Invertieren von Funktionen

von Neumannsche Reihe - Inverses

Sei $V$ ein Banachraum, $f\in\mathcal{L}\left(V,V\right)$ mit $\left\Vert f\right\Vert <1$. Dann hat die lineare Abbildung $\left(\textrm{id}_{v}-f\right):v\mapsto v-f\left(v\right)$ ein stetiges Inverses nämlich

$$\left(\textrm{id}_{V}-f\right)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}f^{k}$$

mit $f^{0}:=\textrm{id}_{V}$ und $f^{k}=\underbrace{f\circ f\circ\ldots\circ f}_{k-\textrm{mal}}$.

Gruppe von invertierbaren linearen Abbildungen

Sei $V$ ein Banachraum,

$$Gl\left(V\right)=\left\{ f\in\mathcal{L}\left(V,V\right)\vert f\textrm{ hat stetiges Inverses}\right\}$$

Dann ist $Gl\left(V\right)$ eine Gruppe (bzgl Komposition von Abbildungen und offen in $\mathcal{L}\left(V,V\right)$.

• Die Abbildungen $\left(g,h\right)\mapsto g\circ h$ und $g\mapsto g^{-1}$ sind stetig in $Gl\left(V\right)$

Satz vom lokalen Inversen

Sei $V,W$ Banachräume, $U\subseteq V$ offen $f:U\rightarrow W$ $C^{1}$-Funktion, $u\in U$. Falls $Df\left(u\right):V\rightarrow W$ bijektiv ist, dann gibt es $r>0$ eine $C^{1}$-Funktion $g:B_{r}^{W}\left(f\left(u\right)\right)\rightarrow V$, so dass

$$\left(g\circ f\right)\left(v\right) = v$$

$$\left(f\circ g\right)\left(w\right) = w$$

an Stellen wo dieses Sinn macht gilt (Definitionsbereiche!).

• Nahe bei $u$ lässt sich die Gleichung $f\left(v\right)=w$ eindeutig und stetig differenzierbar nach $v$ auflösen.

Notation für implizite Funktionen

Sind $X,Y,Z$ Banachräume, $U\subset X,V\subset Y$ offen.

$$f:U\times V \rightarrow Z$$

$$f\left(x,y\right) = z$$

sei $C^{1}$-Funktion, so ist $Df\left(x,y\right):X\times Y\rightarrow Z$ linear. Schreibe für $a\in X,b\in Y$

$$Df\left(x,y\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right) = \left(D_{1}f\left(x,y\right),D_{2}f\left(x,y\right)\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b\end{array}\right)$$

$$= D_{1}f\left(x,y\right)\left(a\right)+D_{2}f\left(x,y\right)\left(b\right)$$

• Diese Schreibeise geht auf die Verwendung von Blockmatrizen zurück

Satz über implizite Funktionen

Seien $X,Y,Z$ Banachräume, $U\subseteq X,V\subseteq Y$ offen, $f:U\times V\rightarrow Z$ sei $C^{1}$-Funktion, sei $\left(u,v\right)\in U\times V$.

Falls $D_{2}f\left(u,v\right):Y\rightarrow Z$ ein Isomorphismus ist, so gibt es $\hat{U}\subseteq U$ offen, $g:\hat{U}\rightarrow V$ $C^{1}$-Funktion mit $g\left(u\right)=v$, so dass $f\left(x,g\left(x\right)\right)=f\left(u,v\right)$ gilt für alle $x\in\hat{U}$.

• Man kann die Gleichung $f\left(x,y\right)=const$ nahe $u$ nach $y$ auflösen
• Isomorphismus $\Leftrightarrow$ $\det\left(\left[D_{2}f\left(x,v\right)\right]\right)\neq0$
• Wenn ich die Gleichung $f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)=k$ nach $x_{i}$ auflösen will, muss ich testen, ob $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\neq0$ ist. Falls $f$ vektorwertig ist, muss dieses für jedes $f_{i}$ aus $f=\left(f_{1},\ldots,f_{m}\right)$ gelten.

Diagonalisierbarkeit von symmetrischen Matizen

Ist $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ symmetrisch (d.h. $A=A^{T}$), so gibt es eine Orthonormalbasis $b_{1},\ldots,b_{n}$ des $\mathbb{R}^{n}$ aus Eigenvektoren von $A$. Bzgl. dieser Basis hat $A$ also Diagonalgestalt mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.

• Dies ist nur über $\mathbb{R}$ richtig, nicht z.B. über $\mathbb{Q}$

Ableitung einer Impliziten Funktion

Sei $F:V\times W\rightarrow Z$ differenzierbare Funktion, $g:V\rightarrow W$ ebenfalls differenzierbar und es gelte $f\left(x,g\left(x\right)\right)=0$ für alle $x\in V$. An allen anderen Punkten $x_{0}\in V$ an denen $D_{2}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)$ invertierbar ist gilt

$$Dg\left(x_{0}\right)=-D_{2}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)^{-1}D_{1}f\left(x_{0},g\left(x_{0}\right)\right)$$

• Geht auch, wenn $f\left(x,g\left(x\right)\right)=c$ für festes $c\in Z$ ist.