

(strikte) (lokale) Maxima und Minima werden allgemein als (strikte) (lokale) Extrema bezeichnet.

Kriterium für Extrema / kritische Punkte

Sei $ U\subseteq V$ offen, $ V$ normierter Raum, $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ sei eine $ C^{1}$-Funktion. Falls $ f$ in $ u\in U$ ein (lokales) Extremum hat, so gilt $ df\left(u\right)=0$ (Nullabbildung). Falls $ V=\mathbb{R}^{n}$, ist das gleichbedeutend mit $ \nabla f\left(n\right)=0$ (Nullvektor).

Die Punkte $ u\in U$ mit $ df\left(u\right)=0$ heißen kritische Punkte von $ f$.

notwendig für lokale Maxima und Minima

Falls $ f$ in $ u$ ein lokales Maximum hat, gilt

$\displaystyle D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le0$

falls $ f$ in $ u$ ein lokales Minimum hat, gilt

$\displaystyle D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge0$

für alle $ v\in V$.

definit

Eine symmetrische Bilinearform $ h:V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ heißt

positiv definit
falls $ h\left(v,v\right)>0$ für alle $ v\neq0$ gilt
positiv semidefinit
falls $ h\left(v,v\right)\ge0$ für alle $ v\in V$ gilt
negativ definit
falls $ h\left(v,v\right)<0$ für alle $ v\neq0$ gilt
negativ semidefinit
falls $ h\left(v,v\right)\le0$ für alle $ v\in V$
Falls keine dieser Eigenschaften zutrifft, heißt $ h$ indefinit.

Entwickeln einer Funktion mit ihren Ableitungen

Ist $ \varphi:\left(-r,r\right)\rightarrow\mathbb{R}$ $ C^{2}$-Funktion, so gilt

$\displaystyle \varphi\left(t\right)=\varphi\left(0\right)+\varphi'\left(0\right)\cdot t+\int_{0}^{t}\varphi''\left(s\right)\left(t-s\right)ds$

Zweite Ableitung als Norm

Falls es ein $ \delta>0$ gibt, so dass $ D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ für alle $ v$ mit $ \left\Vert v\right\Vert =1$, so gibt es $ r>0$ so, dass $ D^{2}f\left(\tilde{u}\right)\left(v,v\right)\ge\frac{\delta}{2}$ für alle $ \tilde{u}\in B_{r}\left(u\right)$.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema

Sei $ U\subseteq V$ offen, $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ eine $ C^{2}$-Funktion, sei $ u$ ein kritischer Punkt von $ f$.

Falls es ein $ \delta>0$ gibt, so dass $ D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\ge\delta$ für alle $ v\in V$ mit $ \left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat $ f$ in $ u$ ein striktes lokales Minimum.

Falls es ein $ \delta>0$ gibt, so dass $ D^{2}f\left(u\right)\left(v,v\right)\le-\delta$ für alle $ v\in V$ mit $ \left\Vert v\right\Vert =1$ gilt, so hat $ f$ in $ u$ ein striktes lokales Maximum.

Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema in endlicher Dimension

Sei $ U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $ f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $ C^{2}$-Funktion, $ u\in U$ mit $ \nabla f\left(u\right)=0$. Falls die Hessematrix $ Hf\left(u\right)$ positiv definit ist, so hat $ f$ in $ u$ ein striktes lokales Minimum, falls $ Hf\left(u\right)$ negativ definit ist, so hat $ f$ in $ u$ ein striktes lokales Maximum.

Trägheitssatz von Silvester

Sei $ S\in\mathbb{R}^{n\times n}$ eine symmetrische $ n\times n$-Matrix. Dann gibt es eine orthogonale Matrix $ U\in\mathbb{R}^{n\times n}$ (d.h. $ UU^{T}=I_{n}$ bzw. $ \sum_{k=1}^{n}u_{ik}u_{jk}=\delta_{ij}$ bzw. die Spalten von $ U$ bilden eine Orthonormalbasis für $ \mathbb{R}^{n}$) so dass

$\displaystyle D=U^{T}SU=\left(\begin{array}{ccc}
d_{1} & & 0\\
& \ddots\\
0 & & d_{n}\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix mit $ d_{1}\ge d_{2}\ge\ldots\ge d_{n}$. Die Zahlen $ d_{1},\ldots,d_{n}$ heißen Eigenwerte von $ S$.

Die Matrix $ S$ ist positiv/negativ (semi)-definit genau dann, wenn $ D$ es ist. Also:

  1. $ S$ ist positiv definit $ \Leftrightarrow$ $ d_{1},\ldots,d_{n}>0$
  2. $ S$ ist positiv semi definit $ \Leftrightarrow$ $ d_{1},\ldots,d_{n}\ge0$
  3. $ S$ ist negativ definit $ \Leftrightarrow$ $ d_{1},\ldots,d_{n}<0$
  4. $ S$ ist negativ semi definit $ \Leftrightarrow$ $ d_{1},\ldots,d_{n}\le0$

Hurwitz-Kriterium

Eine Symmetrische Matrix $ A$ ist positiv definit genau dann, wenn für alle $ k=1,\ldots,n$

$\displaystyle \det\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1k}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & \ldots & a_{kk}\end{array}\right)>0$

ist. Also die Determinanten aller quadratischen Ausschnitte aus der Matrize $ A$ die die obere Linke Ecke enthalten.


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Marco Möller 14:31:11 17.12.2005