Integrale

Raum der beschränkten Funktionen

Sei $V$ ein Banachraum (= vollständiger normierter Raum), $J=\left[a,b\right]$. Eine Funktion $f:J\rightarrow V$ heißt beschränkt, falls die Menge $\left\{ \left\Vert f\left(t\right)\right\Vert \vert t\in J\right\}$ beschränkt ist. Sei $B\left(J,V\right)$ die Menge aller beschränkter Funktionen $f:J\rightarrow V$. $B\left(J,V\right)$ ist ein reeller Vektorraum. Setze $\left\Vert f\left(t\right)\right\Vert _{\infty}=\sup\left\{ \left\{ \left\Vert f\left(t\right)\right\Vert \vert t\in J\right\} \right\}$ (Supremum von $f$). Damit wird $B\left(J,V\right)$ ein normierter Vektorraum.

• $B\left(J,V\right)$ ist ein Banachraum

Stufenfunktion

Eine Funktion $f\in B\left(J,V\right)$ heißt Stufenfunktion, falls es Zahlen

$$a=s_{0}<s_{1}<\ldots<s_{n}=b$$

gibt, so dass $f\vert _{\left(s_{i},s_{i+1}\right)}=const.$ gilt. Die Menge $\textrm{Step}\left(J,V\right)=\left\{ f:J\rightarrow V\vert f\textrm{ ist Stufenfunktion}\right\}$ ist ein Untervektorraum von $B\left(J,V\right)$.

Der Abschluss von $\textrm{Step}\left(J,V\right)$ in $B\left(J,V\right)$ besteht aus allen beschränkten Funktionen, die Grenzwerte (bzgl. $\left\Vert .\right\Vert _{\infty}$) von Stufenfunktionen sind. Solche Funktionen heißen Regelfunktionen, sie bilden einen Untervektorraum $R\left(J,V\right)\subseteq B\left(J,V\right)$. Weil $B\left(J,V\right)$ vollständig ist, ist $R\left(J,V\right)$ ebenfalls vollständig.

Ist $f\in\textrm{Step}\left(J,V\right)$ bzgl. Zerlegung $a=s_{0}<s_{1}<\ldots<s_{n}=b$, setze

$$\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\frac{s_{i+1}+s_{i}}{2}\right)\left(s_{i+1}-s_{i}\right)\in V$$

Für eine Regelfunktion $f;J\rightarrow V$, die Grenzwert einer Folge $\left(f_{i}\right)_{i\in I}$ von Stufenfunktionen ist, setze

$$\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\lim_{i\in I}\int_{a}^{b}f_{i}\left(t\right)dt$$

• $J=\left[a,b\right]\subseteq\mathbb{R}$, $V$ vollständiger Vektorraum
  $\textrm{Step}\left(J,V\right)\subseteq R\left(J,V\right)\subseteq B\left(J,V\right)$
• Integrieren ist eine Lineare Abbildung:
  $\int_{a}^{b}\left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right)dt=\int_{a}^{b}\left(f\left(t\right)\right)dt+\int_{a}^{b}\left(g\left(t\right)\right)dt$
  $\int_{a}^{b}\left(\lambda\cdot g\left(t\right)\right)dt=\lambda\cdot\int_{a}^{b}\left(g\left(t\right)\right)dt$
• $\left\Vert \int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right\Vert \le\int_{a}^{b}\left\Vert ... ...f\right\Vert _{\infty}dt=\left(b-a\right)\cdot\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$
• Stetige Funktionen sind Regelfunktionen
  $C\left(J,V\right)\subseteq R\left(J,V\right)$

Lineare Abbildung und Integral

Ist $\varphi:V\rightarrow\mathbb{R}$ linear und stetig, so gilt

$$\varphi\left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right)=\int_{a}^{b}\varphi\left(f\left(t\right)\right)dt$$

Im $\mathbb{R}^{n}$ mit $f:J\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ und

$$f\left(t\right)=\left(f_{1}\left(t\right),\ldots,f_{n}\left(t\right)\right)so$$

gilt

$$\int_{a}^{b}\left(t\right)dt=\left(\int_{a}^{b}f_{1}\left(t\right)dt,\ldots,\int_{a}^{b}f_{n}\left(t\right)dt\right)$$

Sind $V,W$ Banachräume, dann gilt für $\varphi:V\rightarrow W$ linear und stetig

$$\varphi\left(\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\right)=\int_{a}^{b}\varphi\left(f\left(t\right)\right)dt$$

Insbesondere: Sind $X,Y$ Banachräume, $f:J\rightarrow\underbrace{\mathcal{L}\left(X,Y\right)}_{Banachraum}$ Regelfunktion, so gilt für jedes $x\in X$

$$\left(\int_{a}^{b}f\left(s\right)ds\right)\left(x\right)=\int_{a}^{b}f\left(s\right)\left(x\right)ds$$

denn die Abbildung $f\left(s\right)\mapsto f\left(s\left(x\right)\right)$ ist linear.

Ableitung eines Integrals

Ist $f:J\rightarrow V$ stetig, $t_{0}\in\left(a,b\right)=J$, so ist

$$c\left(t\right)=\int_{t_{0}}^{t}f\left(s\right)ds$$

eine $C^{1}$-Kurve, mit Ableitung $\dot{c}\left(t\right)=f\left(t\right)$. Für $t<t_{0}$ ist $\int_{t_{0}}^{t}f\left(s\right)ds=-\int_{t}^{t_{0}}f\left(s\right)ds$.

• Für eine $C^{1}$-Kurve gilt insbesondere
  $c\left(t_{1}\right)-c\left(t_{0}\right)=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\dot{c}\left(s\right)ds$

Mittelwertsatz der Integralrechnung in Vektorräumen

Seien $V,W$ Banachräume, $U\subseteq V$ offen, $f:U\rightarrow W$ $C^{1}$-Abbildung. Sei $u\in U$ und $v\in V$ so, dass $u+v\cdot s\in U$ für alle $s\in\left[0,1\right]$. Dann gilt

$$f\left(u+v\right)-f\left(u\right) = \int_{0}^{1}Df\left(u+v\cdot s\right)\left(v\right)ds$$

$$= \left(\int_{0}^{1}Df\left(u+v\cdot s\right)ds\right)\left(v\right)$$

• Sind $V,W$ Banachräume, $u\in U\subseteq V$, $U$ offen, $u+h\in B_{r}\left(u\right)\subseteq U$, so gilt
  $${\scriptstyle \left\Vert f\left(u+h\right)-f\left(u\right)\right\... ...h\right\Vert \cdot\sup\left\{ Df\left(u+h\cdot t\right)\vert\le t\le1\right\} }$$
  falls $\left\{ u+v\cdot s\vert s\in\left[0,1\right]\right\} \subseteq U$