next up previous contents index
Next: angeordneter Ring / Körper Up: Ringe, Körper, Anordnung Previous: Körper   Contents   Index

Subsections


(Ordnungs-) Relationen

totale Ordnung

Es sei $ X$ eine (nichtleere) Menge und ``$ <$'' sei eine zweistellige Relation auf $ X$ (das heißt folgendes: für $ x,y\in X$ gilt entweder ``$ x<y$'' oder ``nicht $ y<x$''). Wir nennen ``$ <$'' Ordnung oder Anordnung auf $ X$, falls folgendes für alle $ x,y,z\in X$ gilt:

  1. $ \left(O_{1}\right)\;$Entweder $ x<y$ oder $ x=y$ oder $ x<y$ (genau 1er dieser 3 Fälle)
  2. Transitivität
    $ \left(O_{2}\right)\;$Falls $ x<y$ und $ y<z$, so gilt auch $ x<z$

partielle Ordnung

Eine partielle Ordnungsrelation $ R$ auf einer Menge $ M$ ist eine Teilmenge von $ M\times M$ die die folgenden Eigenschaften besitzt:

  1. Reflexivität
    $ \left(x,x\right)\in R$ für alle $ x\in M$
  2. antisymmetrisch
    $ \left(x,y\right)\in R\wedge\left(y,x\right)\in R\Rightarrow x=y$
  3. transitiv
    $ \left(x,y\right)\in R\wedge\left(y,z\right)\in R\Rightarrow\left(x,z\right)\in R$
Wir schreiben anstatt $ \left(x,y\right)\in R$ auch $ x\leq y$ und sagen, dass $ R$ auf $ M$ eine partielle Ordnung definiert.



Marco Möller 14:31:11 17.12.2005