next up previous contents index
Next: Fourierreihe Up: Funktionenreihen Previous: Funktionenreihen   Contents   Index

Subsections

Taylorreihe

Definition

Ist $ f$ eine unendlich oft differenzierbare Funktion (glatt), betrachte ihre Taylorreihe

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{\left(n\right)}\left(0\right)x^{n}$

im Entwicklungspunkt 0.

Falls $ f$ Potenzreihe ist, stimmt sie mit ihrer Taylorreihe überein.


Entwicklung mit endlicher Summe

Sei $ U\subseteq\mathbb{R}$ offenes Intervall, $ x_{0}\in U$. Dann gilt auf einem Intervall $ \left(x_{0}-r,x_{0}+r\right)\subseteq U$

$\displaystyle f\left(x_{0}+t\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}f^{\left(i\right)}\left(x_{0}\right)t^{i}+R_{n+1}\left(t\right)$

mit

$\displaystyle R_{n+1}\left(t\right)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{t}\left(t-s\right)^{n}f^{\left(n+1\right)}\left(x_{0}+s\right)ds$

falls $ f\in C^{n+1}\left(U,\mathbb{R}\right)$.

Fehlerabschätzung

Ist $ f\in C^{n+1}\left(U,\mathbb{R}\right)$ wie in sub:Taylor-endlich, so gibt es $ \eta:\left(-r,r\right)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig mit $ \eta\left(0\right)=0$ und

$\displaystyle f\left(x_{0}+t\right)=\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{i!}f^{\left(i\right)}\left(0\right)t^{i}+\eta\left(t\right)t^{n}$

Vektorwertige Funktionen

$ U\subseteq V$ offen, $ f:U\rightarrow W$ $ C^{n+1}$-Funktion.

$\displaystyle f\left(u+h\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(u\right)+Df\left(u\right)\left(h\right)+\frac{1}{2}D^{2}f\left(u\right)\left(h,h\right)$  
    $\displaystyle +\ldots+\frac{1}{n!}D^{n}f\left(u\right)\left(\underbrace{h,\ldots,h}_{n-\textrm{mal}}\right)$  
    $\displaystyle +R_{n+1}\left(h\right)$  

mit

$\displaystyle {\scriptstyle R_{n+1}\left(h\right)=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}D^{n+...
...)\left(\underbrace{h,\ldots,h}_{n+1-\textrm{mal}}\right)\left(1-s\right)^{n}ds}$


next up previous contents index
Next: Fourierreihe Up: Funktionenreihen Previous: Funktionenreihen   Contents   Index
Marco Möller 14:31:11 17.12.2005