Extrema mit Nebenbedingungen

Niveaumenge

$U\subseteq V$ offen, $V$ Banachraum, $q:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion. Für $r\in\mathbb{R}$ ist $M_{r}=\left\{ v\in U\vert q\left(v\right)=r\right\} =q^{-1}\left(r\right)$ die Niveaumenge zum Wert $r$.

Sei $H$ ein weiterer Banachraum, $u\in M_{r}$, $\varphi:B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)\rightarrow V$ sei $C^{1}$-Funktion. Wir sagen, $\varphi$ parameterisiert $M_{r}$ nahe $u$, falls es $\delta>0$ gibt, so dass $M_{r}\cap B_{\delta}^{V}\left(u\right)=\varphi\left(B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)\right)\cap B_{\delta}^{V}\left(u\right)$ und falls $D\varphi\left(x\right)$ injektiv ist für alle $x\in B_{\varepsilon}^{H}\left(0\right)$.

Falls $M_{r}$ in jedem Punkt $u\in M_{r}$ solch eine Parameterisierung hat, heißt $M_{r}\subseteq U$ Hyperfläche in $U$.

• Für $V=\mathbb{R}^{2}$ sind Niveaumengen Höhenlinien auf dem Graphen der Funktion $q$.
• Ich kann sozusagen eine Umgebung um den Nullpunkt eines Vektorraums auf eine Niveaumenge abbilden.

Existenz einer Parameterisierung

Vorraussetzungen und Notation siehe sub:Niveaumenge. Falls $dq\left(u\right)\neq0$, so hat $M_{r}=q^{-1}\left(q\left(u\right)\right)$ eine Parameterisierung nahe $u$.

Tangentialraum

Voraussetzungen und Notation siehe sub:Niveaumenge. Man nennt $H=\ker\left(dq\left(u\right)\right)=T_{u}\left(M_{r}\right)$ Tangentialraum von $M_{r}$ in $u$.

Extrema mit Nebenbedingung, Lagrange-Multiplikator

Sei $U\subseteq V$ offen, $V$ Banachraum, $q:U\rightarrow\mathbb{R}$ $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ $C^{1}$-Funktion, $M_{r}=q^{-1}\left(r\right)$.

Falls $u\in M_{r}$ ein Extremum von $f\vert _{M_{r}}$ ist (d.h. $u$ ist Extremum von $f$ mit Nebenbedingung $q\left(u\right)=r$) und falls $dq\left(u\right)\neq0$, so gibt es ein $\lambda\in\mathbb{R}$ mit $df\left(u\right)=\lambda\cdot dg\left(u\right)$. $\lambda$ heißt Lagrange-Multiplikator. Für $V=\mathbb{R}^{n}$ bedeutet das $\nabla f\left(u\right)=\lambda\nabla q\left(u\right)$.

• Dies ersetzt die Bedingung $Df\left(x\right)=0$

Extrema auf kompakten Mengen

Ist $K\subseteq\mathbb{R}^{n}$ abgeschlossen und beschränkt (also Kompakt), ist $f:K\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, so hat $f$ auf $K$ ein Maximum und ein Minimum.